一个混合核的Hilbert型不等式及其应用

有名辉，宋 维

(浙江机电职业技术学院 数学教研室，浙江 杭州 310053)

0 引 言

100多年前，德国著名数学家Hilbert提出了Hilbert不等式[1]：若f,g≥0,f,g∈L2(+),则有:

(1)

其中π为满足式(1)的最佳常数因子.100多年来，数学家们通过对核函数不断地变形改造、引进参数，并通过构造新的核函数，考虑其离散型、半离散型、系数加强及高维推广，已使Hilbert不等式发展成为一个庞大的理论体系，产生了大量的新文献[2-10].其中很多研究成果与指数函数有关.2012年，杨必成[11]得到了如下齐次核的不等式：当α>0，γ>-1时,

(2)

2013年，文献[12]～[13]给出了如下含双曲正割核函数及双曲余割核函数的非齐次Hilbert型不等式:

(3)

(4)

其中，sech(t)=2(et+e-t)-1，csch(t)=2(et-e-t)-1，c0=0.915 9……为Catalan常数,μ(x)=x-3.

2019年，文献[14]构建了一个由多个双曲函数组合的核函数，并建立了相应的Hilbert型不等式，拓广了式(3)和式(4)的结果.本文构造一个与指数函数关联的核函数：

k(x,y):=e-αxyarctane-βxy，

建立一个含最佳常数因子的Hilbert型不等式，并赋予参数特殊的值，得到一些有趣的特例.为行文方便，约定p>1，1/p+1/q=1.

1 引 理

引理1 设α≥0，β≥0，α+β>0，γ>-1，k(t):=e-αtarctane-βt，

(5)

则

(6)

证明把arctane-βt展开为e-βt的麦克劳林级数，可得:

(7)

令

u=[(2k+1)β+α]t，

则有:

(8)

结合式(7)和式(8)，即可得式(6).

其中,n为充分大的自然数.则当n→+时，有:

(9)

证明作替换xy=t，并由Fubini定理，可知:

(10)

结合式(6)及Lebesuge控制收敛定理，可得式(9).

2 主要结果

定理1 设α≥0，β≥0，α+β>0，γ>-1，定义k(x,y):=e-αxyarctane-βxy.μ(x)=x-(pγ+1)，ν(x)=x-(qγ+1)，f(x)，g(x)≥0，且满足f∈Lp,μ(+)，g∈Lq,ν(+)，则

(11)

其中,C(α,β,γ)由引理1定义，C(α,β,γ)Γ(γ+1)为满足式(11)的最佳常数因子.

证明由Hölder不等式，可知：

(12)

其中,

令xy=t，由引理1可得:

(13)

同理

(14)

把式(13)和式(14)代入式(12)，得:

(15)

若式(15)可取等号，那么有不全等于零的实数A与B，使得

即

Ax-pγfp(x)=By-qγgq(y) a.e.于(0,)×(0,).

因而有常数C，使得

Ax-pγfp(x)=Ca.e.于(0,);

By-qγgq(y)=Ca.e.于(0,).

不失一般性，假定A≠0,则有:

这显然与f∈Lp,μ(+)矛盾.因而式(15)不能取等.

最后证明C(α,β,γ)Γ(γ+1)是满足式(11)的最佳常数因子.利用反证法，假如这一常数因子不为最佳，则必有0

(16)

令ε→0+，则有C(α,β,γ)Γ(γ+1)≤k，这显然与假设矛盾.因此式(11)的常数因子最佳.

定理1证毕.

在定理1中,若令α=0，则有以下推论：

推论1 设β>0，γ>-1，μ(x)=x-(pγ+1)，ν(x)=x-(qγ+1)，f(x)，g(x)≥0，且满足f∈Lp,μ(+)，g∈Lq,ν(+)，则

(17)

推论2 设α>0，γ>-1,μ(x)=x-(pγ+1)，ν(x)=x-(qγ+1),f(x)，g(x)≥0，且满足f∈Lp,μ(+)，g∈Lq,ν(+)，则

(18)

从而有:

推论3 设α>0，μ(x)=x-1，ν(x)=x-1，f(x)，g(x)≥0，且满足f∈Lp,μ(+)，g∈Lq,ν(+)，则

(19)

最后，在定理1中,令α=2β≠0，γ=0，此时

故有:

推论4 设β>0，μ(x)=x-1，ν(x)=x-1，f(x)，g(x)≥0，且满足f∈Lp,μ(+)，g∈Lq,ν(+)，则

3 结 语

本文在已有文献的基础上，构造了一个新的核函数，并借助麦克劳林展开等分析的技巧，建立了一个新的Hilbert型不等式.通过引入Catalan常数等特殊常数，得到了一些新的特殊形式的Hilbert型不等式.这些新建立的结果是以往文献的拓展和补充，具有一定的理论意义和价值.