深度学习的“母子问题串”设计和实施

寻友利 刘永东

摘  要：在课堂教学中，如何带领学生高效突破教学难点，达到引导学生进行深度学习的目的值得探究. 根据教学内容和学情设计一系列“母子问题串”是一种值得尝试的教学策略. 在设计问题串之前，需要教师精读教材、精准定标、精当设计.

关键词：深度学习;问题串;平方差公式

一、写在前面

如果说问题是数学学习的心脏，那么“问题串”就是数学学习的强心剂. 基于问题解决的学习过程，可以促进学生积极思考、主动学习，提升学生的数学理解和数学交流能力. 而深度学习是追求有效迁移的高投入学习，它注重培养学生的创新思维和批判性思维. 问题串的解决注重独立思考并交流迁移，它能激发、促进、支持并达成深度学习. 这是因为：在解决问题时，学生之间不断交流和自我反思，需要通过整合信息、深度思考，以理解知识点并能将其融会贯通;而学生思维发生碰撞交流使得思路拓宽，又为知识体系的建构与发展提供支持;交流需要提出质疑，调整理解，优化解决方式，进而迁移，可以达成深度学习.

因此，教師可根据知识的结构和特点，结合学生的学习水平，设置好问题，特别是设置指向深度学习的问题串以达成有效教学. 对此，以人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解”的“平方差公式”教学为例，就问题串的设计与实施进行探析，与同行共研.

二、问题串从何而来？如何设置？

设计好问题串，需要理解数学、理解教学、理解学生，还需要理解技术. 理解乃好问题之始，对教师而言，在已经理解学生的前提下，备课更需要理解课程标准、理解教材，这需要精读其内涵，才能准确定标、精当设计.

首先，是理解课程标准，方能精准确定教学目标. 本课的教学目标有两个：一是理解平方差公式（以下简称“公式”）;二是在探索公式的过程中，感悟从具体到抽象的研究问题的方法. 对此，笔者这样理解：一是公式从何而来？如何用？这里需要学生感受由多项式乘法到公式的从一般到特殊的过程，并能根据多项式的乘法法则推导出公式，进而理解公式的基本结构和特征，会用数学符号表示公式，能用文字语言描述公式，在用字母表示具体的数、单项式、多项式时能正确地运用公式进行计算;二是在验证公式的过程中，如何增强感知数形结合思想？如何增强由具体到抽象的过程体验？为此，在利用几何图形面积验证公式过程时，需要了解验证公式的具体方法及验证方法的合理性.

其次，是理解教学内容，这反映在精读教材. 为什么学？知识处于什么地位？学习后对学生的知识结构和能力提升有何帮助？等等，需要带着这些问题去精读教材. 本课前学生学习了整式的乘法，掌握了单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的运算法则，而公式是一类特殊的多项式乘以多项式运算，可以通过观察、比较、抽象概括出一般形式，通过符号推理概括出公式，并用符号和文字语言表述. 一方面，感受从一般到特殊的数学思想;另一方面，简化运算，并为后续学习其他公式做铺垫和类比.

最后，是理解学生的认知水平. 公式中的a，b可以是具体的数字、单项式、多项式等，情况比较复杂，学生识别时，找准其代表的数或字母或代数式是难点，可以通过以退为进达成分解难点的目的，进而有效突破难点.

基于以上理解，可以将达成教学目标的具体内容和难点运用问题串形式让学生思考和交流，即母问题和子问题形式. 先设置三个母问题与之对应，即平方差公式产生的背景是什么？如何验证平方差公式？平方差公式的特点是什么？在具体教学中，用一些子问题来开展教学，子问题是围绕母问题设置的，目的是分解难度，分解较为复杂的知识点，即“以退为进”. 值得注意的是，问题串的设置可先预设，但需要根据课堂实际情况和学生的反映灵活调整.

三、问题串走向何方？如何实施？

陶行知先生说：“发明千千万，起点是一问.”问题乃真思辨之源，对于母问题，需要通过一个个子问题组成的问题串去达成，这些子问题应该是有价值的、能激起学生思维剧烈活动的问题，进而在交流中引导学生解决问题. 有效的子问题犹如一石激起千层浪，让学生沉浸、顿悟，并从中感受思考的乐趣，逐步提升思维能力和数学表达能力. 因此，问题串是围绕母问题而设置的，是有组织、有关联的问题的集合，或由浅入深、或并列相关、或层层递进. 用以下的环节实施说明问题串的应用.

例如，为将本课知识与生活实际问题相结合，在引入环节围绕公式产生的背景，设置两个子问题. 一方面，让学生感受数学知识与实际生活的紧密联系;另一方面，做好学习铺垫.

子问题1：小明周末去菜市场买水果，发现苹果降价，4.2元 / 斤，他挑了几个，称重共3.8斤，他正想拿出计算器算一下总价，没想到水果店老板马上说出了答案，你们知道老板运算这么快的秘诀是什么吗？

以生活中的实际问题作为课堂引入，调动学生学习的积极性. 学生可以根据自己的实际水平直接计算，教师让使用了简便运算方法的同学上台讲解解题思路，并追问同学们，简便在何处？

子问题2：在子问题1的基础上，你能快速得出

99 × 101的值吗？10.2 × 9.8呢？试试看.

子问题3：分别计算多项式[x+1x-1]，[x-2 ·][x+2]，[2x+52x-5]，结合以下三个问题思考，你能发现什么规律吗？

（1）试观察这几个多项式与多项式相乘的乘法式子中，两个因式有什么特点？与前面的问题中的数字相乘有无相通之处？

（2）两个因式的积又有什么特点？

（3）为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是二项式？

小组讨论交流，通过智慧碰撞和补充后进行表达，具体实录如下.

生1：三个多项式的乘法都是两个数的和乘以这两个数的差，本来他们的乘积应该有四项，但是有两项互为相反数抵消了，所以最终的乘积只有两项，前面问题中的数字相乘其实是字母相乘的特殊情况.

生2：我发现乘积中剩下的两项恰好可以写成平方式，中间还是减号相连.

生3：我还发现结果恰好是前面一项的平方减去后面一项的平方.

生4：我觉得生3说得不够准确，因为加法有交换律. 他说前面一项和后面一项其实是可以互换的. 例如，[x+1x-1]可以写成[1+xx-1]，这时生3说的前面一项的平方减去后面一项的平方就不够准确了，应该说成减法中的前面一项的平方减去后面一项的平方才准确.

生5：我觉得生1说得也不够全面，不一定是两个数的和乘以这两个数的差，也可以是字母、代数式.

至此，学生通过质疑，形成了一定的共识，教师在给予肯定和鼓励后继续提出子问题.

子问题4：你能用文字和数学语言描述你得出的规律吗？并能用你所学的知识证明这个规律是否正确吗？

生6：两个数（或式）的和与这两个数（或式）的差的乘积等于这两个数（或式）的平方差. 用数学符号表示为[a+ba-b=a2-b2].

生7：我们可以通过多项式乘以多项式的运算法则计算左边的代数式得出的结果与等式右边结果一致完成证明过程.

从特殊到一般，由数字到字母，围绕母问题“公式的特点是什么？如何验证？”设置子问题展开探究，让学生归纳公式的结构形式和特点，感受知识产生的依据，强化符号意识，提升学生抽象概括和数学表达的能力.

四、问题串如何交流？

在运用公式计算的示例讲解中，除了教材例题[3x+23x-2]和[b+2a2a-b]外，还可以根据学生的实际情况提供变式[-x+2y-x-2y]和[-x+2y ·][x-2y]，以促使学生进一步熟悉公式的结构特点. 通过巡视课堂，观察解题情况，收集典型错误，针对母问题“平方差公式的特点是什么？”灵活设置子问题串促进师生、生生之间的交流.

子问题5：试找出每一个能使用平方差公式计算的式子中，相对应的a，b分别是什么？

子问题6：两个变式的区别在哪里？为什么前者能使用平方差公式，而后者不行？

子问题7：你能对后一个变式[-x+2yx-2y]进行改编，使其计算能使用平方差公式吗？说说你的改编依据.

要让学生交流起来，就必须把教学节奏放慢，让学生多观察、多思考、多类比. 变式要求学生熟悉公式的结构特点，还需要根据代数式的运算法则进行相应变形，识别出公式中的a，b分别是什么. 课堂中主要出现以下几种做法：一是直接利用多项式乘以多项式计算，结果正确;二是直接套用公式计算，导致后一个变式出错;三是认真分析每个式子的结构特点，采用适合的计算方法得到正确答案. 可见，学生之间存在较大差异，学习主动性也各有不同，一些学生觉得用旧知识能算对就可以了，对新知识缺乏深入理解;一些学生对新知识一知半解，直接套用，知其然而不知其所以然;一些学生对新知识掌握到位，会识别辨析，在发现不能使用公式时，退回到以前所学的知识解决问题，注重知识的产生过程. 对此，笔者针对变式展开讨论和辨析，在辨析中突破难点和解决母问题，并通过适时归纳和反思深度解读公式.

以子问题7为例：

生8：改为[x+2yx-2y]，这时a = x，b = 2y.

生9：改为[-x+2y-x-2y]，这时a = -x，b = 2y.

生10：改为[x-2y-x-2y]，这时a = -2y，b = x.

生11：改为[-x+2yx+2y]，这时a = 2y，b = x.

这个子问题教学，让不同层次的学生都能在自己的最近发展区内有所获. 学困生会辨析同学写出的变式是否正确;中等生能写出其中一两个答案，在聆听不同答案的过程中归纳分类依据，做到不重不漏;优等生尝试写出所有答案，对公式有更深层次的理解，且在写的过程中感受分类讨论的数学思想，可谓一举两得. 这是一个开放性问题，学生改编就是一种深度学习，说出改编依据更是要求对公式有深层的理解，而子问题串的设置是层层递进、由浅入深的. 基于这个环节的教学，教师创设接龙活动，让学生进行公式辨析.

接龙活动：请一位同学任意说出一个多项式，另一位同学找出一个多项式与它相乘，要求能使用平方差公式，并指出与公式相对应的a，b分别是什么？

生8：我出[3x-2y].

生9：我找[3x+2y]与它相乘，[3x-2y][3x+2y]=[3x2-2y2]，其中a = 3x，b = 2y.

师：还有其他的多项式吗？

生10：我找[-3x-2y]与它相乘，[-3x-2y · 3x-][2y=-2y2-3x2]，其中a = -2y，b = 3x.

紧接着进行第二、三轮，根据学生的接龙情况，教师适时提出子問题串.

子问题8：生9和生10找的式子与生8给出的式子之间有何关系？

子问题9：对于[-x-y]，找[x+y]可行吗？若行，指出与公式相对应的a，b分别是什么;若不行，说明理由.

子问题10：请大家从自己理解的角度说说平方差公式除了文字表述和数学符号表示外，还可以从哪些角度解读？（小组讨论.）

辨析环节是对应用环节的补充和延续思考，辨析归纳平方差公式的结构特点，甄别其使用范围：子问题9给了学生一个思考的方向，注意观察两个相乘的代数式之间的关系，子问题10是在学生理解子问题9的基础上，按照自己对公式不同角度的理解，借助小组的力量，完成归纳，进而从更多角度解读公式. 下面呈现一个小组的互动情况.

成员1：说实话，我觉得挺晕的，感觉只背公式没有用，要看里面有没有两个相同的数或者式子，而且还一定要是一加一减的形式才行，我能识别出能不能用公式，但是给出一个式子，让我找全与它匹配能用平方差公式的式子，我还是没把握.

成员2：我觉得符号比较简单的我会，符号复杂了我就有点没把握，加减号和正负号弄在一起有点晕.

成员3：我觉得成员2说的内容给了我启发，其实，加减号本来和正负号就是相通的呀！所有的减号都可以写成加号的形式，这么说来，我觉得这个公式还可以这样理解：公式左边[a+ba-b]也可看成[a+b ·][a+-b]，可以进一步解读为一对相同数（或代数式）和一对相反数（或代数式）相加，把它们的和相乘，等号右边即是相同数（或代数式）的平方减去相反数（或代数式）的平方. 这样，我们看能不能使用公式，只要看相乘的两个式子里面是不是有一同（相同的数或式子）一反（互为相反数的数或式子），这样就排除减号的干扰了，大家觉得如何？

成员齐呼：很有道理！这样更容易理解. 用这个方法找匹配的式子就简单多了，只要找一同一反就好啦！

基于这一小组成员的归纳，笔者给予表扬和肯定，鼓励学生多角度理解公式，邀请小组成员代表发表看法，学生倾听并找到了自己最容易理解和接受的方法. 笔者继续追问：你能找出一个含a，b，c的多项式，使它与[a+b-c]相乘能使用平方差公式吗？你能找出多少个？这个问题对学生的学习能力提出了较高要求. 一方面，要求学生对公式结构非常了解;另一方面，考查了学生分类思想，引导学生的思维提升到更高层次，凸显了学生的主体地位，体现了以生为本，也体现了问题串在教学中的重要作用.

除此之外，在运用几何图形面积证明公式的拓展环节，为更好地培养学生的建模能力，以及感受逆向思维的妙处，适时提出三个子问题引导学生思考，以完善学生的知识体系.

子问题11：大家还记得教材推导[a+bm+n=][am+an+bm+bn]是如何操作的吗？

子问题12：根据平方差公式特点，你觉得该如何构造相应的几何图形进行验证，并谈谈你的依据？

子问题13：根据同学们的构图方法，你觉得哪种方法更方便快捷？为什么？

利用子问题11，引导学生回归教材，感受利用几何图形表示多项式乘以多项式的直观性. 在子问题12中，让同学们以小组为单位，讨论构图方法和依据，以培养学生的建模能力. 子问题13通过不同答案的展示，让学生分享如何想到从公式的右边a2 - b2入手，让学生感受逆向思维的妙处.

由图1，得S阴 = a2 - b2;由图2，得[S阴=a+ba-b.]所以[a+ba-b=a2-b2.]

由图形面积也可证明平方差公式，并直观表示.

最后，在总结环节中，根据母问题设置子问题串引导学生总结归纳. 例如，公式产生的背景是什么？如何证明公式成立，有哪些方法？公式的特点是什么？不满足这些特點时应该如何进行计算？学习中感