考题探究模型解读，深入赏析教学反思

陈霞

[摘  要] “一线三等角”模型是重要的几何模型，该模型中的三个等角顶点位于同一直线上，可形成一组相似关系，中考常以该模型为背景命制探究题. 挖掘模型特点，深入赏析模型有着一定的意义. 文章将探究一道“一线三等角”模型考题，解读赏析模型，提出相应的教学建议.

[关键词] 几何;一线三等角;模型;相似三角形;拓展

考题探究

几何综合题是中考常考问题类型之一，问题往往以几何图形为外在形式构建内在几何关系，可全面考查学生几何知识、空间几何观以及逻辑思维. 下面以一道几何探究题为例，进行问题探究.

1. 考题呈现

考题：2020年江苏宿迁中考数学卷第27题

感知：（1）如图1，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=.

探究：（2）如图2，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H. 求证：BH=GH.

拓展：（3）如图3，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G. 求证：BG=CG.

2. 思路探究

（1）已知∠C=∠D=∠AEB=90°，则∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，所以∠BEC=∠EAD，可证Rt△AED∽Rt△EBC，由相似性质可得=，证毕.

（2）过点G作CD的垂线，设垂足为点M，如图4所示. 由（1）问可知=，因为=，=，所以=，则CB=GM.

在△BCH和△GMH中，有∠CHB=∠MHG，∠C=∠GMH=90°，CB=GM，所以△BCH≌△GMH（AAS），则BH=GH.

（3）如图5所示，在EG上取点M，使得∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，推理可得∠EAF=∠BEM，可证△AEF∽△EBM，所以=.

进一步分析可知∠N=∠EFD，∠EDF=∠CEN，可证△DEF∽△ECN，所以=. 又知=，所以=，则BM=CN. 在△BGM和△CGN中，∠BGM=∠CGN，∠BMG=∠N，BM=CN，所以△BGM≌△CGN（AAS），则BG=CG.

3. 问题评析

上述以探究的形式呈现几何问题，分“感知”“探究”“拓展”三个阶段，其中“感知”阶段引导学生进行过程探究，总结证明方法，把握图形特点;“探究”阶段则是对模型的进一步深化综合，引入三角形全等进行论证;而最后的“拓展阶段”是对图形的拓展深化，启发学生利用上述解题思路构建模型，利用相似转化、对等转换、全等转化来完成思路构建，几何证明. 实际上，上述考题所基于的是初中几何“一线三等角”模型，属于直角型特殊模型，根据该模型可直接构建三角形相似關系，提取线段比例式，深刻理解模型可显著提升解题效率.

模型解读

“一线三等角”模型是典型的数学模型，从几何视角可分为直角型、锐角型和钝角型，其图形结构相对简单. 而从图形分步视角可将其分为同侧型和异侧型，如图6和7.

图中存在如下关系：在△ABC和△CDE中，点C位于直线BD上，其中∠ACE=∠ABD=∠EDF.

可推得如下结论：相似关系——△ABC∽△CDE;线段比例关系——==;若AC=CE，则可得全等关系△ABC≌△CDE.

上述的同侧和异侧“一线三等角”模型的结论可由相似转化得出，该模型的本质特点是有三个等角位于同一条直线上，该等角可以是锐角、钝角或者直角. 随着角顶点的位置变化或者角围绕顶点进行旋转，会产生相应的衍生图形，呈现图形的和谐美，并且模型中的结论依然成立.

深入赏析

“一线三等角”模型具有极高的识别度，在考题中的应用极为广泛，但同时模型的变形衍生能力较强，综合性试题中对学生的思维水平有一定的要求，需要结合数学经验，运用数学方法来加以突破.？摇问题解析过程提取其中的三等角是关键，而往往考题以“等角”针对性变式，常将其隐藏，需要进行模型添补，下面结合实例进行探究赏析.

1. 局部隐藏，细节修补

例1：如图8所示，已知点M是正方形ABCD底边BC上的一点，且ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E. 若AB=12，BM=5，则DE的长为______.

解析  由于∠B=∠AME=90°， 延长BC，过点E作BC延长线的垂线，设垂足为点N，则可构建“一线三等角”模型，在该模型中∠ABM=∠AME=∠ENM=90°. 由模型结论可得△ABM∽△MNE，则=. 已知AB=EN=12，BM=5，所以DE=CN=MN-（BC-BM）=.

评析  上述问题中不存在完整的“一线三等角”模型，仅含有一组等角，但通过延长线、作垂直可构建“三等角”. 解题的关键是把握其中的等角关系，合理利用图形特点来作辅助线，将问题条件进行串联.

2. 一角独显，两侧增补

例2：如图9所示，在四边形ABCD中，已知AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，点E位于CD上，且∠BAE=45°. 如果CD=4，则△ABE的面积为______.

解析  由于∠BAE=45°，过点A作AD的垂线，在该垂线上取点M和N（令点N位于点A下方），使得∠BMA=∠ENA=45°，然后过点E作MN的垂线，设垂足为点F，延长CB交MN于点G，如图9所示.

分析可知四边形ADCG为正方形，则AG=CG=CD=4，易知AB=BC+AD，可推知AB=5，BG=3，BC=1. 由于∠BAE=∠M=∠N=45°，由“一线三等角”模型可推知△ABM∽△EAN，由相似性质可得=，代入线段长可解得DE=，则CE=. 由面积割补法可得S=S-S-S=.

评析  上述问题突破的关键是把握其中的“特殊角”，也是构建模型的基础，解题的思路来源于对“一线三等角”模型的深刻理解、深度思考. 该模型中不仅隐含了基本的几何知识，还蕴含着相应的思想方法.

3. 线角均藏，构图全补

例3：如图10所示为反比例函数y=的图像，點A（2，3）位于其图像上，而点B（0，2）位于y轴上. 作射线AB，将射线AB围绕点A逆时针旋转45°，与反比例函数图像的交点设为点C，则点C的坐标为______.

解析  过点C作AC的垂线，与射线AB的交点设为D，再过点C作x轴的平行线，在平行线上取点E和F，令∠DEC=∠AFC=90°，如图10所示，则可以构建“一线三等角”模型. 其中∠DAC=45°，由模型结论可得△DEC≌△CFA. 结合点A和点B的坐标可知k=6，直线AB的解析式为y=x+2. 设点C的坐标为a，，可得CF=-a+2，AF=-+3，可推得点D的坐标为a+-3，-a++2，点D位于直线AB上，将其代入解析式可解得a1=-1，a2=2（舍去），所以点C的坐标为（-1，-6）.

评析  上述考题以图形旋转为背景，求解点C坐标很容易联想到求相关线段长，突破的关键是挖掘图像中的特殊角，适度联想，探寻图形之间的联系，结合解题经验来构建数学模型. 该问题有着一定的考查深度，对学生的知识经验和联想思维有着较高的要求.

教学思考

中考试题中常蕴含一些数学模型，以模型为基础进行试题衍生，“一线三等角”模型是几何常见模型之一，模型实质是几何相似关系，教学中引导学生关注习题，挖掘模型，总结方法规律可显著提升学生的解题能力，下面提出几点教学建议.

1. 关注模型特征，培养模型意识

模型来源于对数学规律的总结、知识经验的积累，是基于知识典型结构的特殊总结，因此模型通常具有鲜明的特征，含有“特殊”性质. 以“一线三等角”模型为例，模型特征为“有三个等角的顶点位于同一直线上”，特性则为“由模型可推得一组相似三角形”. 教学的重点有两个：一是关注模型特征，二是培养学生的模型意识. 前者需从教材的基本模型入手，指导学生进行特征总结，理解模型结构. 而模型意识的培养则需要引导学生深刻认识模型本质，引导学生进行规律总结，养成模型解题的习惯，提升学生的特殊意识，形成“模式识别”的解题策略.

2. 重视方法讲解，拓展数学思维

从上述“一线三等角”模型的探究过程可知，模型并非总是直观、完整的，有时需要挖掘其中隐藏的特殊角，通过作辅助线的方法来完善. 如上述三道例题在建模过程中经历了找角、定线、框架三个阶段，以特殊角为依托，衍生几何模型，从而让图像直观化. 在教学中需要重视方法讲解，指导学生掌握建模的方法，激发学生的联想思维，引导学生自主反思、推演、提炼模型，充分掌握几何模型，做到“举一反三，解题通法”. 同时在探索模型的过程中，注意总结问题模型，以题为线索，结题成网，形成系统模型，从根本上提升学生的思维能力.

3. 注重知识串联，渗透建模思想

经典模型往往有着深刻的知识背景，开展模型教学需注重知识串联，有效探索模型实质，挖掘模型所涉知识，使学生掌握模型的知识链. 以上述“一线三等角”模型为例，实则是由等角关系生成的相似关系，由三角形相似生成的线段比例式，其中含有相似三角形的判定、性质等内容，教学中需要引导学生理解模型中的相似内涵. 另外，模型解题过程会涉及定角定线作图，通过搭框架的方式完善模型，该过程中隐含着数学的建模思想，模型教学中要合理渗透数学思想，让学生感悟思想内涵，促进学生核心素养的发展.