概念原理为本 学科观念导向——谈球结合体问题求解的切入点

安徽省濉溪县第二中学(235100) 王耀娜 祝 峰

球、球面是立体几何中的重要几何图形,球与棱锥等多面体内接、外切构成的几何体常被称为球的结合体.球的结合体问题,能较好地考查立体几何的核心概念、原理以及它们所蕴含的数学思想和思维方法.对学生的空间想象、转化与化归、逻辑推理、运算求解能力要求较高.构图困难、空间想象力无法充分发挥、位置和数量关系模糊导致结合体问题在立体几何教和学中成为难点.如何突破? 值得我们不懈地尝试、反思和总结.

核心概念和原理以及它们所反映的思维方法是难点突破的“根”和“本”,根深才能长成参天大树,本固才能立于不败之地.回到球的概念和性质,注重它们的联系性,从中寻找问题解决的思路是结合体问题求解的根和本.与此同时,包含整体观、套路观、模型观、解析观、降维观在内的立体几何学科一般观念则是结合体问题解决的思维导向.

1 整体观

球面关于球心、直径、过球心的截面对称,几何体的对称性在直观上能给人以协调、稳定、惬意的心理感受,是数学美的重要体现之一.值得注意的是,球面的对称性中蕴含着从部分联想到整体的思维方法,这种思维方法在球的学习和相关问题解决中有着稳定、持续的作用.在球结合体问题解决中,若拘泥于几何体的一隅,只见树木不见森林,思路往往难以打开.结合对称性,由“残缺”及“完整”、由“部分”到“全体”的整体观,是球结合体问题求解的有效思维导向.

例1(2019年高考全国Ⅰ卷理科第12 题)已知三棱锥P −ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,ΔABC是边长为2 的正三角形,E、F分别是PA、AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为( )

解析如图1,注意到PA=PB=PC,ΔABC为正三角形,所以三棱锥P −ABC是正三棱锥,所以

(正三棱锥对棱垂直).E、F为中点,∠CEF=90°,所以

结合①②有PB⊥面PAC.

图1

图2

故三棱锥P −ABC三侧面均为等腰直角三角形,整体视角下,如图2,三棱锥P −ABC为正方体PM的一部分.则三棱锥P −ABC的外接球即正方体PM的外接球O,半径为所以三棱锥外接球的体积

注评注意到球与三棱锥的对称性,拓宽认识视角,整体观下,由部分及整体,发现条件中的几何体是正方体的一部分,将具体问题置于熟知的正方体特定空间中,相关位置、数量关系一目了然,不证自明.

球的结合体问题的求解中,局限于较小的空间中思考,会阻碍空间想象和对问题本质的认识.结合球面的对称性,由几何体部分想象到整体,在更广的空间中视角会变宽、思路会流畅.

2 套路观

数学问题的解决有其基本“套路”,这儿并非所谓“技巧”.“技巧”微不足道,通性通法才是基本“套路”.不断回到球的概念,用概念思维,是球结合体求解的基本“套路”.球的概念所反映的基本性质是“通性”,所蕴含的基本思想方法是“通法”.

一是强化了项目单位科学编制项目预算的责任。《通知》再次重申了“项目单位应该根据项目研究开发任务的特点和实际需要，按照政策相符性、目标相关性和经济合理性的原则，科学、合理、真实地编制项目经费预算”的要求，并规定项目单位不得简单按比例编制直接费用的各项支出预算。

例2(安徽100 所名校高三“攻疫”联考理科第15 题)在棱长为4 的正方体ABCD −A1B1C1D1中,E是AA1的中点,F是BE的中点.P是面AA1D1D内一点,且PF⊥面DA1C1,则四棱锥P −A1B1C1D1外接球的表面积为.

图3

解析如图3,注意到,正方体中BD1⊥面DA1C1,取D1E的中点即为P.易证PF//BD1,所以PF⊥面DA1C1.由球的概念知,球心在正方体上下底面中心连线MN上,设其为O,则O到面PA1D1的距离为d=2,又RtΔEA1D1中,斜边中线由正弦定理知,ΔPA1D1外接圆的半径为结合球的性质,外接球半径R满足R2=d2+r2=4+所以S=4πR2=41π.

注评球面上点到球心距离相等是球面概念所反映的最基本数量关系,基于此确定球心在直线MN上某个位置(具体位置并不重要,抓住性质是关键).小圆圆心与球心连线垂直于小圆面,其长度为球心到小圆面距离d,小圆半径为r.d、r与球面半径R之间的关系,是球面概念所蕴含的基本性质,建立d、r、R之间关系是球结合体问题解决的基本“套路”.

球的概念鲜明、直观、简单、易懂且威力无穷.概念及其蕴含的方法和思想是问题求解的“通性、通法”,是数学思维的基本“套路”.这种套路在结合体问题求解中具有广泛、持久、稳定的影响作用.

3 模型观

发展空间想象能力是立体几何学习的重要目标之一,指借助几何直观和空间想象感知空间元素的形态和变化,利用空间形式特别是图形,分析、解决空间元素位置和数量关系问题.诚然,想象力水平有高低之分,让空间想象力在自身水平基础上获得最大化发挥,对解题有积极作用,这种“极化”发挥同时也是提升空间想象能力的有效手段.如何做到“极化”发挥? 把问题置于熟悉的空间几何体模型中,利于空间想象力极化发挥.如长方体、正方体、直棱柱、正棱锥等规则几何体,借助这类几何体模型更容易观察、分析和想象.

例3(2020年“安徽省示范高中皖北协作区”理科第12题)在三棱锥A −BCD中,AB=CD=2,AD=BC=1,且二面角B−AC−D为120°,则三棱锥A−BCD外接球的表面积为( )

A.4πB.5πC.6πD.7π

解析如图4 所示的直三棱柱中,二面角B −AC −D为120°,三棱锥A −BCD符合题设条件.

图4

图5

设AB、CD的中点分别为E、F,外接球球心为O.球的性质知,OE⊥面ABC,OF⊥面ACD.设面OEF交AC于G点,易证G为AC中点.

如图5,四边形EGFO中,∠EGF=120°,EG=GF=所以OE=即球心O到截面ABC的距离d=ΔABC外接圆半径r=1,所以R==故外接球表面积S=4πR2=7π.

注评问题出现在不规则的三棱锥中,且其外接球球心在三棱锥的外部.直接在原三棱锥中思考问题,难以发现要素之间的关系.将问题置于特殊的直三棱柱后,球心、截面、三棱锥表面在三维空间中相对位置关系清晰可见,将d化归到平面图形中,在平面四边形EGFO中求出d后,“套路观”引领下,构建基本量d、r、R之间关系.

若从“整体观”视角看问题,三棱锥A −BCD的外接球实际上也就是所构造直三棱柱的外接球,所以,抛开原三棱锥,问题可转化为求所直三棱锥的外接球解决.

4 降维观

从知识体系之间的内在结构与联系看,立体几何是平面几何的延续和拓展.这种延续体现在立体几何中很多概念用平面几何知识来定义.

例4(淮北▪宿州2019 届高三第二次模拟考试理科第12 题)已知正四面体的中心与球O的球心重合,正四面体的棱长为球的半径为则正四面表面与球面的交线的总长度为( )

A.4πB.C.D.12π

解析如图6 所示,棱长为a的正四面体ABCD中,顶点A在底面的射影为底面的中心E,则正四面体的中心O在直线AE上.连DE并延长交BC于F.

图6

图7

在平面ADF中,由平面几何及解三角形知识求得为正四面体外接球的半径;OE=为内切球半径.当a=时,求得AO==3,已知球的半径为所以已知球介于正四面体外接球和内切球之间.注意到平面BCD截球O所得小圆圆心为E,其半径为如图7 所示,即球O与表面BCD的交线为弧对称性知三段弧长相等.正三角形BCD中,EF=EM1=2,故∠M1EM6=,即交线三段弧的和为圆周等于×2π ×2=π.故球O与正四面体表面交线的总长度为4π.

注评由题设可感受到,球面O应与正四面体四表面三角形均有交线,但需经过严密的推理后确定其具体情况,所以首先在正四面体中构造平面ADF,在此面内探讨了正四面体外接球、内切球的半径,确定已知球与两特殊球之间关系,它们为同心球且介于两球之间.球心O到截面BCD的距离(即内切球半径),为后续结合“套路观”求截面圆的半径作准备.问题集中于平面ADF内,获得解答.

“整体观”下,结合球、正四面体的对称性,两几何体表面交线总长度的求解问题,集中于面BCD中解决,再一次把空间问题平面化.

5 解析观

平面解析几何学科一般观念是用代数的方法研究几何问题.中学教材中引入空间向量后,一方面可用空间向量的运算性质,研究立体几何问题;另一方面,在空间向量基本定理所蕴含的原理和思想下,构建单位正交基,类比平面解析几何,建立空间坐标系,可把空间元素位置和数量关系坐标化、方程化,用代数方法研究球的结合体相关问题.

例5(合肥市2020年高三第二次教学(理数)质量检测第12 题)在三棱锥P −ABC中,二面角P −AB −C、P −AC −B和P −BC −A大小均等于,AB:AC:BC=3 : 4 : 5,设三棱锥P −ABC外接球的球心为O,直线PO与平面ABC交于点Q,则=( )

解析题设条件知,ΔABC为直角三角形,其中∠A=90°,不妨设三边长分别为3、4、5.注意到三个二面角相等,所以点P在底面上的射影是ΔABC的内心H.如图8 所示建立空间直角坐标系,其中坐标原点为H,x轴平行于AB,y轴平行于AC.

图8

解得z=结合点P坐标,=3,所以=4.

注评结合问题所涉及的几何体自身特征,建立恰当的空间直角坐标系,可通过代数运算研究几何问题.空间直角坐标系的建立,一般要兼顾几何体自身的对称性,让尽量多的点、线、面落在空间直角坐标系的轴和面上,便于确定相关点的坐标.利用坐标通过解析运算解决球的结合体问题,对空间想象能力要求似乎没有那么高,但值得注意的是,不是不需要空间想象能力,相关点坐标的确定,以及代数运算结果的解释均需建立在空间想象能力之上.

视立体几何是中学数学中一个相对独立的子学科,整体观、套路观、模型观、降维观、解析观是立体几何的学科一般观念.这些观念蕴含在相关概念、原理等学科内容中,体现了立体几何的学科特点和学生的认知规律,对立体几何的学习有着广泛、持久、稳定的积极影响.

整体观能引领学生从局部到整体认识问题,拓宽问题认识视角,发展全局意识,训练思维的整体性.套路观引领学生不断回到概念、原理中去,养成用概念和原理分析和解决问题的习惯,注重通性、通法,摒弃“题型+技巧”的狭隘解题意识,训练思维的自觉性.模型观能引领学生把陌生问题化归到熟悉的几何体中,养成善于借助恰当的几何空间,极化发挥空间想象力的习惯,不断提升空间想象力水平,训练思维的有序性.降维观能让学生体会到几何学科的结构性、连续性,养成空间问题平面化,善于借助截面、多面体表面、投影面等,解决立体几何问题的习惯,训练思维的结构性.解析观则能使学生体会几何与代数之间的关系,感受形与数的互为表里,养成从数和形两个角度思考问题的习惯,训练思维的严密性.以球的结合体问题为载体,概念、原理为本,学科一般观念导向下的解题训练,是巩固“四基”,提升“四能”,发展相关核心素养的有效之举.