依托课堂主线问题 发展数学建模能力

宋艳 杜岗

[摘 要]分析主线问题背景和数学建模教学现状，阐述这两个概念的内涵，构建主线问题范式与数学建模框架的联系示意图，阐述两者融合的特征及意义，结合教学实践从三个方面提出以主线问题发展学生数学建模能力的实施路径，即创设主线问题情境，建立模型基础;依托主线问题探索，经历建模过程;利用主线问题拓展，重视模型应用。

[关键词]主线问题;模型思想;数学建模

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）35-0037-04

一、引言：主线问题和数学建模的提出与思考

（一）关注数学建模能力

在小学数学教学中，经常会出现这样的现象：对于简单的数学问题，学生一般很快就能找到解题思路，但对于文字较多、语言描述复杂的实际问题，就会有学生出现读不懂题意、思路不清且无从下手的情况。究其原因，表面上看是学生审题能力薄弱，仔细分析，其实是学生的数学建模能力薄弱。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“课标”）提出了十个核心词，“模型思想”是其中之一。其实，数学建模就是构建数学模型，它是提高学生数学关键能力的一个重要方面。一个复杂的数学问题，去其外衣，取其本质，其实就是一个简单问题或几个简单问题的交叉呈现。数学问题的解决，从根本上说就是一个数学化的过程，将所要解决的问题进行抽象，挖掘其内在本质，将生活中的问题数学化，建立数学模型，提炼出对应的解题方法。学生的数学建模能力一般在初高中阶段比较受重视，在小学阶段提及和研究的并不多。其实，从小培养数学建模能力能为学生的数学学习打下坚实的基础，使学生终身受益，因此教师应在小学阶段就重视培养学生的数学建模能力。

（二）转变课堂教学方式

课标还提出，要重视学生在学习活动中的主体地位。数学课堂要转变教学方式，以学生为中心，把学生学习的主动性调动起来，使学生学会学习。主线问题教学方式就是把学生放在主体地位，实行启发式教学，引导学生主动学习。主线问题的提出能够产生各种积极的教学效果，它能为学生提供积极思考的时间，培养学生发现和提出问题的能力;能为学生提供主动探究的空间，使学生通过动手实践、自主探索、合作交流等学习方式，培养分析和解决问题的能力;能提高学生的学习意识，有效激发学生的积累、反思、质疑和创新意识，培养学生的数学关键能力，发展学生的数学核心素养。

（三）依托主线问题教学

随着课程改革的大力推进，近年来，教师对在小学阶段培养学生数学建模能力这方面也越来越重视。教学中，如何让学生树立模型意识，有效探寻解决问题的方法，提高学生的数学建模能力呢？结合自身的教学经验，笔者依托主线问题教学，研究发展学生数学建模能力的实践路径。主要是以主线问题引领数学教学，调动学生学习的积极性，激发学生的探究欲望，使学生经历数学建模过程，启迪数学思维，培养数学关键能力，推动学生数学核心素养的培养落地。

二、阐述：主线问题和数学建模的内涵与价值

（一）主线问题和数学建模的内涵

1.主线问题的概念

主线问题是依据学生认知水平，针对学习内容核心进行发问，直指数学本质、凝聚教学重难点、引领学生进行自主学习、探究学习和合作学习的主要问题。它是课堂的“课眼”，是文本的“文眼”，是引领课堂的重要问题、核心问题和关键问题。主线问题教学是为了不教而问，它能够强调课堂教学的主要内容，厘清课堂教学的逻辑结构，便于教学目标的有效达成。主线问题可以充分发挥学生的学习主动性，使学生的思维更具开放性。

2.数学建模的诠释

课标指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。数学建模就是建立数学模型的过程，包括对实际问题进行提炼、抽象、简化，以及确立、求解、验证、解释、應用和拓展数学模型的过程。

（二）主线问题和数学建模的联系

以主线问题发展学生的数学建模能力主要是指在小学数学教学中设计课堂主线问题，通过主线问题的提出与解决，激发学生的探究欲望，结合师生、生生的互动学习，让学生在经历提炼、抽象、简化、验证、应用和拓展等活动过程中，培养自主学习的意识，发展数学建模能力。

主线问题教学的一般范式为“问题引领，凸显目标—动手实践，自主探究—交流展示，完善认知—巩固练习，拓展应用—课堂总结，知识提升”。数学建模过程为“分析问题—提炼数学信息—建立模型—求解模型—验证模型—应用模型”。在课堂教学中，笔者尝试将两者进行融合，使两者相互联系、相互影响。具体过程与联系如图1所示：

从图中可以看出，主线问题引领教学，使学生在实际情境中发现并提出问题;主线问题启发学生主动探索，让学生在活动的过程中抽象并建立数学模型;主线问题鼓励学生交流展示，帮助学生求解验证模型;主线问题重视巩固提升，让学生应用拓展模型。主线问题教学与数学建模虽是独立存在的两个过程，但彼此之间又紧密联系，相互影响、相互促进。这既可以提高学生的自主学习意识，又能够发展学生的数学建模能力。

（三）主线问题和数学建模的价值

1.主线问题具有引领性，帮助学生建立建模基础

课标指出，要增强学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。主线问题具有引领性，主要表现在能够促使学生对实际问题进行提炼、抽象和简化。通过创设良好的学习情境提出主线问题，激发学生的学习兴趣，引领学生由生活走向数学，在阅读理解的过程中提炼出数学元素，在多元条件中抽离出数学问题，从而培养学生发现和提出问题的能力，这是培养学生数学建模能力的基础。

2.主线问题具有探究性，启发学生建立模型结构

建构主义理论的核心是以学生为中心，强调学生对知识的主动探索、主动发现和对所学知识意义的主动建构。主线问题具有探究性，教师会向教学内容的核心进行发问，直指数学本质，突出教学重难点，促使学生主动探究。学生通过观察、实验、猜测、计算、推理等活动，对数学问题进行确立、求解和验证，建立数学模型。

3.主线问题具有开放性，促进学生进行模型应用

数学家弗赖登塔尔指出，数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实。数学学习的主要目的是让学生运用所学的数学知识去解决生活中的问题。主线问题具有开放性，学生在归纳总结数学问题的基础上，将解决问题的方法和思路进行拓展，运用数学模型解释生活中的现象，对数学模型进行再认识。学生在反思的过程中，对数学问题进行解释、应用和提升，体会数学模型的价值，增强学好数学的信心。

三、探索：主线问题和建模能力的实践与路径

（一）创设主线问题情境，建立模型基础

1.联系生活素材提出主线问题，丰富数学模型表象

课标指出，呈现的素材应贴近学生现实。创设主线问题现实情境，让学生经历从现实生活情境中抽象出数学知识和方法的过程，丰富模型表象。著名特级教师黄爱华在“认识圆”一课中就充分利用了生活中的素材。课堂上，黄老师出示一张下水道井盖的图片，并提出以下问题：

主线问题1：下水道的井盖为什么是圆的？

主线问题2：为什么井盖不管怎么放都掉不下去？

主线问题3：为什么车轮是圆的，不是方的？

“下水道的井盖为什么是圆的？”这个问题引发了学生的一系列思考。学生根据黄老师的引领性问题展开想象，带着好奇心和疑问自然地进入课堂，试着把生活语言转化为数学语言，在思考的过程中初步感受圆的特征，建立圆的模型基础。而后，黄老师提出“为什么井盖不管怎么放都掉不下去？”“车轮为什么是圆的，不是方的？”主线问题，带领学生思考与探索圆的本质特征，并揭示直径的概念。学生依据自己的经验展开研究，体会到数学模型从生活中来又用于生活，使教学走向深入。

2.选择典型素材提出主线问题，深入理解数学模型

数学模型的建立就是要让学生体会和理解数学与外部世界的联系。课堂上提供的素材要与需要建立的数学模型保持高度一致，这样才有利于学生进行观察、比较、抽象和概括等活动。以著名特级教师吴正宪老师的“乘法分配律”教学为例，吴老师先后呈现三幅情境图（如图2、图3、图4），提出以下主线问题：

主线问题1：一共有多少朵花？一共是多少平方米？

主线问题2：一共要铺多少平方米的瓷砖？

主线问题3：这座大桥全长多少米？

这里的三个素材都具有典型性，这些情境结构与乘法分配律的表达形式高度一致。学生可以在解决实际问题的过程中感受到乘法分配律的存在，积累建立乘法分配律这一模型的直观形象材料。

3.利用有趣素材提出主线问题，渗透数学模型思想

教学中，教师应当选择适合儿童年龄特点且有趣的素材，激发学生的学习兴趣，使他们在有趣的情境中感悟数学模型。

以“简单周期”一课的教学为例。

教师出示故事：从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，老和尚对小和尚说……

师生齐读这个故事后，教师提出主线问题1：你们的声音为什么越来越小了？

生：这个故事有几句话不断重复出现，讲不完。

教师相机引出周期问题，揭示课题。

教师出示儿歌：一二三四五，上山打老虎，老虎不在家，我们就捉它。

教师出示游戏规则：8个学生做游戏，全班一起边唱儿歌边数，谁轮到“它”字就被淘汰，进行三轮。

教师提出主线问题2：猜一猜，下一个淘汰的是谁？

学生在一轮轮游戏中认识到周期数量逐渐减少，并通过口头计算，猜测哪位同学被淘汰，再用数的方法来验证。

儿歌是学生喜欢的素材，教师提供学生感兴趣的素材有助于提高学生学习数学的兴趣，加深学生对知识的理解。学生在唱儿歌和做游戏的过程中感受周期现象，加深对周期问题计算方法的理解，感悟模型思想，体会建模过程。

（二）依托主线问题探索，经历建模过程

教师在进行教学时，对于书本中的某些原理、定律、公式，不能只让学生记住，还要让学生明白它们是怎么得来的。启发学生分析和解决数学问题，让学生依托主线问题经历探索的过程，数学模型才得以有效建立。主线问题教学需要给学生提供足够的时间和空间，让学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程。接下来以苏教版教材六年级下册P28～29的“解决问题的策略”教学为例进行探讨。

1.主线问题引领学生理解题意，抓住建模起点

培养学生的数学建模能力，首先要提高学生的阅读理解能力和数学能力。主线问题的提出能够引导学生准确理解題意，有效提取题目中的关键数学信息和把握这些数学信息之间的联系。这是学生解决实际问题的基础，也是数学建模的起点。

教师出示问题：全班42人去公园划船，租10只船正好坐满。每只大船坐5人，每只小船坐3人。各租了几只大船和小船？

教师提出主线问题1：仔细读题，你能找到哪些数学信息？大船和小船的数量需要满足哪些条件？

解决问题的前提是理解题意。教师让学生从题目中寻找数学信息，并提出“大船和小船的数量满足哪些条件？”这一主线问题，促使学生深入思考，初步感知关键信息之间的联系，为建立数学模型奠定基础。

2.主线问题引导学生主动探索，抽象模型结构

主线问题教学需要培养学生的主动探索的能力，让学生成为真正的探索者。丰富的活动可以帮助学生深入理解知识，优化知识结构，提高抽象和概括能力，培养数学建模能力。

教师提出主线问题2：你打算怎样解决这个问题？说说你的想法。

生1：画图分析。（如图5）

生2：列表分析。（如表1）

生3：用假设法分析。（如表2）

师：选择写一写、画一画、算一算其中一种方法解答。

学生之前已经学过画图、列表、列举、转化、假设、替换等多种解决问题的策略。教师提出主线问题“你打算怎样解决这个问题？”，让学生通过动手实践、自主探索和合作交流等活动分析、解决问题。学生给出多样的解决问题策略，在自主探索的过程中初步感悟“假设—验证—调整”的思考步骤，经历建模过程。

3.主线问题驱动学生交流完善，求解验证结果

主线问题的提出可以驱动学生交流反思，经历求解验证模型结果的过程，完善数学模型。

教师提出主线问题3：用画图、列举、假设等策略解决这个问题时，有什么相同的地方？

生4：我是先假设，再计算验证，然后不断调整，直到得出答案。

生5：我是先假设，然后列算式得出答案的。（如图6和图7）

在学生得到正确答案之后，教师引导学生进行反思，回顾解决问题的思路，梳理策略的应用过程。学生进一步体会到无论运用哪种策略都要经历“先假设（或猜想），再验证和调整”这一过程。另外，教学中，也有学生在探索的过程中总结出列式的方法，比如假设都租大船或都租小船，找出总人数的差与大小船限乘的人数差的联系，从而求出大小船只数。而这正是解决“鸡兔同笼”实际问题方法的提炼，学生在不断尝试、计算、验证等过程中建立数学模型。

（三）利用主线问题拓展，重视模型应用

在学生建立数学模型之后提出拓展性主线问题，可以引导学生利用模型解决实际问题，帮助学生体会数学模型的价值，并在解释和应用数学模型的过程中，发展学生用数学的眼光观察世界、用数学的思维解决问题的能力，发展学生的应用意识。

1.设置巩固性主线问题，加强数学模型运用

学生在建立数学模型后，可以从一个问题的解决，概括总结出一类问题的解决方法，以加强数学模型的应用。教学中设置巩固性主线问题，充分发挥学生的理解力和想象力，通过列举帮助学生强化理解数学模型，感受数学模型的应用价值。

例如，在认识方程后，可以给学生出示一个方程，如[5x=20]，然后提出主线问题：“这个方程可以表示什么？”学生结合自己的生活经验，寻找可以与这个方程相匹配的事例进行阐述，这既能让数学模型与生活实际联系起来，又可以强化经历方程建模的全过程，使学生的思维由算术思维不断向代数思维过渡，培养学生的数学建模能力，强化数学模型应用能力。

2.引出拓展性主线问题，促进数学模型推广

提出拓展性主线问题，引导学生对已经抽象出的数学模型进行变式，通过分析不同情况之间的联系，加深对数学模型概念的认知，形成网状知识结构，丰富学生的数学基本活动经验，促进数学模型推广。

例如，“速度×时间=路程”是小学阶段的一个基本模型。学生在经历抽象、概括等活动得到数学模型后，通过改变实际问题推出“路程[÷]速度=时间”“路程[÷时间]=速度”两个数量关系式，这是数学模型的拓展。同时，还可以用得到的数学模型解释生活中的一些现象。在练习中，可以提出拓展性主线问题：“打雷时，为什么人们总是先看到闪电，后听到雷声呢？”当学生回答“因为光的传播速度比声音的快”后，教师可以顺势解释：“就像赛跑一样，同样的路程，速度快的人先跑到终点。因此，我们一般先看到闪电，后听到雷声。”学生在变式练习以及拓展应用中进一步感受建立数学模型的重要性，进而推广数学模型的应用。

3.提出反思性主线问题，体会数学模型价值

数学模型是从现实原型中抽象出来的数学结构，在形成具体的数学模型后，教师要提出反思性主线问题，使学生学会举一反三、触类旁通，形成一个整体的认知，为未来学习相关知识做好铺垫，创造出数学建模的更高境界。

例如，前面提到的“鸡兔同笼”问题，它的数学模型可以延伸到初中的二元一次方程。教学中，教师向学生介绍教材中的“你知道吗”，使学生了解“鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题。教师随后提出反思性主线问题：“‘鸡兔同笼’问题为什么有如此大的魅力？”经过讨论，学生加深了对“雞兔同笼”问题的认识，进一步认识到“鸡兔同笼”问题不是凭空想象的，生活中确实有很多这样的问题。如汽车和自行车轮子数的问题、乒乓球单打和双打人数的问题、储钱罐里1角硬币和5角硬币数量的问题、篮球运动员投中3分球和2分球数量的问题……学生在提出这些问题的过程中举一反三，进一步经历抽象的过程，为今后学习二元一次方程积累了经验，提高了数学建模能力。

总之，依托主线问题发展学生的数学建模能力不是一朝一夕能够达成的，它是一个循序渐进的过程，需要教师在平时的课堂教学中一点一滴地渗透。教师可以有目的地深入研究教材，把握教学内容核心;有组织地引导学生经历建模过程，提高学生学习的主动性;有意识地拓展学习内容，注重数学模型的应用。

（责编 吴美玲）