三角形面积法在数学解题中的应用探究

摘 要：“三角形面积法”在数学解题中有一定的应用技巧，学生掌握“三角形面积法”可以在解题中快速找到思路，简化数学解题过程。文章指出“三角形面积法”的内涵，并结合具体的教学案例，从数学证明题、数学求值题、数学函数问题入手，具体阐述“三角形面积法”的应用技巧。

关键词：初中数学;解题;三角形面积法;证明题

中图分类号：G623.5 文献标志码：A文章编号：1008-3561（2020）34-0084-02

在数学学习过程中，学生只有掌握多元和有效的解题方法，才能进一步学好数学。灵活应用“三角形面积法”来解答数学问题，可使一些数学问题化繁为简、从难到易，从而拓宽学生的解题思路。本文结合初中数学有关问题，具体谈谈如何在数学解题中应用“三角形面积法”。

一、 “三角形面积法”的内涵

“三角形面积法”，主要是指利用三角形面积的相互转化，或面积与边角关系的相互转化，使复杂的数学问题简单化，从而解决问题的有效解题方法。

二、“三角形面积法”在数学解题中的应用分析

1.在数学证明题中的应用

证明题是初中生经常遇到的数学问题，但是在实际解答过程中，仍有不少学生找不到正确的证明路径，导致解题慢、思路混乱，无法正确、高效地解答出数学问题。上述问题的出现，主要是学生没有掌握更多有效的数学问题解决路径。为了有效拓宽学生的解题思路，教师可以借助“三角形面积法”，引導学生从单纯的面积计算题过渡到证明题，以促使学生懂得利用“三角形面积法”的特点，将证明题中的已知和未知量与三角形面积公式联系起来，从而将复杂的证明题简化，进而寻找到解题的有效路径。

以下面这道数学证明题为例：如图1所示，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、AB上的点，BE=DF，且相交于P点，请求证：∠DPC=∠BPC。

分析：通常学生解答类似题目时，往往只会观察原图形，却不会利用添加辅助线的形式来进行问题的探究。同时，很多学生也会被原题的框架所束缚。比如，原题目中讲到的图形是平行四边形，那么学生很容易被平行四边形的知识所影响，不断从平行四边形的定理知识中寻求解题方法，而很少会走出原题设定的框架，去结合其他的数学理论来解答这道题目。对这道关于平行四边形的数学证明题，教师可以引导学生应用“三角形面积法”有关思路，在原题的平行四边形中添加辅助线，如将C点分别与F点、E点进行连接，以将证明题中的已知和未知的各量用三角形面积公式联系起来，从而通过三角形面积运算来求证该问题，实现平行四边形知识与三角形面积知识的有效融合。

分析：S△BCE=（1/2）S平行四边形ABCD = S△CDF ，∵BE = DF，∴△BCE的边BE上的高与△CDF的边DF上的高相等，即点C到∠BPD的两边的距离也相等，进而得出∠DPC=∠BPC。

反思：从这道题目解答中，可以看出只要学生懂得灵活运用“三角形面积法”，在题目给出的图形中添加辅助线，就可以将已知和未知的量联系起来，从而快速完成证明。但是，在整道数学证明题中，重点是学生必须懂得添加CE和CF两条辅助线，从而有效运用“三角形面积法”证明∠DPC=∠BPC。

2.在数学求值问题中的应用

通常学生会遇到各种各样的数学求值问题，而且数学求值问题灵活多变，如果学生只掌握一种数学解题方法，往往会遇到解题障碍。因此，教师有必要引导学生了解多样的数学解题方法，以在灵活多变的数学问题中应用有效的数学解题方法解决问题。对于数学求值问题，学生可利用“三角形面积法”，在看似与三角形无关的平面几何计算问题中，将复杂的平面几何图形计算问题转化为三角形面积公式的计算问题，从而排除图形中的干扰项，实现从形到数的有效转化，最终引导学生巧妙利用数量关系来解决数学问题。

如图2所示，矩形OABC在平面直角坐标系中，其中OA=6，OC=8，如果将矩形进行折叠，让点B与O重合，以得到折痕EF，请求出EF的值。

分析：在这道几何求值问题中，学生可以利用“三角形面积法”进行解答。首先，学生可以从题目已知条件中找到“三角形面积法”与几何图形的关系，如题目中讲明矩形折叠使得B点与O点能够重合，那么通过折叠得到的折痕EF就是线段OB的垂直平分线，而通过得到的这个信息，学生就容易求证△EBG≌△FOG，从而进一步求得GF=GE，进而获知四边形BFOE是一个菱形。

根据这个解题突破口，学生就可以利用菱形的面积=EF·OB=EB·OA进行列方程求解，最终得出折痕EF的具体长度值。

反思：在几何求值问题中，运用“三角形面积法”是一种较为有效的解题方式。本题只需要学生懂得观察图形，找到线与线之间的关系，运用与三角形面积有关的知识点，就可以快速解答。如在上述图形中，学生可以通过分析得出△EBG是一个直角三角形，那么就可以联系到直角三角形的勾股定理内容，进而求出相关线段的长度。

3. 在数学函数问题中的应用

函数是初中数学的重点知识，也是学生时常会碰到的数学问题。而在解题中，不少学生摸不着思路，找不到解题突破口。所以，教师要指导学生利用有效解题思路来分析函数问题，从而使学生不断提升解题能力，积累解题经验。

如图3所示，过点A（2，0）的两条直线l1和l2分别交于y轴于点B和C。其中，B点在原点上方，C点在原点下方，并且已知AB=，如果△ABC的面积为4，请求出直线l2的函数解析式。

分析：这道函数解析式问题同样可以利用“三角形面积法”进行问题的求解。在此过程中，学生必须懂得结合题目的已知条件，如函数图形的点、三角形的面积，以利用“三角形面积法”来进行相关问题的计算，算出相关线段的长度，进而求出未知点的坐标，最终将所求的点和已知的点坐标代入函数解析式中求出函数的解析式。

反思：在解答的过程中，学生需要基于已知条件，包括给出的点坐标以及三角形的面积，并由三角形的面积进行其他函数点坐标的求解，求出可供计算的函数点坐标，进而将其代入函数解析式，最终求出函数的具体解析式。这些都考查了学生灵活运用知识和整合知识的能力。

参考文献：

[1]黄孝培.浅谈三角形面积法在初中几何问题中的基本运用[J].中国数学教育，2019（03）.

[2]任龙华.初中数学解决直角三角形问题常见的几种途径[J].数理化解题研究，2017（03）.

[3]周冰清.面积法在初中数学中的应用[D].华中师范大学，2019.

[4]王素菊.淺谈三角形面积公式的应用[J].临沧教育学院学报，2002（01）.

Application of Triangle Area Method in

Solving Mathematical Problems

Liu Rongjin

（Hetian Middle School， Changting County， Fujian Province， Changting 366301， China）

Abstract： "Triangle area method" has certain application skills in solving mathematical problems. Students can quickly find ideas in solving problems by mastering "triangle area method" and simplify the process of solving mathematical problems. This paper defines the connotation of "triangle area method"， and combining with specific teaching cases， it elaborates the application skills of "triangle area method" from the aspects of mathematical proof， mathematical evaluation and mathematical function.

Key words： junior high school mathematics; problem solving; triangle area method; proof problem

作者简介：刘荣进（1976-），男，福建长汀人，中学一级教师，从事数学教学与研究。