巧构图，生解法，悟启示

徐强

[摘  要] 文章通过对2020南通中考数学试卷第24题的分析与“十四种”解法思路的探究，感悟出如下启示：“折叠”类几何综合题，教学时要“以题固知，关注折叠之不变;以题强能，关注折叠之变;以题展思，关注折叠之设计”.

[关键词] 折叠;分析;思路;教学

“折叠”类几何综合题一直是全国各地中考的必考试题，这类问题往往以三角形或四边形为背景，涉及特殊三角形（四边形）的性质与判定、图形折叠的规律、全等（相似）三角形的判定和性质、勾股定理等知识，主要考查数形结合、转化、几何直观、推理等思想与方法，核心体现图形与几何中“算”与“证”的本质，即“算”是“运”的过程、“计”的方法，“证”是推理中的“寻道”、联想中的“发现”. 本文结合2020南通中考数学试卷第24题，尝试从不同角度探究“折叠”类问题的解法，以及对日常教学的启示.

试题分析

试题  （2020南通中考）在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，折叠矩形ABCD，使点A落在点P处，折痕为DE.

（1）如图1，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值;

（2）如图2，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长.

分析 本题以矩形为背景，巧妙地把轴对称变换融入其中. 从题目呈现的结构特点看，（1）问是解决（2）问的基础和梯子，能为（2）问的解答提供更多路径. 对于（1）问，学生容易上手，即先根据对称的性质得到相关的数量关系和位置关系，再根据互余角间的关系得到相似的判定条件，该问绝大多数学生能得分. 对于（2）问，解答的方法很多，学生答题时选择的余地较大，从而能考查学生的思维能力、理解能力、思辨能力，以及运用数学知识解决问题的能力.

从题目考查的核心来看，一是能发现折叠前后线、角、图形之间的联系;二是能灵活运用矩形性质、相似（全等）三角形的性质、勾股定理、三角函数、角平分线性质等知识;三是熟悉常规的几何模型，并能迁移、构造，这对学生的几何直观、逻辑推理等能力要求较高. 下面以（2）问为例进行剖析.

解法赏析

解法1 如图3，分别延长FE，DA交于点G. 易证△AEG≌△BEF，所以AG=BF，GE=EF. 由∠BEF=∠GEA=∠GDP，可证△GEA∽△GDP. 于是===. 设BF=AG=x，则GP=3x，GE=3x-4，GD=3（3x-4）. 所以3（3x-4）=x+12，解得x=3. 所以BF=3.

解法2 如图4，分别延长DE，CB交于点G，连接AP，BP. 可证△APB为直角三角形，BG=AD=12，GE=DE=4，又△ABP∽△DEA，所以AP=3BP. 所以BP=. 又△BPF∽△GEF，所以===，解得BF=3.

评析 解法1和解法2以中点为出发点，构造全等三角形，实现了等线段的转移，结合折叠获取的线与角之间的关系，利用相似，列出方程解决问题.

解法3 如图5，分别延长DE，CB交于点G，过点P作PH∥CG交DG于点H. 易证BG=AD=12. 因为∠ADE=∠PDE，所以可证PD=PH=12. 又△EHP∽△EGF，所以==. 设EF=x，则GF=3x，BF=3x-12. 于是在Rt△EBF中运用勾股定理，有16+（3x-12）2=x2，解得x=5或x=4（舍去），所以EF=5，BF=3.

解法4 如图6，分别延长DC，EF交于点G. 根据翻折和平行线的性质可证GE=GD. 设GE=GD=x，则PG=x-4. 在Rt△DPG中，运用勾股定理，有x2=122+（x-4）2，解得x=20. 所以CG=12. 又△EBF∽△GCF，所以可求得BF=3.

解法5 如图7，过点E作EH∥BC，分别交PD，CD于点G和点H. 可证△EPG≌△DHG，于是得EG=DG. 设PG=x，则EG=12-x. 在Rt△EPG中运用勾股定理，得42+x2=（12-x）2，解得x=. 又△EBF∽△GPE，所以可求得BF=3.

評析 解法3至解法5，基于折叠过程中折痕即为角平分线，联想构造等腰三角形或全等三角形，获取等线段，设元后利用相似三角形的性质和勾股定理建立方程，从而得解.

解法6 如图8，过点P作GH∥AD，分别交AB，DC于点G和点H. 可证△PHD∽△EGP，得===. 设EG=x，则PH=3x，HD=4+x，GP=. 于是有+3x=12，解得x=. 再由△EGP∽△EBF，可求得BF=3.

解法7 如图9，延长AB到点M，使BM=4，延长DC到点N，使CM=4，连接MN，延长EF交MN于点G，连接DG. 易证四边形AMND为正方形，△DPG≌△DNG. 设MG=x，则NG=12-x=PG. 所以EG=16-x. 在Rt△EMG中运用勾股定理，得82+x2=（16-x）2，解得x=6. 再由△EBF∽△EMG，可求得BF=3.

解法8 如图10，连接AP，过点P作PG⊥AB，垂足为G，则△APG∽△DEA. 所以=. 设GP=x，则AG=3x，EG=3x-4. 在Rt△EGP中运用勾股定理，得42=x2+（3x-4）2，解得x=或x=0（舍去）. 又由△EGP∽△EBF，可求得BF=3.

解法9 如图11，过点P作PG⊥AB，垂足为G，PH⊥AD，垂足为H，连接AP，则△AGP∽△DAE. 于是有=. 设GP=x，则AG=3x=PH，HD=12-x. 在Rt△PDH中运用勾股定理，得（3x）2+（12-x）2=122，解得x=或x=0（舍去）. 所以PH=，HD=. 所以tan∠HDP=tan∠BEF=. 所以BF=3.

解法10 如图12，分别延长DP，AB交于点G，则△GPE∽△GAD. 所以==. 设PG=x，则AG=3x，EG=3x-4，DG=3（3x-4）. 于是3（3x-4）=12+x，解得x=3. 又△EPG≌△EBF，所以BF=PG=3.

解法11 如图13，延长DP交BC于点G，连接EG. 可证△EBG≌△EPG，于是tan∠BEG=tan∠ADE=，所以BG==PG，GC=. 所以GD=. 又△GPF∽△GCD，所以=，解得GF=. 所以BF=3.

解法12 如图14，过点E作EG⊥EF交AD于点G，则EG∥DP. 可证EG=DG，设EG=DG=x，则AG=12-x. 在Rt△AEG中运用勾股定理，得x2=42+（12-x）2，解得x=. 所以AG=. 又△GAE∽△EBF，所以=. 所以BF=3.

评析 解法6至解法12，由矩形的特殊性、折叠产生直角，以及对称轴是对应点连线的中垂线，构造“K”形、“十字架”形、“斜交”形等相似模型，为边角沟通架构桥梁，解决问题.

解法13 如图15，连接DF，设BF=x，PF=y，则CF=12-x. 在Rt△BEF中运用勾股定理得x2+42=（4+y）2，在Rt△PFD和Rt△CFD中运用勾股定理得y2+122=（12-x）2+82，解得x=0（舍去）或x=3. 所以BF=3.

评析 解法13通过直接设元，以直角三角形为载体，利用勾股定理建立方程，凸显方程思想.

解法14 如图16，以B为坐标原点建立平面直角坐标系，则A（0，8），D（12，8），E（0，4），直线DE的解析式为y=x+4. 所以直线AP的解析式为y=-3x+8. 可求得两直线的交点为，，所以P，. 所以直线EF的函数解析式为y=-x+4. 所以F（3，0）. 所以BF=3.

评析 解法14借助平面直角坐标系解题，实现数与形的完美转化，线段长通过点的坐标转换.

纵观以上解法可以发现，问题解决的关键是挖掘边角之间的内在联系，重在考查学生从形的角度突破，从数的角度解决问题的基本技能和基本路径. 当然，解决本题时，重在图形的构造，那如何构造呢，关键是抓住题眼，如中点的联想、折痕的本质、矩形中直角的价值等.

教学启示

1. 以题固知，关注折叠之不变

解决折叠类几何综合题是建立在足够的知识积累基础上的，因此，教学时要以题固知，关注折叠之不变;要依托题目不断进行相关重点知识、规律、基本图形、常用辅助线的再回顾与巩固，这样才能具备联想转化的基础，才能厚积薄发.

如教学本题时，首先可以结合条件观察图形，并设置引导性问题“图中有哪些熟悉的基本图形（模型）”“图中哪些线段已知，哪些线段可求” 等，从而依托题目回顾并巩固学生在初中几何学习中涉及的重点知识，如“翻折”是全等变换，而折叠的本质是轴对称，所有对应的元素满足轴对称性质;相似的基本图形;倍长中线等.

其次，不管折叠的背景如何变化，要让学生感知折叠之不变，尤其是对称轴在折叠过程中体现的几何性质——角平分线与中垂线性质. 以此为基础，渗透方法：①标（相关等线段、角），②表（未知线段）（设参数，用工具，如相似、勾股定理、三角函数等），③求（建立方程，同时关注基本几何模型构造，如等腰三角形、“十字架”模型等）. 由此抓住图形变化过程中的本质，发展学生的直观想象素养.

2. 以题强能，关注折叠之变

折叠类几何综合题中题设与结论之间的关系往往较为隐蔽，因此教学时要以题强能，关注折叠之变，注重读题、析图能力的培养与强化，这是关键.

教学时，首先要关注学生如何读题思考，让他们学会审题. 如本题教学时可以设置“由折叠这一条件，你可以得到哪些结论”“由中点这一条件，你想到了什么”等引导性问题，从而有意识地强化学生抓熟悉的图形、特定条件联想、类比对应模型的思维方法，寻找“新”问题与“旧”模型之间的关联.

其次，要不断地渗透解决此类问题的最佳路径，即让学生真正体会到折叠之变的规律：一变折叠对象，不能局限于矩形、正方形，实际上三角形、圆、其他规则图形中都可以设计出折叠问题;二变折痕位置，通过折痕位置的变化，构造出不同的折叠后图形，从而形成不同形式的问题链;三变折叠次数，进一步丰富图形组合. 教学过程中，若能紧抓“三变”，必能让学生把理解的知识、形成的基本技能迁移到不同的情境中，促进学生对新知识、方法的进一步内化.

3. 以题展思，关注折叠之设计

折叠问题类型众多，具有“一题多解、多变”的特点，教学时可以“以题展思”，关注折叠之设计，持续关注思维方式方法的拓展，这是核心.

首先，既要注重变中的不变，也要注重变化中的联系.

如本题，毫无疑问，从（1）问到（2）问，从图1到图2，两者之间肯定有密切的联系. 所以，教学时我们不妨让学生先比较一下两个图形的变化和联系，找一找两个问题的共性. 容易发现，如图17，连接AP，线段AP依然可求;过点P作GH∥BC，分别交AB，CD于点G和点H，依然有“一線三等角”模型;∠GEP依然等于∠ADP;很多三角形之间的关系依然存在……

当然，图形的变化也带来了一些新的关系、模型. 当学生对图形和问题已经熟悉后，我们就可以引导学生有序地从多方面寻求解决问题的思路和方法了. 如求线段的长度可以从勾股定理、相似三角形、三角函数等方面入手.

其次，要注重学生的自主变式设计. 好的思维方法应该像“盐”，但不能光吃“盐”，最好的方式是将“盐”溶解到各种食物中自然而然地吃. 在教学中，若能开展折叠问题探究，那对折叠问题的本质理解必能事半功倍. 教学时可从以下几个角度来实施：一是给出折叠图形，让学生添加条件解决问题;二是给定折痕，让学生思考折叠后对应点落的位置变化;三是改变问题形式，由求线段的长走向问题的多样性. 真正让学生获取折叠问题思考的“序”，从而获取解决问题的基本活动经验.