算术与Toader平均凸组合的单参数平均确界*

马春琳， 徐会作

(1.昌吉广播电视大学 教务处， 新疆 昌吉 831100； 2.温州广播电视大学 教师教学发展中心， 浙江 温州 325000)

一、研究背景

设a,b>0且a≠b，p∈(0,1),q∈，M(a,b)是一个二元平均,则单参数平均M(a,b;p) 、q阶幂平均Mq(a,b) 、算术平均A(a,b) 、反调和平均C(a,b) 、形心平均E(a,b) 、二次平均Q(a,b)、Toader平均TD(a,b)[1]358-368分别定义如下：

M(a,b;p)=M[pa+(1-p)b,pb+(1-p)a],

(1)

(2)

(3)

(4)

近年来，国内外数学工作者得到了许多关于Toader平均与其他二元平均的重要不等式.

Barnard和Pearce等证明了λ=3/2，μ=log 2/log(π/2)=1.534 9L是使得双向不等式

Mλ(a,b)

对所有a,b>0且a≠b成立的最佳参数[2]693-699[3]289-312.

褚玉明等证明了双向不等式

C(a,b;λ)

(5)

华云等证明了双向不等式

E(a,b;α)

(6)

姜卫东等找到了最大值λ和最小值μ使得双向不等式

C(a,b;λ)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

对所有a,b>0且a≠b和所有α∈(0,1)成立[7]237-242.

E(a,b;1/2)=A(a,b)

(7)

Q(a,b;1/2)=A(a,b)

(8)

对所有a,b>0且a≠b成立.

根据不等式(7)和(8)可以发现最大值λ1,λ2∈[1/2,1]和最小值μ1,μ2∈[1/2,1]使得双向不等式

E(a,b;λ1)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

Q(a,b;λ2)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

对a,b>0且a≠b和所有α∈(0,1)成立.

二、基础知识与引理

为证明本文的主要结果，需要给出相关基础知识与几个引理.

对r∈(0,1)，第一类和第二类椭圆积分分别定义为：

并有：

κ(r)和ε(r)满足以下等式[8]474-475：

也是单调递增(递减)的.如果f′(x)/g′(x)是严格单调的，那么上述两式也是严格单调的[8]10.

引理3函数

在(0,1)上严格单调递增且值域是(1/4,4/π-1).

f2(r)=r2，f(r)=f1(r)/f2(r).

有:

f1(0+)=f2(0)=0，

(9)

(10)

简单计算可得:

(11)

(12)

引理4函数

在(0,1)上严格单调递增且值域是(0,(4/π-1)2).

g2(r)=r2和g(r)=g1(r)/g2(r).

有:

g1(0+)=g2(0)=0，

(13)

(14)

简单计算可得:

(15)

(16)

三、主要结果

定理1设α∈(0,1)和λ1,μ1∈[1/2,1]，则双向不等式

E(a,b;λ1)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

证明根据二元平均A(a,b)，E(a,b) 和TD(a,b) 是对称且一阶齐次的，不失一般性，设a>b>0.

令r=(a-b)/(a+b)∈(0,1)，p∈[1/2,1]，则由式(1)(2)(4)可得:

(17)

(18)

由等式(17)和(18)得:

[αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)]-E(a,b;p)=

(19)

其中，函数f(r)定义在引理3.因此，定理1可由引理3和等式(19)得到.

定理2设α∈(0,1)和λ2,μ2∈[1/2,1]，则双向不等式

Q(a,b;λ2)<αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)

对a,b>0且a≠b成立，当且仅当

证明根据二元平均A(a,b)，Q(a,b)和TD(a,b)是对称且一阶齐次的，不失一般性，设a>b>0.

令r=(a-b)/(a+b)∈(0,1)p∈[1/2,1]，则由等式(1)和(3)可得:

(20)

由等式(18)和(20)可得:

[αA(a,b)+(1-α)TD(a,b)]-Q(a,b;p)=

[2(1-α)f(r)+(1-α)2g(r)-(1-2p)2]，

(21)

其中，函数g(r)定义在引理4.因此，定理2可由引理4和等式(21)得到.

注：不等式(5)和(6)是定理1和定理2在α=0时的特殊情况.