分类讨论思维在小学数学中的培养

江苏省泰州市姜堰区东桥中心小学凤凰园校区 张文虎

长久以来，小学数学教学如何在培养能力和熟练学习技巧之间掌握平衡，一直存在争议。当下一些教师急于求成，正迎合一些家长望子成龙的心理，上课时不先按教学大纲进行常规的能力培养，反而利用数学科目本身题目难度弹性大的特点，给学生布置难题、怪题，让学生在初步接触新知识时就产生了巨大的心理压力，长此以往，给学生留下了数学“杂、繁、难”的印象，甚至让学生产生了厌学心理。其实对于数学而言，概念是最需掌握的基石，技巧贵在巧劲，但关键还在于思维方法。方法正确，解题就有方向。下文即是我对在课堂中培养分类讨论这一思维的心得体会。

一、使学生明确分类讨论思想的动机

在数学教学所需应用的诸多思维中，分类讨论相对比较基础，也更能让小学生接受、学习，但每一种思维的成型都需要培养。启发学生发现分类讨论在生活中的实际作用，这样的教学方案符合小学生数学教育在实际生活中的需要，情理上也更能让学生迅速适应、反复应用这种思维。有时分类讨论是出于计算的需要（如方程的计算），这类题目学生必然面临分类的考究，并不会一下感到无所适从，而有时候分类讨论则需要深入考究学生的思维能力（如排列顺序），这类题目最宜启发学生的分类讨论思维，让他们感受到分类讨论是一种化复杂为简单的思维办法。

比如，小学数学中的一个经典案例——煎饼问题：一只平底锅上只能煎两只饼，用它煎一只饼需要两分钟（正面、反面各1 分钟）。问煎三只饼需几分钟?怎样煎？这个题目如果按生活常识来看，煎三只饼和煎四只饼可能所用时间是一样的，也就是四分钟（实际上大部分同学家里可能也是这么煎饼的）。但像这样的优化统筹问题，如果经过分类讨论，发现可以把第三个饼占用的时间拼接开，效率就可以获得提高，只需要三分钟就可以煎好三个饼。这类题目充满极强的新颖性，打破了同学们的常规常识，在班级间迅速引起了讨论。正逢当时的数学广角需要学习很多的优化统筹问题，类似于做家务、种树等，同学们渐渐明白了分类讨论的作用，也开始能接受、应用这种意识了。

二、引导学生总结分类讨论思想的步骤

不仅要引导学生接受分类讨论，更要锻炼他们总结出这一思维的分析步骤。通俗来讲，要进行正确的分类讨论，首先离不开正确的讨论对象和正确的研究全域，这也是我们首先需要讨论的内容。根据题意得出适用的讨论范围，才能开展下一步。其次是要对讨论的问题进行合理的分类，这一部分需要注意不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级等。接下来就需要对各项问题进行详细讨论，分层解决。这一部分的引导需要辅助以大量的习题，归纳总结，互相对比，才能总结出相应的步骤。但大部分时候，这些步骤也只是辅助思维方式的形成，学生能大致有意识地重复这些过程即可，无需照本宣科。

比如，在学习图形概念时，为了增强同学们的图形认识能力，我经常自己出一些题目，考查大家对图形的了解程度。有一次我提出让大家画一个带有30°角的不同三角形，要求种类越多越好，分类尽可能详细。大部分同学简单将它们分成了普通三角形、锐角三角形、带有30°角的直角三角形、等腰三角形和钝角三角形。这样的分类结果让人哭笑不得，可以看出，他们的分类方法是按锐角、直角、钝角来划分（其中还包括了两个相等角的情况）。但是我提示，三角形三角之和只有180°（确定研究全域），建议他们除已知的30°外，选定一个角的情况开始进行讨论。这一次大家的归纳就比较完全，已经可以把普通三角形和等腰三角形重新归纳到其他几种三角形之中。三四次的导入启发后，同学们对分类的认识越来越深入，已经形成了先划定范围再讨论的思维习惯。

三、鼓励学生总结分类讨论思想的适用范围

一些同学一旦掌握了分类讨论的技巧，思维便缜密起来，甚至有时过于钻牛角尖。市场上面向儿童的一些脑筋急转弯图书，过分讨论一些不可能或不符合情理的情况，很多同学看完这些书，反而对分类讨论产生了错误的理解和印象。其实并不是所有的题目都需要分类讨论，当题意表达明确、概念唯一、图文并存（图形位置清晰），在计算方法上也只有一种思路时，过度的分类讨论是不需要的。在解答或者应试中，只有正确处理哪些情况需要分类讨论，提高解题效率，才能达到事半功倍的效果，否则很多时候过于看重分类讨论思想，学生的解答大部分在做无用功。

比如，当我在班上讲解质数、合数的概念时，有些习题要求写出一百以内的质数，有些同学自己总结出一套分类讨论法，先从一至十的情况开始，挨个把每个数字带入进去思考，这样分了十组，效率差强人意，虽然这种方法确实是可行的，但却没有掌握质数的真正内涵和题目的潜在要求。实际上，学生应先考虑清楚一到十的质数，大于十而不是这些质数倍数的奇数，绝对是质数，而不需要依次分类讨论。何况这样的分类讨论无异于从一数到一百，并没有讨论的价值。经过多次矫正指导后，大部分同学改掉了“万物皆可分类讨论”的定式，而只将其作为一种普通方法去使用。

综上所述，分类讨论对小学生数学思维的不断培养是一个循序渐进的过程。这种教育方法对学生的教育作用潜移默化，伴随着学生逻辑能力的提高，同学们在未来学习的各个时期都能合理应用这种能力。与此相似的适用教学方法还有很多，我们教师应当不断深入探索，提升教育质量。