2020年高考数学全国Ⅰ卷圆锥曲线问题研究

周阳 潘红娟

2020年受疫情影响，全国高考推迟到7月7日举行.全国Ⅰ卷理科数学第20题、文科数学第21题是同一道关于圆锥曲线的题目，如下：

已知A、B分别为椭圆E：x2a2+y2=1（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，其中AG·GB=8.P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.

结论7 如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p>0），點P为直线x=-t上任一点，直线PO与抛物线交于另外一点A，与x轴平行的直线PB与抛物线交于点B，则直线AB恒过定点（t，0）.

结论8 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p>0），过x轴上任意点F（t，0）的直线交抛物线于A、B两点（异于点O），直线PB与x轴平行，则直线AO与直线PB的交点P恒在定直线x=-t上.

结论9 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p>0），过x轴上任意点F（t，0）的直线交抛物线于A、B两点（异于点O），直线AO交直线x=-t于点P，则直线PB与x轴平行.

结论10 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px（p>0），过x轴上任意点F（t，0）的直线交抛物线于A、B两点（异于点O），直线PB与x轴平行，直线PB交直线x=-t于点P，则P、O、A三点共线.

在以上每个结论中，都有一个定点和一条定直线，其实它们都是相应圆锥曲线的极点与极线.因此以上10个结论其实就是圆锥曲线中极点与极线的性质，而且可以推广到任意的极点与极线.只是如果极点不在坐标轴上，那么计算量会特别大，因此这类问题不适合出现在高考中.因此笔者这里只给出与结论1相对应的结论，其他的结论读者可以仿照结论2-10自行写出.

结论11 如图3所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），点Q（x0，y0）关于椭圆C的极线为直线l：x0xa2+y0yb2=1，点P为直线l上任一点，点A、B为直线OQ与椭圆C的两个交点，直线PA、PB与椭圆交于另外两点M、N，则直线MN恒过点Q（x0，y0）.

本结论的证明过程计算量十分巨大，有兴趣的读者可以尝试自行证明.