频率依赖性黏弹性复合板动力学特性计算方法

殷啸宇，齐鸣瑞

(南京航空航天大学 能源与动力学院，江苏 南京 210016)

0 引言

循环载荷引发的疲劳失效是航空发动机压气机叶片产生故障失效的主要原因[1]。为了有效抑制航空发动机压气机叶片的振动，国内外许多学者对压气机叶片的减振方法进行了大量的研究[2-3]。最为有效的方法是在压气机叶片表面涂覆一层或多层阻尼材料[4-5]，其中黏弹性阻尼材料减振效果好而且价格低廉，是一种经济有效的减振手段。

将黏弹性阻尼材料应用于阻尼复合结构，结构的固有频率与损耗因子是结构动力特性和减振耗能性能的两个重要指标，国内外学者对此展开了广泛且深入的讨论[6-7]。RAO D K[8]首先提出了在复杂边界条件下复合夹层梁的频率阶损耗因子的理论求解方法；RIKARDS R[9]等采取复模量模型对材料特性进行描述；任志刚等[10]在考虑黏弹性材料弹性模量频率依赖性的基础上采用复模量模型对材料进行拟合，并提出用迭代的经典模态应变能法与迭代的复特征值法求解复合结构固有频率与模态损耗因子；孙伟等[11]采用特征向量增值法对复特征值法进行了改进计算；伍先俊[12]基于模态应能法给出了求解复杂结构阻尼的有限元计算方法；邹万杰等[13]采用一般积分形式黏弹性阻尼器微积分方程组建立了结构运动方程，并使用模态应变能法将其解耦，进而采用传递矩阵法进行求解，获得了结构响应解析表达式。

综上，对于考虑频率依赖性的黏弹性复合结构，可使用复特征值迭代法进行动力学特性的计算，但计算量较大。也可采用模态应变能迭代法，模态应变能迭代法虽不如复特征值迭代法精确，但在满足工程应用的误差允许范围内，具有更高的计算效率。本文将涂覆黏弹性涂层的压气机叶片简化为考虑频率依赖性的黏弹性复合板，基于经典模态应变能法提出了一种修正的模态应变能法，推导出考虑频率依赖性的黏弹性复合板的求解算法，即一种基于修正模态应变能法的迭代求解方法，对具有频率依赖性的黏弹性复合板进行了动力学特性分析。

1 修正模态应变能法原理

由模态应变能法得出了一种使用实特征向量求解阻尼系统损耗因子的近似方法，极大地提高了运算效率并且其运算过程可以很容易地通过大型商业有限元软件实现。然而对经典模态应变能法的计算公式进行分析后不难发现，经典模态应变能法采用无阻尼系统实特征向量替代阻尼系统复特征向量，这是由于没有将刚度矩阵的虚部考虑进去，即没有考虑阻尼刚度矩阵[KI]，这样会在一定程度上导致误差的出现。本文推导了一种修正的模态应变能法，其核心思想是通过加权阻尼刚度矩阵对无阻尼系统的模态振型进行修正，修正后的特征方程为：

(1)

其中β为修正系数，其计算方法如下：

(2)

采用修正模态应变能法时，其结构模态损耗因子定义为

(3)

由于修正模态应变能法将结构复刚度矩阵的虚部贡献考虑在内，因此可提高结构阻尼预估的准确性。HU B[14]针对该方法与经典模态应变能法进行了误差分析，分析结果显示该修正方法具有更小的误差。

2 修正模态应变能法计算方法

基于修正模态应变能法的计算流程主要包含5个关键步骤：无阻尼振型的求解、修正系数的计算、原始损耗因子的计算、修正振型的求解和修正损耗因子的求解，具体流程图如表1、表2所示。

图1 修正模态应变能法的计算流程

为了对比修正模态应变能法与经典模态应变能法计算结果的差别，以不考虑频率依赖性的黏弹性复合板为研究对象，黏弹性复合板参数如表1和表2所示。

表1 方形板几何参数与材料参数

表2 黏弹性涂层几何参数与材料参数

依次设置方形板的材料损耗因子为0.0001、0.001、0.01、0.1，分别使用经典模态应变能法与修正模态应变能法进行1阶模态损耗因子的计算，并将两种计算方法的误差进行对比(图2)。

图2 两种计算方法误差率

图中误差率定义为(计算结果-精确解)/精确解。精确解定义为复特征值法的1阶固有频率计算结果。根据图2可知，使用修正模态应变能法的误差率低于经典模态应变能法。

3 修正模态应变能迭代法计算方法

黏弹性材料的材料属性在不同频率下具有不同的数值，即存在频率依赖性，因此无法在整个分析过程中指定一个确定的弹性模量与材料损耗因子。对于这种情况，可使用迭代法逐步计算各阶固有频率[15]，并且通过实验验证了该方法的有效性。由于黏弹性层的厚度相对于弹性层略小，为减少计算量，先计算无频率依赖性复合结构的各阶固有频率，并以此作为求解考虑频率依赖性复合结构各阶固有频率的基础。这里使用黏弹性材料的静态模量作为无频率依赖性的材料弹性模量，迭代法求解固有频率的具体计算流程如下，流程图如图3所示。

1) 求解无频率依赖性结构的固有频率，即设置材料参数为ω=0对应的弹性模量值；

2) 使用无频率依赖性的结构第r阶频率计算具有频率依赖性结构的黏弹性材料层的储能模量；

3) 使用ωi,j-1对应的黏弹性层材料参数计算当前结构的第r阶固有频率ωr,j；

5) 输出满足收敛性的第r阶固有频率ωr，计算结束。

图3 迭代法求解固有频率计算流程图

根据上述固有频率的计算步骤，可得考虑频率依赖性的复合结构各阶固有频率，再根据各阶固有频率确定各阶模态对应的黏弹性材料的弹性模量。因此可将问题简化为计算常值弹性模量的结构损耗因子问题，进而应用前文提出的修正模态应变能法进行求解。该求解过程主要由以下几个步骤组成(图4)。

1) 计算第r阶模态下，黏弹性材料的弹性模量Ev(ωr)；

2) 计算该阶模态振型φ，计算修正系数β以及修正振型φ；

3) 计算损耗因子ηr。

图4 修正模态应变能迭代法计算流程图

4 计算算例

考虑频率依赖性的黏弹性复合板的参数如表1和表2所示，分别使用复特征值迭代法和修正模态应变能迭代法计算其动力学特性。

固有频率计算结果如表3所示，表中误差定义为：(复特征值迭代法计算结果-修正模态应变能迭代法计算结果)/复特征值迭代法计算结果×100%。各阶振型计算结果如表4所示。

表3 复特征值迭代法与修正模态应变能迭代法固有频率计算结果

表4 复特征值迭代法与修正模态应变能迭代法振型计算结果

修正模态应变能迭代法计算误差随阶次增大逐渐增大，第6阶误差最大为1.56%。

使用修正模态应变能迭代法与复特征值迭代法计算的前12阶模态损耗因子如表5所示，表中误差定义为：(复特征值迭代法计算结果-修正模态应变能迭代法计算结果)/复特征值迭代法计算结果×100%。

表5 复特征值迭代法与修正模态应变能迭代法模态损耗因子计算结果

两种方法计算的黏弹性复合板的结构损耗因子都在第6阶出现峰值，此时误差为0.39%。

5 结语

本文首先对比了经典模态应变能法和修正模态应变能法对无频率依赖性黏弹性复合板结构损耗因子的计算结果，之后使用修正模态应变能迭代法和复特征值迭代法计算频率依赖性黏弹性复合板的动力学特性，得出以下结论：

1) 修正模态应变能法考虑了复刚度矩阵的虚部贡献量，从算例计算结果来看相对于经典模态应变能法精确度更高，且计算量小于复特征值法。

2) 修正模态应变能迭代法计算的固有频率误差会随着阶次增大逐渐增大。从振型来看，由于复特征值迭代法计算得出的振型为复振型，不同时刻节线的位置会变化，但是其振型与修正模态应变能迭代法计算结果基本一致。

3) 修正模态应变能迭代法在结构损耗因子峰值附近计算结果最准确，在远离峰值处计算误差较大。

综上，考虑到复特征值迭代法需要求出无阻尼复合结构的全模态特征向量，对于自由度较多的结构，其计算量较大，而修正模态应变能迭代法计算精度较高，且相对于复特征值迭代法能够提高计算效率。