群体评价中的序关系分析法

2021-01-07宫诚举李伟伟郭亚军

运筹与管理 2020年11期

宫诚举，李伟伟，郭亚军

（1.哈尔滨工程大学经济管理学院，黑龙江哈尔滨 150001；2.东北大学工商管理学院，辽宁沈阳 110169）

0 引言

20世纪70年代美国运筹学家Saaty提出了层次分析（AHP）法［1，2］，得到了学者的广泛关注，但应用层次分析法时构造符合一致性条件的判断矩阵是一个复杂的问题，并且Saaty给出的判断矩阵一致性检验标准的科学性也受到许多学者的质疑［3］。针对层次分析法存在的问题，郭亚军教授认为产生上述问题的根源在于能否真实唯一的给出指标之间的序关系，并在此基础上提出了一种无须一致性检验的序关系分析（G1）法［4］。目前序关系分析（G1）法在国内已经得到广泛的研究和应用，主要体现在：（1）序关系分析法的改进。文献［5］摒弃序关系分析法中要求评价指标间满足强一致性的条件，提出了一种评价指标满足弱一致性条件的改进型序关系分析法；（2）区间数序关系分析法。文献［6］针对群组评价中各评价者给出的相邻指标重要性比值均为区间数的情况进行研究，给出一种区间标度群组序关系分析法；（3）不同标度对序关系分析法的影响。文献［7］对常用的5种标度应用在序关系分析法中的合理性进行了分析，并给出了选择适合序关系分析法的标度的方法。（4）序关系分析法的应用［8］。目前序关系分析法已经广泛的应用在机械、电力、石油等行业。

随着评价问题的复杂性和信息量的不断增加，越来越多的评价问题需要多个评价者参与，这便构成了群体评价［9～12］，虽然关于序关系分析法的研究很多，但很少有研究针对群体评价中的序关系分析法，文献［6］的研究虽然是针对区间数情况下群体评价中的序关系分析法，但当区间数退化为具体数值时是否与原序关系分析法计算的权重相同有待进一步的论证。文献［13］则是通过协商各评价者对评价指标的序关系和相邻指标重要程度的比值解决群体评价中序关系分析法的应用问题，但是这种方法改变了各评价者最初的想法，甚至会出现向“权威”专家妥协的情况。因此，本文针对群体评价问题的具体情况，提出一种在群体评价中不需要协商的序关系分析法，以解决如何将序关系分析法应用在群体评价中的问题。

1 问题描述与假设条件

1.1 问题描述

对于一个群体评价问题，设评价者的集合为S＝｛s1，s2，…，sn｝，评价指标的集合为X＝｛x1，x2，…，xm｝，被评价对象的集合为O＝｛o1，o2，…，op｝，评价者权重的集合为＝1。xij表示被评价对象oi在评价指标xj下的观测值，其中，i＝1，2，…，p，j＝1，2，…，m，k＝1，2，…，n，不失一般性，令m，n，p≥3。由于群体评价中各评价者的知识背景、实践经验以及看待问题的角度均不相同，因此将序关系分析法应用到群体评价时会出现3种情况：（1）各评价者给出的评价指标间的序关系和相邻指标之间重要程度的比值均相同；（2）各评价者给出的评价指标间的序关系完全相同，但相邻指标重要程度的比值不同；（3）各评价者给出的评价指标间的序关系和相邻指标重要程度的比值均不同。显然第一种情况在群体评价中很难出现，而另外两种情况比较容易出现，尤其是第3种情况，因此如何在群体评价中应用序关系分析法是综合评价研究中值得考虑的问题。

1.2 假设条件

本文的研究基于以下2点前提假设：

（1）各被评价对象在各评价指标下的信息值均为客观值。

（2）各评价者之间不存在信息交流的情况。

2 序关系分析法简介［3］

设xij为经过指标类型一致化处理和无量纲化处理后的指标信息。

（1）确定评价指标间的序关系

定义1若评价指标xa相对于某准则的重要程度大于或等于xb时，则记为xa≻xb，其中xa，xb∈X。

定义2若评价指标x1，x2，…，xm相对于某准则具有关系式

则称评价指标x1，x2，…，xm之间按“≻”确立了序关系。式中表示｛xj｝按序关系“≻”排定顺序后的第j个评价指标（j＝1，2，…，m），式（1）的确定方法可参考文献［3］。为书写方便且不失一般性，仍记式（1）为

（2）确定相邻指标间相对重要程度的比值

设评价者关于评价指标xc-1与xc间的重要程度之比ωc-1／ωc的理性判断为

rc的取值可参考表1选取。

表1 rc取值参考表

定理1若x1，x2，…，xm具有式（2）的序关系，则rc-1与rc之间满足

（3）计算各评价指标的权重系数

定理2若评价者给出rc的理性赋值满足定理1，则

3 评价者权重的确定

群体评价中由于各评价者的知识背景、实践经验以及看待问题的角度均不相同，因此各评价者对于同一评价问题的贡献度也不尽相同，各评价者的权重大小也应不尽相同，本文从各评价者对同一评价问题的掌握程度计算各评价者权重。

（1）从指标排序的角度衡量各评价者权重

（2）从指标权重的角度衡量各评价者权重

（3）综合计算各评价者的权重

μk越大，说明评价者sk对评价问题的综合掌握程度越大，反之，μk越小，说明评价者sk对评价问题的综合掌握程度越小。

4 针对群体评价的序关系分析法

设计针对群体评价的序关系分析法的关键之处在于如何根据群体评价信息确定出一个唯一的指标序关系及相邻指标的重要程度比值，下面给出群体评价中应用序关系分析法的步骤。

（1）确定各评价者给出的指标重要程度之比的判断矩阵

式中，Ak为由评价者sk给出的评价指标间的序关系和相邻指标相对重要程度的比值确定的判断矩阵表示评价者sk给出的评价指标xl与评价指标xj间重要程度的比值，且

定理3［13］矩阵Ak是完全一致的判断矩阵。

证明1设j＞d＞l，显然由式（10）有

所以矩阵Ak为完全一致的判断矩阵。

（2）将Ak集结成群判断矩阵A

定理4群判断矩阵A为完全一致的判断矩阵。

证明2设j＞s＞l，显然有alj＞0，由式（11）有

所以群判断矩阵A为完全一致性判断矩阵。

（3）计算各评价指标的权重

a）按照层次分析法求解权重的方法求解

由于群判断矩阵A为完全一致性矩阵，因此可按层次分析法直接求解指标权重，即

b）按序关系分析法求解指标权重

根据完全一致性群判断矩阵确定集结各评价者信息后的指标序关系，记做

并根据一致性矩阵A中的元素alj确定相邻指标间相对重要程度的比值由式（2）、式（3）可得

定理5无论用层次分析法还是序关系分析法，计算得到的评价指标的权重系数是完全相同的，即方法a）和方法b）计算的结果相同。

证明3设评价指标的序关系为x1≻x2≻…≻xm，根据序关系分析法可得

又因为群判断矩阵A为完全一致性判断矩阵，所以有alkakj＝alj，将其带入式（20）可得ωj＝aj，mωm。若根据序关系分析法计算得到的权重与层次分析法计算得到的权重相同，则按照序关系分析法计算得到的权向量为群判断矩阵A的特征向量，则有Aω＝λω，即

根据式（23）可知应用序关系分析法计算出的权向量是群判断矩阵A的特征向量，此时的特征值为m，又因为完全一致的判断矩阵最大特征根等于矩阵的阶数，所以λ＝λmax（A）＝m，因此可知根据序关系分析法计算出的权向量是群判断矩阵A的最大特征值对应的特征向量，所以定理5成立。

结论由定理5的证明过程可知，定理5不受确定rc时所选择的标度类型［7］的影响。

可以证明，当评价者的数量n＝1或各评价者给出的评价指标序关系和相邻指标的重要性程度的比值均相同时，本文提出的方法退化为普通的序关系分析法，证明过程从略。

4 应用算例

对于一个群体评价问题，设有4个评价者分别为s1，s2，s3，s4，4个评价指标分别为x1，x2，x3，x4，各评价者给出的指标序关系及相邻两个指标的重要程度的比值如表2所示。

表2 各评价者的评价信息

（1）由各评价者给出的指标序关系可得到各评价者对于各评价指标的排序值，根据式（7）计算可得ek＝｛0.966，0.909，0.738，0.909｝。由各评价者给出的相邻指标的排序值及序关系分析法，通过式（5）、式（6）计算各评价者的评价信息按序关系分析法计算得到的指标权重，并根据式（8）计算可得hk＝｛0.905，0.835，0.906，0.951｝。

（2）根据式（9）计算各评价者的权重系数，最终的计算结果为μk＝｛0.276，0.240，0.211，0.273｝。根据各评价者提供的评价信息及式（10）计算各评价者的判断矩阵，并按照式（11）对各评价者的判断矩阵进行集结，得到的群判断矩阵A如下，可以验证群判断矩阵A是完全一致的，与文中定理4的结论相同。