基于知识结构视角的习题课的思考与实践

摘  要：以知识结构的视角剖析了习题课的内涵特征和主要任务，从实例中阐释了习题课设计的基本途径，并提炼了习题课设计的三条基本原则——整体性、结构性、关联性.

关键词：知识结构;习题课;整体性;结构性;关联性

习题是数学知识的载体，是数学思想方法的生长点，蕴含着巨大的教育潜能. 教师通过组织习题课教学，可以及时分析、了解学情，帮助学生梳理已有的知识结构，纠正存在的问题，完善知识系统，并对所学的知识进行深加工，在原有知识的基础上“再创造”. 因此，习题课在数学单元教学中占有重要的地位，但在现实中相关研究比较欠缺.鉴于此，下面就个人研究谈谈习题课的认识与思考，以供研读.

一、习题课的认识与思考

习题是外在的，其蕴含的数学知识是内隐的. 这种依存关系要求我们必须先对数学知识本身进行深入分析研究，然后对习题进行有效解读，最后才能真正诠释习题课的丰富内涵特征.

1. 朴素认识

我们经常用“树”的结构来表述、总结数学学科的知识.树的主干是数学中的主干内容，树枝就是重要知识，而树叶是单个数学命题或者运用. “知识树”得到了不断发展、丰富，在20世纪60年代由美国康奈尔大学的诺瓦克（J.D.Novak）博士根据奥苏贝尔（David P.Ausubel）的有意义学习理论提出一种教学技术——概念图.在1970年前后由英国学者托尼·巴赞（Tony Buzan）创造了一种记笔记的方法——思维导图.总之，“知识树”形象直观，整体性、结构性、层次性较强，易于学生掌握. 但知识之间的关系不仅仅是树状的，而且也是网状的. 例如，勾股定理是直角三角形的三边性质，它属于直角三角形的“树枝”，但是勾股定理可以利用相似、全等、面积等知识去证明，也就是勾股定理与面积、全等、相似具有关系（关联），所以知识之间的关系既具有树状结构又具有网状结构（如图1）.

知识之间这种树状且网状的复杂结构是学习的难点所在，也是重点所在.能不能更加简单地认识知识的这种复杂结构呢？

我们可以关注其中一个知识，如以知识B为视角中心，“有向线段”的方向为标准，我们可以从图1中剥离出下面三种情况.

第一种情况：知识B“从哪里来”（如图2）.这个过程蕴含了两种理解方式.

多种方法解决一个问题.例如，A推导B，或者C推导B，也可以C，D合起来推导B.这也是我们常常说的“一题多法”或者“一题多解”.

多个知识解决一个问题.例如，综合利用A，C，D推导出B，也意味着知识B综合性比较大.

第二种情况：知识B“到哪里去”（如图3），即知识B不仅可以推导F，G，H，而且也可以推导其他知识，“到哪里去”的过程也蕴含了两种理解方式——知识的多元表征和知识的多种运用.

知识的多元表征.例如，完全平方公式，我们可以用文字语言、图形、符号、故事情境（分糖故事）等去理解.这样做的好处在于利用多元表征（语言、文字、符号、图象、具体事物、实际情境等）凸显知识对象各方面的属性，完善知识的整体结构和意义. 又如，我们常说的“一题多变”也属于此类.

知识的多种运用.例如，我们经常讲完一个公式、法则后，选择不同的类型习题让学生进行练习，这就是命题的多种运用. 又如，几何基本图形的运用也属于此类.

第三种情况：知识B“从哪里来”“到哪里去”（如图4），即知识的“层级发展”，这种知识的层级发展在数学学科中随处可见.例如，初中数学中两点之间线段最短→三角形任意两边之和大于第三边→三角形任意两边之差小于第三边.

以上三种情况只是“基本”情况，当然实际的知识会更加复杂，但是复杂情况不过是三种基本情况的组合而已.

2. 简单区分

在科学教育中引入例题、习题的初衷是巩固和加深学生知识的学习，考查学生掌握知识的水平，培养学生应用知识解决问题的能力.这样，为了与数学概念、公理、定理、法则、公式做一个简单区分，我们把数学概念、公理、定理、法则、公式等内容称为“核心命题”（以下简称“命题”），例题、习题等内容统称为“习题”.

3. 一点思考

综合“朴素认识”和“简单区分”的分析认识，来看我们常见的三种课型——新授课、习题课、复习课，就会对三种课型有更深的理解.简单来说，新授课的主要任务是命题“从哪里来”和“到哪里去”;习题课的主要任务是习题“从哪里来”和“到哪里去”;复习课的主要任务是对整体结构关系的再认知、再深化、再精致和再升华.如果结合“朴素认识”中三种情况再进行细化，我们就可以建立一个有关习题和命题的表格，得到十种情况，具体见下表.

结合以上研究，我们可以对习题课的内涵做出如下界定：在整体思维指导下，对相关习题进行统筹重组和优化，突出习题“从哪里来”和“到哪里去”的过程，彰显知识的整体性、结构性和关联性，在此基础上进行循环改进的动态课堂教学，其主要任务为表格中的最后一行.

二、习题课设计的基本途径及其示例

教无定法，但有常法，贵在得法.我们可以从本文中习题课的内涵和主要任务入手，梳理出习题课设计的基本途径，概括起来主要有如下六种：习题（命题）的多元表征、多种运用、多种方法解决习题、多种知识解决习题、习题的“层级发展”.如何理解这六种基本途径呢？我们不妨来看一节单元教学习题课的教学设计，具体如下.

1. 选题背景

选择习题1的理由有两个.（1）知识视角：很多版本教材都有“利用锐角三角函数计算小树高度”的相关习题.（2）学生视角：利用锐角三角函数解决实际问题（特别是灵活地构造直角三角形）是学生学习的重、难点.

2. 教学处理

阶段1：多种方法解决习题，多种知识解决习题.

习题1：如图5，如果我们想利用树影测量校园内的树高.若太阳光与水平地面的夹角为30°，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墻上.经测量，地面部分影长为6米，墙上影长为2米，那么这棵大树高约多少？

习题1可以运用多种方法解决（即一题多解），并且每种方法都需要综合运用多种知识，进而让学生认识到头脑中的认知结构中有许多“结点”，从这种结点出发可能形成不同的思路，从而有效地通过多种渠道来解决同一个问题，把所学知识、经验有机组合，形成网络.在这个阶段（一题多解）的教学中，我们必须从“一题多解”走向更深入的“最优意识”和“多法归一”.例如，在解后反思环节，教师适时地追问：哪种方法最简单？这些方法有哪些相同之处？这样的教学处理，能让学生明了三种辅助线的添加方法就是梯形常见的辅助线作法，进而更进一步明白问题的根本——利用锐角三角函数解决问题的关键就是构造直角三角形. 但是这种解题策略学生是否掌握了呢？我们在习题课中要抓住契机及时跟进.

阶段2：习题的多种运用.

变式1：如图6，我们发现小树AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD = 4米，BC = 10米，CD与地面成45°角，且若太阳光与水平地面的夹角为30°，则小树的高度为多少？

变式2：如图7，若斜坡的坡角为45°，太阳光与水平地面的夹角为60°，经测量，坡面影长为BD =[42]米，那么这棵大树高约多少？

变式3：如图8，若斜坡的坡角为45°，太阳光与水平地面的夹角为60°，经测量，坡面部分影长为[42]米，地面部分影长为2米，那么这棵大树高约多少？

数学试题千变万化，在课堂教学中教师应经常进行“习题的多种运用”（一题多用），引导学生大胆联想，积极创造.使学生在变换中看到所学知识的关联，想到知识的整体，明白知识的变化.让学生从不同侧面加深对问题本质的认识，即变化小树的位置、坡面、影长等要素，在不变中求变，在变中求不变.引导学生在求异、思变中创新，激发学生学习的积极性和趣味性，以培养学生良好的创造性思维品质和创造性学习能力.习题的多种运用、多种方法、多种知识可以彰显数学内部知识之间的关联、结构、整体，但是如何让学生站在更高的视角看问题呢？

阶段3：习题的多元表征.

变式4：如图9，在四边形ABCD中，∠B = ∠C =135°，∠D = 60°，BC =[42]，CD = 2，求AB的长.

教师在习题本质属性不变的前提下，通过改变习题的图形、表述方式和形式给出了“变式4”，给学生一次“返璞归真”的机会，前后关联、认识本质，以上习题及其变式本质就是利用“解直角三角形”来解决“其他图形”（三角形、四边形及其不规则图形），解决习题的关键就是恰当地构造直角三角形，从而积累“构造图形”和“习题学习”的基本经验，帮助学生完善认知结构.但是这种知识是否内化？结构是否牢固、开放呢？我们还要进一步进行教学推进.

阶段4：习题的“层级发展”.

变式5：请同学们根据学习经验和生活经验编制一道习题并尝试解决.

习题2：如图10，若斜坡的坡角为45°，太阳光与水平地面的夹角为60°，经测量，坡面影长为BD =[42]米，那么这棵大树高约多少？

习题3：如图11，若斜坡的坡角为45°，太阳光与水平地面的夹角为60°，经测量，坡面部分影长为[42]米，地面部分影长为2米，那么这棵大树高约多少？

习题4：如图12，在四边形ABCD中，∠B = ∠D =90°，∠A = 60°，BC = 4，CD = 2，求AB的长.

阶段1到阶段3的过程，实际上就是习题的“层级发展”，而阶段4再一次开放地“层级发展”，给学生思维一次飞跃的机会，学生也给出了不一样的精彩（习题2 ～ 4为学生当场编制的部分习题）.通过习题的“层级发展”能够形成放射狀问题链，极大地丰富学生的知识面，拓展学生的思维空间，使学生思维得以发散，增强思维的渗透性和变通性.

三、习题课设计的教学启示

在课堂教学中，我们往往遵循着一般的基本原则，如直观性教学原则、启发性教学原则、巩固性教学原则、量力性教学原则（可接受性原则）等.但单元教学习题课作为特殊课型，除了考量基本原则以外，通过上面的“示例”归纳，还可以提炼出以下几项基本原则.

1. 整体性原则——宏观架构课堂

此处的整体性原则主要指两方面，即数学内容的整体性和教学过程的整体性.图1呈现了知识的整体状态，我们不能把它分割成一条条孤立的习题进行教学，而应当特别注意各习题（知识）之间的内在联系，建立知识框架要从关注一节课的教学到更大范围（单元或学科）的教学，将碎片化的数学知识进行优化统筹整合，这样有助于学生从整体上把握教学内容，确保知识结构的完整性，建构完整的知识体系.例如，在刚才的例子中，宏观上架构了两条主线：明线——计算小树的“身高”，暗线——学会构造直角三角形，两条主线相互交织，整体架构.

教学过程本身就是一个受目标、内容、方法等多种因素影响和制约的系统.具体的就是，教师应该在系统思想和方法下，从整体出发，分析、判断并调控各个要素和相互关系.更确切地说，先进行教材分析、内容分析、学情分析，即解决“学什么”的问题;再根据前面的分析，结合课程标准，制定具体的教学目标，即解决“学到什么程度”的问题;最后选择科学合理的方法和恰当实用的素材制定行之有效的教学策略，即解决“怎样学”的问题.例如，本节单元教学习题课的设计只是笔者个人所教班级的实践与思考，如果“原版照抄”，那将会“水土不服”，我们必须根据数学内容和教学过程的整体性考量，最终达到教学目标、教学内容和教学方式等协调统一的状态.

2. 结构性原则——中观建构知识

布尔巴基学派曾指出，数学并非研究数量的，而是研究结构的科学.当然数学知识结构分为两种：数学内容结构与数学方法结构.结构性原则就是指教学的全过程中始终有把教学材料组织成有序、有内在逻辑、联系紧密甚至深刻的体系，从而内化为学生头脑中的认知结构的意向.

从数学内容结构来看. 首先，教学过程中要顺着知识（习题）的内在逻辑结构发生;其次，在探究习题时要有结构意识，看看习题的结构是否同构，比较异同;最后，总结提升的时候也要有结构意识.例如，习题1，五个变式，学生编制习题总体上呈现一种层次性、关联性的结构特征，整个习题课的设计是成串、成套的，是简约的多触点、结构化特征，也是具有“空间”结构的，而不是“平面”结构的简单展现.

从数学方法结构来看，示例中抓住“斜坡上的小树”这一情境，由浅入深、环环相扣、层层递进，让学生不断地抓住核心方法——构造直角三角形，呈现的方法结构就是以核心方法为中心，多个习题和变式呈现放射状，这样的设计（一法多用）可以凸显几何基本图形思想方法，帮助学生积累数学基本活动经验，提高数学学习的元认知水平.

3. 关联性原则——微观精致内容

关联是为了找到知识的联结，去除遮蔽，关联不是简单地用一种思维去替换另一种思维，而是让思维能够充分地从一个点到另一个点进行连续的活动.图1中的“有向线段”就是一种关联，即“从哪里来”和“到哪里去”，具体表述为习题的多元表征、多种运用、多种方法、多种知识综合和“层级发展”等，当然我们不仅仅充分重视这种关联，还要注意习题的进一步深化、变化和发展，注重数学内部知识之间的关联，形成知识的网络体系.当然这种关联只是关联性中的一种，还有其他两种.例如，示例中创设情境自然生动，拉近了生活和数学之间的距离，体现了数学与生活的关联;我们还可以拉近不同学科之间的距离，体现了数学与其他学科之间的关联.总之，关联性原则就是置知识于系统中，着眼于事物之间的联系.

以上是个人有关习题课的内涵、设计途径和原则的思考与实践，囿于笔者的个人水平，还需要一线教师在教學中反复摸索、努力探究、不断总结，最终实现数学习题课的教学目的.

参考文献：

[1]GOWIN D B，NOVAK J D. Learning How to Learn[M]. Cambridge：Cambridge University Press，1984.

[2]BUZAN B，BUZAN T. The Mind Map Book：How to Use Radiant Thinking to Maximize Your Brain's Untapped Potential[M]. NewYork：Dutton，1994.

[3]李昌官. 试论数学教学的结构性原则[J]. 课程·教材·教法，2002（5）：39-41.

[4]何丽华. 以研究的视角架构单元起始课教学[J]. 中国数学教育（初中版），2020（5）：3-8.

[5]孙维刚. 孙维刚初中数学[M]. 北京：北京大学出版社，2015.