离散广义Markov 跳变系统在一般转移率下的鲁棒稳定性

李秀英，彭为梅

作为一类特殊的混杂系统，广义Markov跳变系统的研究得到了广泛的关注［1-6］.这类系统中转移率完全已知是一种理想化的情况，因此，考虑一般转移率即转移率含有不确定性且部分未知情形具有更加重要的实际意义［7-8］.文献［8］考虑了一类连续广义Markov跳变系统在一般转移速率下的控制器设计问题.本文研究离散广义Markov 跳变系统在一般转移率下的鲁棒稳定性问题．

1 预备知识

考虑如下离散广义Markov 跳变系统：其中：xk∈Rn,uk∈Rm分别是系统的状态和控制输入.{rk,k∈Z}是取值在有限集合S={1,2,…,N}的Markov链，从模态i到模态j的 转移率定义为其中当i≠j时转移率矩阵定义为矩阵E∈ Rn×n满足rankE=r＜n.为表述方便，当rk=i∈S时，A(rk),B(rk)分别简记为Ai,Bi.

本文考虑一般转移率情形，即转移率含有不确定性且部分未知情形.如i= 3,转移率矩阵可设为：

其中：“？”表示转移率矩阵中未知的转移率.

πij与分别表示不确定转移率的估计值和估计误差. 令αij=πij-εij.

∀i∈S, 定义其中并定义其中表示矩阵Π中第i行中序号为的 第m个已知元素表示矩阵Π 中第i行中序号 为的第N-m个未 知元素. 并令τ=

当uk= 0 时，引入如下定义：

定义1［1］①称系统（1）是正则的，如果对任意i∈S,det(sE-Ai)不恒为零；

②称系统（1）是因果的，如果对任意i∈S,deg(det(sE-Ai))= rankE；

③称系统（1）是随机稳定的，如果对x0∈Rn,r0∈S, 存在标量M(x0,r0) ＞0，使得

其中：x(t,x0,r0)表示初始条件x0,r0下系统（1）在t时的解，ε(·)表示数学期望；

④称系统（1）是随机容许的，如果它是正则、因果且随机稳定的.

引理1［1］当uk= 0 时，系统（1）是随机容许的当且仅当∀i∈S，存在矩阵Pi＞0 及对称非奇异矩阵Φ，使得下列线性矩阵不等式成立：

引理2［7］给定实数ε和矩阵Q，则以下矩阵不等式成立.

其中：矩阵T＞0.

2 主要结果

定理1 令uk= 0，给定正实数ε＞0,δ＞0,系统（1）是随机容许的，如果存在矩阵Hi＞0,Wi＞0,Yi＞0,及对称非奇异矩阵Ψ及矩阵Mi,Si,Ti,使得下列线性矩阵不等式成立.

其中：

证明 由引理1 知系统（1）是随机容许的当且仅当式（3）成立，即

由于

则式（3）可由以下不等式，即

和

得到.

根据引理2，由式（11）得

于是由Schur 补引理，式（11）可由式（8）及式（5）得到.同理，式（12）可由式（9）及式（6）得到.于是定理1 成立.

3 结论

本文考虑了在一般转移率下的离散广义Markov 系统的鲁棒稳定性问题，得到了上述系统基于线性矩阵不等式的随机容许性条件.