r-特殊首尾和循环矩阵的行列式及其逆矩阵的算法

2021-01-12曾慧程

湖州师范学院学报 2020年10期

曾慧程，蔡静

(湖州师范学院理学院, 浙江湖州 313000)

0 引言

循环矩阵作为一类特殊矩阵被广泛应用于图象处理、编码理论、线性预测等方面[1-3].很多学者对其进行了研究和推广，并提出了许多特殊的循环矩阵.首尾和循环矩阵就是其中一类，在纠错码理论中频繁出现.2003年，黄德超等[4]提出了首尾和循环矩阵求逆的快速算法；同年江兆林[5]提出了首尾和r-循环矩阵及首尾和r-向后循环矩阵的概念.相比首尾和循环矩阵，首尾和r-循环矩阵出现了参数r，结构更为特殊.2004年，朱泉涌等[6]提出了r-首尾和循环矩阵的新概念，并运用多项式矩阵理论计算了该矩阵的逆；2016年，师白娟[7]在r-首尾和循环矩阵的基础上，研究了包含切比雪夫多项式的循环矩阵行列式的计算.关于首尾和循环矩阵的研究已较充分，但对r-首尾和循环矩阵的研究还相对较少.本文在r-首尾和循环矩阵的基础上,提出一种特殊的r-首尾和循环矩阵(记为SFLSCM)，并运用多项式理论给出其行列式、逆矩阵或群逆的有效算法.

1 预备知识

定义1 若矩阵A∈n×n有如下形状：

则称A为r-特殊首尾和循环矩阵，记A=SFLSCr(a1,a2,…,an)∈SFLSCM.

本文定义如下矩阵Δ作为基本r-特殊首尾和循环矩阵:

(1)

易知g(x)=xn-r(xn-1+1)是矩阵Δ的特征多项式.此外,根据基本r-特殊首尾和循环矩阵的结构,可以得到Δn=r(Δn-1+E).

定义2[8]若矩阵A∈n×n,称满足rank(Ak+1)=rank(Ak)的最小非负整数k为矩阵A的指标,记作ind(A)=k.

定义3[9]若A∈n×n,ind(A)=k,如果n阶方阵X满足AkXA=Ak,XAX=X,AX=XA,则称X是A的Drazin逆;当ind(A)=1时，Drazin逆又称为群逆.

证明设

ωi是g(x)=xn-r(xn-1+1)的n个不同的根,则有：

所以矩阵V(ω1,ω2,…,ωn)是一个非奇异矩阵.

所以

AV(ω1,ω2,…,ωn)=V(ω1,ω2,…,ωn)diag(f(ω1),f(ω2),…,f(ωn)),

V(ω1,ω2,…,ωn)-1AV(ω1,ω2,…,ωn)=diag(f(ω1),f(ω2),…,f(ωn)),

即证得A的特征值为f(ωi),i=1,2,…,n.

则(f(x),g(x))=d(x),且满足f(x)·u(x)+g(x)·v(x)=d(x).

2 主要结论

有：

所以

a1E+a2Δ+a3Δ2+…+anΔn-1=A,

即f(Δ)=A.

反之,A=f(Δ)=a1E+a2Δ+a3Δ2+…+anΔn-1=SFLSCM(a1,a2,…,an)∈SFLSCM.

定理3 若A,B∈SFLSCM,则AB=BA∈SFLSCM.

证明根据定理2,有：

A=f(Δ),B=u(Δ),

故有：

要证AB=BA∈SFLSCM,应先证明：AΔ=ΔA当且仅当A∈SFLSCM.

必要性显然成立，充分性证明如下：

由AΔ=ΔA得:

ai1=rai-1,n,i=2,3,…,n,

ain=ai-1,n-1+rai-1,n,i=2,3,…,n,

aij=ai-1,j-1,i=2,3,…,n,j=2,3,…,n-1.

故有：

所以A∈SFLSCM.

下证AB=BA∈SFLSCM.

因为A,B∈SFLSCM,所以AΔ=ΔA,BΔ=ΔB.故有:

ABΔ=AΔB=ΔAB,BAΔ=BΔA=ΔBA.

即证得.

定理4A∈SFLSCM,矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的特征根f(ωi)≠0,i=1,2,…,n.

证明由定理1知:

因为矩阵A可逆,所以

故有f(ωi)≠0,i=1,2,…,n;反之亦成立.

定理5A∈SFLSCM,矩阵A可逆的充要条件是(f(x),g(x))=1，其中g(x)同引理1.

证明因为矩阵A可逆,所以f(ωi)≠0,又g(ωi)=0,故f(x)与g(x)无相同零点,即证得(f(x),g(x))=1;反之,若(f(x),g(x))=1,则存在u(x),v(x),使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=1.由于f(Δ)=A,g(Δ)=0,则有u(Δ)A=E.因此矩阵A可逆且A-1=u(Δ)，由定理2可得A-1∈SFLSCM.