基于心理账户和多目标决策的最优投资策略

赵新成

（广州城建职业学院 经济与管理学院，广东 广州 510900）

0 引言

心理账户（mental accounting，MA），作为行为金融学中的一个关键概念，最先经Thaler［1］提出并发展，指人们心理活动中对经济后果进行归纳记账和评估等的模式。心理账户理论的优势在于其能解释与价格相关的诸多金融经济学异象，比如禀赋效应、沉没成本效应及固定费率偏差等。另一方面，Markowitz［2］提出了均值方差（mean-variance，MV）模型，发展了现代投资组合理论。均值方差模型基于有效市场假说，假定投资者是理性的，具有风险规避特征。但该假设无助于解释投资者的实际投资决策。在实践中投资者往往根据不同的情况分类讨论，并综合评估投资行为的风险，例如，投资者会同时持有风险高的股票和风险低的国债，或者投资者在拥有存款的情况下依然会选择贷款［3］。针对这些普遍存在的现象，Kahneman和Tversky［4］提出的解释思路即投资者将其财富划分到不同特征的账户中，在每个账户中都建立投资目标，但这些不同类型的账户不可相互替代。

Das等人［5］进一步提出的原创性模型融合了投资者行为因素和均值-方差模型的特征。类似地，Shefrin和Statman［6］认为，投资者往往会将他的财富划分到不同的账户中，其动机包括退休和遗产等。在每个账户中，投资者意愿在反映账户动机的约束条件下，选择预期收益最大的投资组合。这个约束排除了帐户收益小于或等于某个阈值收益的概率不超过某个阈值概率的可能性。在每个账户内进行资产配置的结果如Markowitz［2］所述，最优投资策略位于有效边界。因此，相应的组合也在有效边界上面。

Shefrin和Statman［6］提出了行为投资组合理论（behavioral portfolio theory，BPT）。理论表明投资者的资产组合是不同类型的心理账户中的投资决策集合，其中每个投资决策都对应一个目标，而每个目标都展示出一个全新的层次。BPT投资者关心的是这些投资决策的收益和风险，其衡量标准是财富未能达到投资目标的概率。每个心理账户都有一个有效的边界，反映了预期收益和未能达到该心理账户阈值水平的概率之间的权衡。当另一个子投资组合具有相同的预期收益和较低的未达到阈值水平的概率时，则BPT子投资组合占主导地位。投资者基于均值方差模型的有效前沿，并通过权衡预期收益和未能达到目标水平的概率决定投资决策。值得注意的是，BPT类型的投资者可能表现出偏好风险的特征，而MVT类型的投资者总是选择规避风险。

有别于均值方差准则，在相关理论与实践研究中，安全首要（safety-first，SF）准则也是一个极为重要的准则，该准则由Roy［7］提出，被相关学者进一步研究和拓展，并取得了诸多成果［7～11］。然而，上述文献却未考虑心理账户的特点和决策模式。如何在投资优化问题中合理引入心理账户是一个仍待研究的关键问题。已有工作很少同时考虑心理账户和安全首要准则，这两者的结合会对投资者的投资行为产生怎样的作用？本文拟回答这一问题。具体而言，本文引入并考察心理账户投资的主要特征，运用多账户投资模型，分别依据均值方差准则和安全首要准则，建立三种基于心理账户投资优化模型：首先，建立均值方差准则下不包含无风险资产的基准模型；其次，建立安全首要准则下包含无风险资产且无风险借贷的主要模型；最后，建立安全首要准则下不允许无风险借贷行为发生的拓展模型。本文在三种情形下分别求得各个心理账户的最优资产配置策略。在理论模型后通过数值模拟进行检验。本文的研究有助于现实中投资者进行金融决策。

1 模型构建

1.1 模型假设

假设在投资期初，投资者可以从n种风险性资产（股票、基金等）和一种无风险资产（银行存款）中选择资产配置。投资者将持有此固定的资产组合至投资期末。风险资产收益为随机变量R＝（R1，R2，…，Rn）T，其中Ri表示第i种风险资产Si的收益率，记μ＝（μ1，μ2，…，μn）T，μi表示第i种风险资产Si的期望收益率（i＝1，2，…，n），无风险资产的收益率为常数r0。假设R具有有限正定的协方差矩阵Σ。令e＝（1，1，…，1）T，基于无套利假设，风险资产的期望收益率水平往往高于无风险资产收益率，因此得到μ-r0e＞0。

1.2 模型构建

在引入心理账户时，本文处理思路与Baptista［12］、Alexander和Baptista［13］等工作一致，他们文章中并不讨论如何在心理账户中配置资金，而是将分配方案给定为外生的，这样做的理由是如果将这种决策内生化，可能得到的结果与多重心理账户的结构相矛盾，比如，当一个投资者的最优策略将所有财富都投资到一个心理账户中时，心理账户便不再起作用了，这与本文模型的出发点相违背。沿用这一设定，本文假设心理账户投资优化问题包括单个心理账户投资与总财富投资两部分，先构建单个心理账户模型。

根据自身特征，假定投资者具有m个心理账户，其中对任意一个心理账户，将财富投资到上述n种风险资产和一种无风险资产。令Xij表示第j个心理账户中投资于第i种风险资产Si的比重，其中i＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m，该风险资产投资组合表示为Xj＝（X1j，X2j，…，Xnj）T，因此，容易得到无风险资产的投资比例为X0j＝1-eTXj，其中e＝（1，1，…，1）T。X0j与Xj构成了投资者第j个心理账户的投资策略（因X0j可由风险资产的投资策略决定，故本文下面仅考虑投资风险资产的比例Xj）。因此表示第j个心理账户投资策略的实际收益水平，而＝r0（1-eTXj）+μTXj表示其期望收益水平表示其收益的标准差。

（1）均值方差准则下的投资者心理账户决策模型

假定基准情形下不存在无风险资产。假设bj表示投资者为第j个心理账户设置的最低收益目标，第j个心理账户的均值方差模型为：

令投资者总财富投资策略由X组成（此时不考虑无风险资产的投资X0，本文仅考虑X），则投资者总财富均值方差模型为：

上述均值方差问题，最早即由Markowitz［2］研究并得到广泛和深入的发展。对其解法应用标注的Lagrange乘数法。其中在最优解处（2）式取等号。

（2）安全首要准则下允许无风险借贷的投资者心理账户决策模型

假定此情形下金融市场包含无风险资产，且允许无风险借贷行为发生。根据上文，无风险资产配置情况X0由风险资产配置情况X唯一确定。假设Rmin，j表示投资者为第j个心理账户设置的最低收益水平，该目标水平与投资者在第j个心理账户中的风险承受水平αj（0＜αj＜1）、所能接受的最低期望收益水平bj相关。第j个心理账户的安全首要模型为：

根据相关研究结果（丁元耀和卢祖帝［14］等），本文将模型（3）进一步表示为：

其中zα被称为概率风险度，由风险承受水平αj和资产参数服从的分布决定。

接着考虑投资者的总财富情况，其中最低收益水平为Rmin（Rmin，1，Rmin，2，…，Rmin，m），风险承受水平为α（α1，α2，…，αm），所能接受的最低期望收益水平为b＝（b1，b2，…，bm）。上述表达式表明总财富中的相关变量分别为各个心理账户对应变量的函数，这是符合直觉的。

令投资者总财富投资策略由X0与X组成（本文先考虑X，然后根据关系X0＝1-eTX可得到X0），则投资者总财富安全首要模型为：

本文接下来分析一下对于该优化问题的解法。由于投资者的目标是最大化Rmin，而不等式约束条件一Rmin≤μx+zασx对其设置了最大的约束限制，故根据KKT条件，在最优解条件下该不等式取等号。具体地说，本文首先给定总财富的风险承受水平α，此时求解得到总财富和单个心理账户的最优解，然后求解单个心理账户的最低安全收益水平Rmin，j。假设第j个心理账户的财富在总财富中占比为πj，则总财富的投资预期目标可以表示为：给定总财富风险承受水平α，其策略选择是在单个心理账户实现最优配置的前提下，达到投资预期目标水平b和风险承受水平α的收益最大化，模型为：

参考单个心理账户优化问题，优化问题（6）可表述为：

（3）安全首要准则下不允许无风险借贷的投资者心理账户决策模型

为进一步加强现实意义和模型的适用性，本文拓展讨论不允许无风险借贷的心理账户投资组合选择模型，即在前文模型的基础上加入约束X0≥0。结合X0≥0及模型（7）可以得到本节假设下的投资优化模型：

2 模型求解和结果分析

为了求解和论述方便，通篇采用如下记号：a＝μTΣ-1μ，k＝μTΣ-1e，e＝eTΣ-1e，d＝ac-k2，s＝a-显然a＞0，c＞0，根据协方差矩阵Σ非退化性，运用Cauchy-Schwarz不等式可以得到d≥0。在心理账户设定下，本文首先考虑均值方差准则作为基准模型，进而研究在安全首要准则下的投资模型。

2.1 均值方差准则下的求解

首先，讨论总财富投资策略和总收益。在基于均值方差准则的投资者总财富优化问题（2）中，本文直接使用Lagrange乘子法求解，可得定理1。

定理1对于模型（2）：若

（i）d＝0，存在最优解但解不唯一。

（ii）d＞0，最优策略是唯一的，表述为X*＝相应期望收益水平和实际收益水平的标准差分别为

据此可以得出均值方差准则下的两基金分离定理如下。

定理2在上述条件下，当d＞0时，任意的最小方差组合都能表示为全局最小方差组合和可分散化组合的凸线性组合，并且表示方式唯一，即＝AXg+（1-A）Xd，其中的收益与方差满足关系

其次，讨论总财富的分配方案。

投资者总财富投资策略的执行和投资目标的实现依赖单个心理账户的投资表现，以及总财富在单个心理账户中的分配方案［11］。首先，求解优化问题，确定单个心理账户的最优策略和获得的投资收益，其次，总财富按进行分配。

总财富最优策略是关于π的线性组合。单个心理账户最优策略的线性组合依然是某个最优策略［15］。由于总财富中，所以总财富投资策略表达为单个心理账户最优投资策略的线性组合，即。综上所述，第j个心理账户的最优策略是模型（1）的最优解，由此策略求得第j个心理账户投资收益；总财富投资策略为，由此策略求得总财富投资收益；总财富投资收益分配给第j个心理账户的收益为

2.2 安全首要准则下允许无风险借贷模型的求解

首先，讨论总财富投资策略和总收益。

在总财富模型（7）中，首先将两个问题分离开，即不考虑各个心理账户的投资组合问题，仅考虑总财富的问题，这时容易得到模型（9）如下所示。

安全性指标下，本文考虑0＜α＜0.5，此时zα＜0。由于bj＞r0，j＝（1，…，m），则对模型（9）使用Lagrange方法求解，可得定理3。

定理3对于模型（9）：若

（i）zα＞，不存在最优解。

（ii）zα＝，存在最优解，但解不唯一。

（iii）zα＜最优策略是唯一的，表述为目标安全收益为相应期望收益水平和实际收益水平的标准差分别为

根据总财富最优投资策略X*，根据上述讨论可以容易求得对应收益。根据定理3，发现仅在概率风险度的情形下才有唯一最优解，模型变量设置不同将导致不同的结果。故本文将在s条件下讨论心理账户投资问题。

其次，讨论总财富的分配方案。

投资者总财富策略的执行和目标的实现依赖单个心理账户的投资业绩，以及总财富在其中的分配方案。首先，求解优化问题，确定单个心理账户的最优策略和获得的投资收益，其次，总收益按进行分配。

应用定理3的方法，依次可以得到各个心理账户投资组合选择模型（4）的最优解，对于第j个心理账户，其最优策略是唯一的，即（μ-r0e）。目标安全收益为

相应期望收益和标准差分别表示为

在最优情形下，总财富策略表示为单个心理账户最优策略关于π线性组合。因此，单个心理账户模型的约束条件在总财富模型（7）中不产生作用［11］。模型（9）的最优解就是模型（7）的最优解。事实上，当zα＜s时，单个心理账户的最优策略都在给定α的模型（4）的Rmin-b投资组合的有效前沿上。由于模型（4）的Rmin-b有效前沿属于射线形态，因此上面不同点的线性组合仍在该射线上。这说明单个心理账户的最优策略的线性组合始终属于某类最优策略［11］。总财富风险承受能力同样是α，因此总财富最优策略也位于Rmin-b有效前沿上。由于总财富中，b＝，所以对于总财富而言，其最优策略就是单个心理账户最优策略的线性组合，即。综上所述，第j个心理账户的最优投资策略是模型（4）的解，由此策略求得第j个心理账户投资收益；总财富的最优投资策略为，由此策略求得总财富投资收益；总财富投资收益分配给第j个心理账户的收益为。

根据上述讨论，得到结论如下：当允许无风险借贷时，总财富策略与单个心理账户策略保持一致。投资者的最优投资策略可确定为：第一，根据金融市场条件，估计μ、Σ与r0，计算s，根据各个心理账户的特征及其与总财富的关系，运用加权系数来计算总财富的安全性需求，并依据此来确定风险承受能力α，同时满足第二，根据单个心理账户的具体特征（风险承受能力、最低收益目标、流动性水平等）在任意给定α下，确定各自要求的最低期望收益水平bj。第三，求解优化问题（4），可以得到单个心理账户的最优策略及收益第四，计算总财富最优策略及收益，总财富投资收益分配给第j个心理账户的收益为

2.3 安全首要准则下不允许无风险借贷模型的求解

通过前述分析，本节主要在不存在无风险借贷时的总财富投资策略和总收益。类似的，在优化问题（8）中消去单个心理账户约束条件，得到如下优化问题（10）：

不难看出该模型的最优解集属于优化问题（9）的子集，所以，基于优化问题（9）的解，我们可求得优化问题（10）的解。

定理4对模型（9）的最优解，若

根据定理4，当最优解存在时，对于不存在无风险借贷的总财富投资策略将利用模型（10）依据下述方法来确定。首先，求解模型（9），得最优解向量其次，考察变量关系，如果成立，则X*就是所求模型（10）的最优解，求解结束。否则，进入下面的步骤。其次，在模型（9）中加入约束即得模型（11），它表明在不存在无风险资产时选择投资。模型（11）如下：

最后，运用Ding和Zhang［10］与刘慧宏和李子凡［11］中的方法，我们可进一步通过求解优化问题（11），获得（10）的最优解X*。

当不存在无风险借贷时，本文首先分析该假设不产生作用时的情况。根据上文结果发现，当优化问题（9）的最优解和优化问题（10）的最优解相同时，该假设对总财富投资策略不产生作用。投资策略依赖总财富，所以总财富策略不须无风险借贷假设的情况下，如果某些心理账户需要在无风险借贷条件下才实现其最优策略，可以通过内部性调整，即通过其他一些心理账户的无风险放贷抵消。从总体上而言，无风险借贷假设不会对单个心理账户产生作用，可以得到2.2节条件下的最优投资策略［11］。

接下来本文分析不存在无风险借贷假设产生作用的情况。也就是说，优化问题（9）的最优解和优化问题（10）的最优解不相同时［11］，总财富此时不能达到原策略，由于存在约束X0≥0，故存在某些投资到无风险资产的比例为负，约束条件使得此X0提高到0，投资效率有所损失。总财富投资（或某些心理账户投资）此时会遭受损失。也就是说无风险借贷假设产生作用时，投资者不能再执行原投资策略。在这样状况下，部分心理账户必然遭受损失。如何对此类心理账户进行识别呢？我们需要通过一阶条件计算得到无风险借贷假设下的目标函数改变值和无风险资产的拉格朗日乘子（影子价格），识别遭受损失的心理账户，和与之匹配的X0j，由此求得单个心理账户的最优投资策略。

综上所述，在不存在无风险借贷时，投资者的决策步骤为：首先，类似无市场摩擦条件，估计μ、Σ与r0，计算s，确定风险承受能力，和单个心理账户的收益目标水平bj。其次，求解优化问题（10），得到总财富最优投资策略X*及收益。若优化问题（9）的最优解和优化问题（10）的最优解相同，继续求解优化问题（4）得到单个心理账户最优策略及其收益，总财富投资收益分配给第个心理账户的收益为。否则，根据前述不存在无风险借贷对总财富投资产生作用的方法，确定单个心理账户的最优策略及其收益，总财富投资收益分配给第j个心理账户的收益为

2.4 理论结果的经济分析

通过上述基于心理账户的投资策略的求解可知，首先，心理账户投资策略有利于衡量投资者的风险态度和进行风险管理。在期望效用最大化框架下，投资者的风险偏好水平通常假定为常数，而现实中投资者的偏好往往是主观的，容易受到环境和客观条件影响。当投资者直接管理总财富时，对不同收益水平的资产和复杂环境的判断确定其对风险态度时需要考虑的因素过多，而投资者只具备有限的认知水平和学习能力，权衡风险利弊时会出现失误［16］。而基于心理账户的投资策略可以通过设定特定的风险容忍参数以及投资目标水平，来确定单个心理账户的风险偏好特征，并汇总到总财富，这样就利于降低心理账户的各种特征及其相关因素的复杂程度，使得投资者准确识别与对待风险。

其次，心理账户投资策略有助于提高资金投资效率，同时操作更加方便。为了进行有效的风险管理，通常投资者会准备一部分合理的资金用于满足最低的安全收益保障。在存在心理账户情形下，总财富的这部分资金一般不会超过单个心理账户资金的总和，因此心理账户投资策略有助于提高资金利用率。同时，相比于管理各个心理账户，投资者直接管理总财富会更加盲目和复杂。

此外，本文研究投资者心理账户策略对投资业绩的改善作用。当心理账户达到最优投资策略时，业绩的改善在于在面临相同风险和目标时，投资者更不容易发生破产，这与刘慧宏和李子凡的研究结论一致［11］。在允许无风险借贷时，总财富最优策略和单个心理账户最优策略是一致的，在本研究的模型中，总财富与单个心理账户都能够达到其最优投资策略，这种情况下心理账户投资不产生显著的差异化作用。

在不允许无风险借贷条件下，当投资者的心理账户相互独立时，各个独立的心理账户可能无法实现允许无风险借贷情形的投资效果，投资效率有所损失。因为心理账户投资最后表现为总财富策略，所以尽管部分心理账户的最优策略的实现依赖无风险借贷条件，但是在总财富投资决策时仍然可能不依赖无风险借贷条件。即尽管单个心理账户投资策略受到借贷约束，但是这种作用传统的单一投资策略受到的作用［11］。具体而言，在优化问题（9）确定的总财富策略满足≥0的条件下，单个心理账户投资可以忽略借贷约束的作用。实现允许无风险借贷的最优策略。这表明心理账户投资有助于提升资产配置效果。在优化问题（9）确定的总财富策略满足＜0的条件下，存在某些心理账户遭受借贷约束从而使得投资效率降低。但是由于最终采用总财富策略，故实际上并未发生＝0，可以部分实现＜0。这表明心理账户投资有助于提高资产配置效率的论断依然成立［11］。

3 数值算例

假设金融市场上存在一种无风险资产（银行存款），其收益率假定为r0＝0.03。另外存在三种风险资产（股票、基金、公司债券），参考相关文献及实际金融市场数据，假定这三种风险资产的期望收益分别为：μ＝（0.05，0.09，0.13）T，协方差矩阵为：

根据关系式a＝μTΣ-1μ，k＝μTΣ-1e，c＝eTΣ-1e，d＝ac-b2，s＝a-2br0+，容易计算得到a＝1.1384，k ＝21.2689，c＝412.6050，d ＝17.3445，s＝0.2336。

对投资者而言，假定其拥有五个心理账户进行管理。具体而言，投资者选择将其总财富分配到这五个心理账户中的比例分别为：π＝（0.35，0.25，0.2，0.15，0.05），所能接受的最低期望收益水平为：b＝（0.05，0.06，0.07，0.08，0.09），风险承受水平为α＝0.1。假定投资收益随机，并服从Laplace分布，通过计算得到概率风险度为Zα＝-1.138。

3.1 均值方差准则下的算例

求解优化问题（1）和（2），可以得到单个心理账户和总财富最优投资策略，结果如表1所示。

表1 均值方差准则下投资者心理账户最优投资策略

表1表明总财富所对应这一列的数值都是五个心理账户中数值关于π ＝（0.35，0.25，0.2，0.15，0.05）线性组合。投资者选择总财富策略，并提供了总收益在五个心理账户中的分配方案，即它们各自最优策略所获得的收益。这样所有资产都得到最优配置。

3.2 安全首要准则下的算例

求解优化问题（4）和（9），可以得到单个心理账户和总财富最优投资策略，结果如表2所示。

表2 安全首要准则下投资者心理账户最优投资策略

表2表明总财富所对应这一列的数值都是五个心理账户中数值关于π ＝（0.35，0.25，0.2，0.15，0.05）线性组合。投资者选择总财富策略，并提供了总收益在五个心理账户中的分配方案，即它们各自最优策略所获得的收益。这样所有资产都得到最优配置。

4 结论

本文基于均值方差准则和安全首要准则，进一步考虑行为金融学中心理账户投资的特征，建立了基于投资者心理账户的资产配置模型，并分别在不存在无风险资产、存在无风险资产同时无借贷约束、存在无风险资产同时有借贷约束三种情形下求得了相应的心理账户最优资产配置策略。结论表明心理账户投资策略更易操作，同时有助于降低风险、提高资金利用率，促使投资者更加合理有效地进行资产配置。

本文为多心理账户投资问题的进一步研究提供理论参考与政策价值。因为无论是对个人或机构来说，本文研究表明心理账户最优投资策略都可以优化投资者的资产配置行为，心理账户决策模式都大有用武之地。另一方面，分散投资也是一种非常广泛存在的实践模式。分散投资模式与心理账户决策模式具有内在关联性，未来可进一步对此问题进行研究，另外可进一步拓展的方向包括：引入多期决策视角、委托代理关系等更加贴近现实的因素等。