2020年高考北京卷第20题的推广*

山东省泰安市宁阳县第一中学(271400) 刘才华

山东省泰安市宁阳县第一小学(271400) 刘士香

高考真题(2020年高考北京卷第20 题)已知椭圆=1 过点A(−2,−1),且a=2b.

(Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)过点B(−4,0)的直线ℓ交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=−4 于点P,Q,求的值.

注意到由本题条件可得xA.xB=(−2)×(−4)=8,而本题a2=8,此时得到=1.这启发我们作进一步思考,对于一般的椭圆,是否也有同样的结论=1? 结论是否具有偶然性? 于是我们通过对试题的深入探究,作进一步的推广,得到如下有趣的

命题1直线x=t交椭圆Γ :=1(a ＞b ＞0)于点A(不同于长轴端点),过B(m,0)的直线ℓ交椭圆于M,N两点,直线MA,NA分别交直线x=m于点P,Q,则|PB|=|BQ|的充要条件是mt=a2.

证明如图,由题意知直线ℓ的斜率存在,设其方程为y=k(x −m),交椭圆于M(x1,y1),N(x2,y2).

则Δ＞0 且

直线ℓ割ΔAPQ三边所在直线于点B,M,N,由梅内劳斯定理得则

将x1+x2=,x1·x2=代入上式可得|PB|=|BQ| ⇔mt=a2,故|PB|=|BQ|的充要条件是mt=a2.

命题2直线y=t交椭圆Γ:=1(a ＞b ＞0)于点A(不同于短轴端点),过B(0,m)的直线ℓ交椭圆于M,N两点,直线MA,NA分别交直线y=m于点P,Q,则|PB|=|BQ|的充要条件是mt=b2.

命题2 的证明分直线ℓ斜率不存在和斜率存在两种情况,其中斜率不存在时容易证明,斜率存在时可以仿照命题1给出证明,过程从略.对于圆,我们有如下

命题3直线x=t交圆Γ :x2+y2=r2(r ＞0)于点A(不同于圆与x轴的交点),过B(m,0)的直线ℓ交圆于M,N两点,直线MA,NA分别交直线x=m于点P,Q,则|PB|=|BQ|的充要条件是mt=r2.

命题3 可以仿照命题1 给出证明,过程从略.对于双曲线,我们有如下

命题4直线x=t交双曲线Γ:=1(a,b ＞0)于点A(不同于实轴端点),过B(m,0)的直线ℓ交双曲线于M,N两点,直线MA,NA分别交直线x=m于点P,Q,则|PB|=|BQ|的充要条件是mt=a2.

证明由题意知直线ℓ的斜率存在,设其方程为y=k(x −m),交双曲线于M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y并整理得(a2k2−b2)x2−2a2k2mx+a2k2m2+a2b2=0,则Δ＞0且x1+x2=

直线ℓ割ΔAPQ三边所在直线于点B,M,N,由梅内劳斯定理得则