“整体数学”教学研究与实践探索

刘乃志 江守福 安志军

摘  要：教学的“碎片化”导致教学不能站在整体上进行，学生学习主动性缺失. 通过三个阶段的研究，得到“整体数学”的基本观点，给出了章节起始课教学构建“数学导游图”和基于“数学导游图”的单元教材整合的相关结论，能有效解决教学中存在的问题.

关键词：整体数学;章节起始课;数学导游图;单元教材整合;项目学习

一、问题提出

章建跃先生在《从整体性上把握好数学内容》中指出：把握好整体性，对内容的系统结构了如指掌，心中有一张“联络图”，才能把准教学的大方向，使教学有的放矢.也只有这样，才能使学生学到结构化、联系紧密、迁移能力强的知识.《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性.

在实际教学中，教师往往忽视数学教学的整体性，具体表现在：忽视数学内在的逻辑一致性，教学内容的设置“碎片化”，学生不能站在整体的高度上学习数学;概念教学直截了当，学生对“数学概念是如何建立的—数学概念是什么—为什么要建立相关数学概念”缺少理解;忽视学生良好认知结构的形成，在解决综合性问题时不能建立数学网络结构的有效链接，解题无从下手，学生的学习兴趣、主动性和效果往往大打折扣.

基于此，笔者在多年的课堂教学和研究中不断探索、反复求证，经过多次论证、多轮实践与不断提炼，提出并逐步构建起了“整体数学”的教学主张. “整体数学”旨在解决：教师怎样整体教，特别是教学的“碎片化”问题，以及学生怎样系统学，特别是学生单一被动学习问题. 本文主要以“分式”教学为例进行说明.

二、解决问题的过程与方法

项目组围绕“一个理念”“两个环节”“三个阶段”开展研究工作，从改善“教师怎样整体地教”出发，达到寻求“学生怎样系统地学”的目的.

一个理念：整体地教数学、系统地学数学.

两个环节：从整体视角对章节起始课教学进行设计，从整体视角对教材进行单元整合设计.

三个阶段：整体观点下章节起始课教学设计研究阶段，基于整体的教材单元整合研究阶段，“整体数学”教学理论的构建阶段.

以上解决问题的过程与方法相辅相成、整体推进、效果显著. 具体如图1所示.

1. 起始阶段：整体观点下章节起始课教学设计研究

章节起始课教学需要帮助学生构建一个章节的“数学导游图”，发挥好章节起始课教学的整体统领作用. 主要观点是：让学生理解研究对象获得的必要性，规划好这个章节的学习内容和路径，然后再展开每一节的学习，增强学生自主学习的内驱力. 我们确立了从整体视角设计章节起始课的基本策略，形成了章节起始课建构“数学导游图”、概念课类比教学等操作模型.

案例1：“分式”章节起始课教学设计.

学生在小学先学习了整数，后引入了分数，解决了整数运算的封闭性问题. 整式的运算同样存在这样的问题. 如果教师能基于学生已有的学习经验，站在“数式通性”的整体角度设计教学，就能更好地打通学生的认知障碍，帮助学生构建起良好的数学认知结构，实现数学知识的再生长.

教师提出问题1：两个整数相加、相减、相乘、相除，结果仍是整数吗？

学生容易发现：两个整数相除时，如果能够整除，结果仍是整數，如果不能整除，结果用分数表示.

教师顺势提出问题2：两个整式相加、相减、相乘、相除，结果仍是整式吗？

类比问题1，学生发现：两个整式相除时，同样有类似两个整数相除的情况（有时候结果是整式，有时候结果不是整式）.

教师继续抛出问题3：结果不是整式怎么办？从而顺利引入新的表示方法，得到“分式”这个研究对象.

接下来教师引导学生回忆分数的研究内容，得到分式将要研究的内容：定义、性质、运算和应用，形成分式一章学习的“数学导游图”（如图2）. 在后续的学习中，教师在“数学导游图”的引领下展开教学，让学生的学习过程始终“见木见林”.

这种整体化的教学设计，改变了常规课堂开门见山式给出研究对象的做法，让学生对学习分式的必要性和必然性有了较好的理解，便于学生建立良好的数学认知结构，激发学习内驱力.章节起始课应该体现整体建构，培养学生的系统思维，让学生初步感知本章学习的内容.系统论认为，整体不能被化归为其组成部分来理解，由相互联系、相互作用的部分有机构成的系统，具有其各个部分在彼此孤立的状态下所不具有的整体特质.在实际教学中，部分学生数学认知结构混乱，知识之间的链接关系模糊，弄不清楚新知识与已有知识的联系，认知结构松散.因此，一章的教学如果从起始课开始就通过知识间的“瞻前顾后”，把将要学习的内容纳入到知识体系的全局中思考，可以有效避免知识的零散化和碎片化，实现教学的“高瞻远瞩”.

2. 发展阶段：基于整体的教材单元整合研究

整体观点下章节起始课教学设计研究形成的基本观点和操作模型，需要对教材从整体上进行单元整合，形成更为整体一致的数学课程.

主要观点如下.

（1）教师要让学生经历完整的数学学习过程，把部分放到整体系统中去设计教学;

（2）通过章节起始课教学构建的“数学导游图”统领一个章节教和学的过程，让一个章节的学习始终“见木见林”.

项目组确立了微观整合（小单元）、中观整合（中单元）和宏观整合（大单元）的单元整合路径，形成了依托“数学导游图”展开单元教学设计，按照不同数学对象研究的基本路径展开单元教学和跨单元整合等不同操作模型.

案例2：“分式”单元整合教学设计.

北师大版《义务教育教科书·数学》八年级下册第三章“分式”共11课时，进行单元整合后为7课时. 在本章的起始课教学中，根据“数式通性”的原则，类比小学分数的学习，已经构建出了分式学习的“数学导游图”，后续的单元教学将根据“数学导游图”的规划进行整章的谋篇布局. 在具体的单元整合策略上，更加重视数学思想方法的统一性，把具有相同思想方法的学习内容进行合并学习. 例如，学生在小学阶段已经对分数的运算法则非常熟悉，而分式的运算法则和分数是共通的，把分式的运算法则放在一节课进行集中探究，再安排1节课（或2节课）进行集中练习，可以让教学更有效. 本章具体课时安排如下.

第1课时：章节起始课教学. 类比分数得到“分式”这个研究对象，类比分数的研究内容和路径得到分式的研究内容和路径，构建分式学习的“数学导游图”（如图2），并对分式的概念进行学习.

第2课时：按照“数学导游图”的规划和“数式通性”的原则研究分式的基本性质，为后续学习打好基础.

第3课时：类比分数的运算，探究分式的乘除、加减运算法则.

第4课时：分式的运算习题课.

第5课时：探究分式方程的解法，在把分式方程转化为整式方程的过程中体现转化的数学思想方法.

第6课时：类比整式方程的应用学习分式方程的应用.

第7课时：本章回顾与思考. 重新呈现“数学导游图”，引领学生整体建构知识.

通过这种站在数学高处的单元整合，进一步发挥章节起始课教学的统领作用，实现先整体后局部的学习策略，强化了整体性板块学习，避免了数学知识和思想方法的碎片化.

一是在“数学导游图”的引领下让数学知识更加系统和板块化，利于学生形成良好的知识链接;

二是通过把体现相同思想方法的内容进行集中研究、类比研究，可以让学生有效实现数学思想方法的迁移;

三是减少了总课时量，减轻了学生的学习负担，实现了深度学习.

3. 深化阶段：“整体数学”教学理论的构建

项目组始终站在整体的角度上研究数学教学，根据“数学导游图”、不同数学对象研究的基本路徑等操作模型创造性地整合教材，逐步构建形成“整体数学”教学理论. 主张数学教学至少要体现如下特征：数学知识的整体性、学生认知的整体性、教学过程的整体性、学习内容的关联性、数学与生活的统一性. 主要观点有：数学教学要让学生经历完整的数学学习过程（如图3）;数学教学应该更加注重发现问题和提出问题（如图4）;发挥章节起始课的统领作用，让学生在学习中“见木见林”;数学学习要注重数学内部的逻辑一致性与学生认知结构的统一.

这种“整体数学”，将数学学科内部的整体性与数学学习过程的完整性统一起来，并将学生数学认知结构的整体性与问题解决过程的完整性统一起来，从而优化了教学脉络，实现了教材的优化组合，让学生在学习系统完整数学知识的同时，经历了完整的学习过程，从而达到发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的有机统一. 在“整体数学”教学理论的影响下，部分实验学校逐步打破学科界限，实现向“整体教育”的跨越，学校各项工作得到了极大改善和有效提升.

三、结论与建议

通过对“整体数学”教学的研究与实践探索，得到如下结论与建议.

1. 数学教学要让学生经历研究对象获得的过程，解决学生学什么的问题

在教学中，教师往往忽视研究对象的获得过程，或者是开门见山，或者是草率给出，而把更多的时间用于数学对象的研究和应用. 这种做法让学生对于研究对象学习的必要性、重要性等缺乏认识，对将要学习的内容缺乏整体的构建，学习兴趣、主动性和效果往往大打折扣.

教师在教学设计上关注研究对象获得的“必要而有用”，既让学生感受到数学与生活现实的紧密联系，又让学生理解所研究的对象与数学现实的逻辑一致性，体会数学学习的“一般套路”，提高发现和提出问题的能力，增强数学学习的主动性. 教学时，教师可以从“数学现实”（数学内部的逻辑一致性）和“生活现实”（具体的生活情境）两个方面或其中的一个方面进行设计，获得数学研究对象.

2. 数学教学要让学生建立起一个章节的“数学导游图”，解决学生怎么系统学的问题

数学知识具有高度的系统化和结构化，学习新知识时，要建立起与已有知识的联系，基于数学知识结构和学生认知结构构建“数学导游图”，让学生把新知识纳入到已有的知识体系中去，完善学生的认知结构，让后续的学习“见木见林”.

3. 数学教学要发挥好研究路径和研究方法的引领作用，解决教师教什么的问题

章建跃先生认为，变化的是研究对象，不变的是研究路径和研究方法，使学生在“重复”使用基本套路的过程中，领悟数学思想方法，学会思考，学会解决问题.在数学教学中，教师应注重渗透一个“数学研究对象”学习的思路和方法，使他们成为一名积极、主动的学习者，学会“通过自我探索生成新知识”.让学生构建合理的“研究之道”或形成良好的“经验性思维”，明确对新的实践活动的判断和行为方式的选择，从而有效提高选择最佳决策方案的能力，缩短从认识到实践这一转化的过程.

4. 数学教学要让学生经历完整的探究过程，解决教师怎么整体教的问题

数学教学应该让学生经历完整的学习过程，这个过程包括：获得数学研究对象、研究数学对象、应用数学对象. 教师要让学生学会用整体思维进行数学研究，培养学生研究问题的科学态度和理性精神，形成数学学习的一般套路.

学生在经历了完整的探究过程后，学会的不仅仅是一个结论，更为重要的是通过经历结论的发现和探究过程，形成了用科学的方法获得一个命题的一般范式，发展了合情推理和演绎推理的能力. 学生的这种经验会纳入到自己已有的认知结构中去，形成学习的整体思维，这种整体认知的思维方式又会在今后解决类似问题中得到自然地激发，这也正是学生数学学习所应该获得的素养.

四、效果与反思

1. 数学教学的碎片化问题

教师通过引导学生自主构建“数学导游图”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，有利于引导学生感受数学的整体性，有效解决了教学的碎片化问题. 把这个理念应用到集体备课、课堂教学和学生讲题中去，使得教师的备课和教学有了理念的支撑，教师从尊重数学内部的前后连贯、逻辑一致出发进行教学设计和课堂教学.

2. 学生学习的主动性问题

从整体上进行教学，让学生在学习一个章节的开始就主动构建“数学导游图”，单元学习根据“数学导游图”进行谋划和展开，学生对章节内容的系统结构了如指掌，让后续学习变得有章可循. 这种做法，一是可以让学生在学习一个数学对象时，自始至终从整体出发，心中有“图”（数学导游图），增强学习的目的性，发挥学习的主观能动性;二是可以让学生建立起良好的数学认知结构，在解决问题时，有效“触发”认知结构中的某个节点，形成结构中整体联动解决问题的强大能量场;三是利用学生形成数学学习的一般观点、基本策略和基本套路，发展学生的数学学科核心素养.

五、总结与展望

本研究在前人的基础上，对“整体数学”教学进行了研究与实践探索，界定了相关概念;对数学教学中存在的问题进行分析;在此基础上对基于整体观点的章节起始课教学和基于整体的教材单元整体设计进行研究，构建出“整体数学”教学理论. 今后，一是需要对基于“数学导游图”的单元整合教学进行更深入的研究;二是需要针对不同教学内容进行丰富的教学案例开发与研究，在实践中进一步检验本文提出的教学观点的有效性.

参考文献：

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