数列求和常用方法综述

◇ 甘肃 任 艳

数列是高中数学的主要内容,高考中对这部分知识的考查方法多样,解答题难度也较高,例如数列的求和问题需要一定解题技巧,本文对常用的数列求和方法进行介绍．

1 公式法

一些常见数列的求和公式如下．

例1已知,求x＋x2＋x3＋…＋xn的值．

解析

2 分组求和法

有些数列既不是等差数列,也不是等比数列．若将此类数列适当拆分,能变成若干个等差数列和等比数列,那么,可以分别对这些等差数列、等比数列求和后再相加,从而求得原数列的前n项和,这种方法称为分组求和法．

例2已知数列{an},an＝n2－n,求前n项和Sn．

解析

3 倒序相加法

公差为d的等差数列,可用两种方式表示Sn,

由①＋②,得

例3求S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值．

解析

因为

由①＋②,得 2S＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin289°＋cos289°)＝89,所以

4 裂项相消法

裂项相消,即先“裂项”再“相消”．根据所求数列通项公式的特点,将数列的通项拆成两项之差,即an＝f(n＋1)－f(n),然后累加使中间的一些项可以相互抵消,从而达到求和的目的．

例4已知an＝2n＋1,令,求数列{bn}的前n项和Sn．

解析