Neuman平均的算术与二次平均的最佳凸组合界*

张 帆

(湖州职业技术学院 建筑工程学院, 浙江 湖州 313000)

一、研究背景

对p∈,u,v>0且u≠v，则几何平均G(u,v)、算术平均A(u,v)、二次平均Q(u,v)、第一类Yang平均U(u,v)[1]1-27和p阶幂平均Ap(u,v)[2]1-12 [3]1-7分别定义为：

(1)

(2)

我们知道,幂平均Ap(u,v) 对固定的u,v>0且u≠v，关于p∈是连续和严格单调递增的，则有熟知不等式

G(u,v)=A0(u,v)

(3)

对所有u,v>0且u≠v成立.

沈林昌等介绍的Neuman平均如下[4]139-148：

(4)

并且还发现了最佳参数α1,α2,α3,β1,β2,β3∈(0,1)，使得双向不等式

α2Q(u,v)+(1-α2)G(u,v)

α3Q(u,v)+(1-α3)U(u,v)

对所有u,v>0且u≠v成立.

何晓红等证明了双向不等式[5]801-809

A2lg2/(5lg2-2lgπ)(u,v)

(5)

对所有u,v>0且u≠v成立.

从不等式(3)和(5)可以清楚地看到

A(a,b)

(6)

对所有u,v>0且u≠v成立.

根据不等式(6)，本文主要探究其是否存在最佳参数，使得α,β∈(0,1)的双向不等式

αQ(u,v)+(1-α)A(u,v)

对所有u,v>0且u≠v成立.

二、引理和主要结果

为证明本文的主要结论，需要以下2个引理：

也在(a,b)内单调递增(递减).如果f′(x)/g′(x)的单调性是严格的，则结论中的单调性也是严格的[6]10.

引理2函数

简单计算可得：

f1(0+)=f2(0)=0,f(x)=f1(x)/f2(x),

(7)

(8)

(9)

其中,

(10)

g(0)=0,

(11)

(12)

对x∈(0,π/2)成立.

(13)

(14)

下面证明本文的主要结果:

定理1双向不等式

αQ(u,v)+(1-α)A(u,v)

(15)

(16)

等式(15)和(16)使得

(17)

所以，定理1容易从引理2和等式(17)得到.

根据等式(1)(2)(4)和定理1可以得到如下2个推论：

推论1双向不等式

推论2双向不等式