立足数学现实 促进思维进阶

钱卫华 (浙江省安吉县实验初级中学 313300)

“数学现实”是荷兰数学教育家弗赖登塔尔提出的概念，其含义是每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、规律和有关的数学知识结构．就数学教育而言，即指学生用已掌握的数学知识与方法认识、解决数学问题的现实水平及层次，也包括学生在此过程中所获得的认识．数学思维进阶教学是一种基于数学核心素养的教学，主张从学生的“数学现实”出发，构建深入体验、渐进感悟、进阶提升的思维生长环境，让学生在体验中感悟，经历认知结构的形成与深化，促进思维进阶发展，形成思维意识，促使学生的核心素养得到萌发与成长．数学思维进阶教学强调立足“数学现实”、促进思维进阶、形成思维意识三个核心理念，是促进学生思维进阶、提升学生核心素养的一条重要途径．下面以浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》第3节“垂径定理”(第2课时)为例，谈谈数学思维进阶教学的操作范式及相关思考．

1 基本情况

教材说明 浙教版九年级上册第三章《圆的基本性质》第3节“垂径定理”(第2课时)．

学情分析 八年级学生已经学习了轴对称图形，也学习了特殊三角形、四边形的轴对称性，而圆也是具有轴对称性的一种重要图形．“垂径定理及逆定理”揭示了垂直于弦的直径和这条弦及其所对弧的内在关系，是圆的轴对称性的具体化，是从定性关系到定量关系的转化和提升，是圆有关问题的计算工具，也是今后证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据．本节课在学习“垂径定理”的基础上，通过垂径定理逆定理的推导等教学过程，渗透类比、转化等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力，进一步培养学生的几何直观性、建模能力、思维的严谨性，使学生的认识由感性到理性、从具体到抽象、从单向到双向，让学生思维的严谨性、丰富性得以进阶发展，核心素养得以落地生根．

教学重点 垂径定理的逆定理.

教学难点 例3的问题情境较为复杂，圆的轴对称性思想意识的形成是难点.

教学目标 经历探索垂径定理的逆定理的过程；掌握定理“平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧”及定理“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”；会运用垂径定理的逆定理解决相关的几何问题.

2 教学过程

环节1 复习回顾，提出问题

问题1如图1，已知圆O的半径为2，AB为圆O的一条弦，弦心距OC为1，求弦AB的长．

图1 图2

问题1比较简单， 教学中借此回顾垂径定理的条件和结论．针对问题2的讨论如下：

生1：因为P是AB中点，所以OP⊥AB，由勾股定理可算出OP．

生2：为什么OP⊥AB？

生1：因为问题1中OC⊥AB，此时C是AB中点；而这里P是AB中点，反过来，我猜想OP也应该垂直于AB．

师：有想法，很好！但是光猜想没证明还不够严谨．其实刚才生1意识到了问题2实质是问题1的逆命题，也就给大家提出了垂径定理的一个逆命题——平分弦的直径垂直于弦，平分弦所对的弧．这个命题是真命题吗？如何证明？

数学现实学生已有的“数学现实”是掌握了直径垂直于弦，可推得直径平分弦、平分弦所对的弧，要构造的“数学现实”是掌握平分弦(不是直径)的直径垂直于弦、平分弦所对的弧，平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．因此问题1、2的设计主要基于学生的“数学现实”，利用学生思维的矛盾处，抓住学生的求知欲，自然引出问题，激发学生的思维兴趣，使学生能积极投入到学习中，为学生思维的锁定和思维积极性的提升奠定基石．

环节2 探究新知，解决问题

生3：连结OA，OB，由等腰三角形三线合一可得OP⊥AB．

师：一定成立吗？有没有补充？

生4：特殊地，当AB为直径时，两条直径一定互相平分，但不一定垂直．

师：很好！事实上，除去这种特殊情况，这个逆命题是真命题，我们概括一下就是垂径定理的一个逆定理：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦、平分弦所对的弧．用这个逆定理你能解决问题2了吗？

图3

数学现实学生根据已有的“数学现实”(垂径定理)，由图形的直观性自然提出猜想(垂径定理逆定理)，既说明了学生初步具有该定理基本图形的几何直观性，同时也暴露出思维缺乏严谨性，通过问题解决自然生成新的“数学现实”(垂径定理逆定理)．因此，这样设计从学生已有现实出发，激活学生思维最近发展区，自然合理，符合学生的心理特征，为教学的顺利开展奠定基础．

思维进阶利用学生强烈的求知欲有效激发学生的兴趣，开启学生主动参与思考的兴奋点；通过追问，巧妙抓住问题的内在联系，利用问题的生成、分析、解决，在问题由具体到抽象的过程中，学生经历由感性的猜想发展为理性的推理，思维自然从识记进阶到领会，数学抽象、逻辑推理的素养也得以培养．

环节3 巩固训练，感悟新知

图4

问题4如图4，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点．

教学中，学生发言积极，有学生讲错了，其他学生马上纠正，课堂气氛活跃.学生对三个定理的条件、结论的认知在思辨中逐步清晰起来．

数学现实垂径定理及两个逆定理都是圆轴对称性的体现，但具体应用时学生容易混淆相关的条件及结论．此时，学生的“数学现实”是初步掌握了垂径定理逆定理，但对三个定理的内在关系理解还不够深入，思维还处于兴奋而又混沌的状态，所以此时趁热打铁，及时巩固、梳理对知识的深入理解和培养学生思维严谨性事半功倍．问题4的设计具有明显的对比性，这样及时通过训练、感悟，使学生能正确区分相关定理并应用，从而使学生对相关定理理解更深入，使新生成的“数学现实”更牢固；另一方面，也通过练习逐步建立半弦长、弦心距、半径这一基本图形，为下一步学生建立直观想象、数学建模打下基础．

思维进阶培养学生思维的严谨性是几何教学的重点．在教学中，让学生说出各问题解决的依据，通过这样的比较、梳理，在问题的辨析中碰撞出思维的火花，有助于学生的思维再兴奋，深入领会相关知识联系，有效培养思维的严谨性，促进思维生长.学生的思维逐步从领会进阶到应用．

环节4 变式训练，提炼本质

图5

问题5如图5，圆O的直径PQ分别交弦AB,CD于点M，N，AM=BM，AB∥CD．求证：DN=CN．

问题6回顾垂径定理及两个逆定理，能否用一句话概括这三个定理？

学生对问题5及变式反应迅速，但对问题6还需教师启发．

师：刚才问题4的计算和问题5及变式的证明都是利用了垂径定理及逆定理．请同学们比较、总结一下，这三个定理实质是围绕哪几个条件、结论？它们都体现了圆的哪种性质？

生：我明白了！实际上这三个定理就是直径垂直于弦、直径平分弦(不是直径)、直径平分弦所对的弧．这三个条件中只要有一个成立，另两个一定成立．本质都是圆的轴对称性的体现．

师：很好！大家认识到圆的轴对称性的真谛了！

数学现实在前面研究的基础上，学生已经能解决半径、弦长、弦心距的相关计算，理解、区分这三个定理的条件及结论，但学生对知识的认识还是零散不系统的，没有形成认知结构、领悟知识本质，还未形成一个整体．在此基础上，由问题5及变式，通过相关的证明，让学生再次理解、感悟这三个定理的内在联系.问题6揭示、提炼问题本质：垂径定理及逆定理是圆轴对称性的具体体现，体现在直径垂直于弦、直径平分弦(不是直径)、直径平分弦所对的弧这三个条件中只要有一个成立，另两个一定成立．在过程的体验中，通过计算、推理、提炼、概括，学生的理解逐步深入，自然构造并有机地发展了学生的“数学现实”．

思维进阶通过研究问题的逐步深入，理解、揭示、提炼本质，使学生对圆的轴对称性理解完整、深刻，促使学生的思维逐步由应用进阶发展到分析；另一方面，在逐步感悟、建立模型的过程中，有效形成直观想象、数学建模的素养．

环节5 综合应用，数学建模

问题7已知赵州桥跨径(桥拱圆弧所对的弦的长)为37.02 m，拱高(桥拱圆弧的中点到弦的距离)为7.23 m，求赵州桥的桥拱圆弧的半径(精确到0.1 m)．

师：如何解决？

图6

生7：把实际问题抽象成数学模型，如图6，可以利用垂径定理逆定理2解决．

数学现实数学来源于现实，也必须扎根于现实并且应用于现实．前面的四个环节使学生在原有的“数学现实”基础上构造并发展了“数学现实”，即理解了圆轴对称性的内在联系，具有了一定解决问题的能力，但此时学生的思维还停留在解决纯数学问题．从纯数学问题到实际问题对学生来说是一种跨越，因为需要综合的抽象概括能力和数学建模能力，因此实际问题的解决是发展学生“数学现实”的关键，也是促进学生思维进阶的必由之路．

思维进阶在教学中，通过对复杂实践问题的抽象概括、数学建模，增强了学生的数学应用能力，促使学生思维进阶发展为综合．在前面这些体验、感悟、建模过程中，学生的思维由“识记→领会→应用→分析→综合”，一步步进阶，思维得到深度生长，同时数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学建模等核心素养也随之增长．

环节6 评价反思，深化思维

图7

师：谁来说说自己的想法？

生8：圆和正三角形都是轴对称图形，所以这里D，P，O应该共线的，但不知道怎么证明？

师：生6的图感非常好!从图形直观看，D，P，O似乎共线.谁能证明？

数学现实本节课的知识重点是垂径定理的逆定理，但思想核心是使学生建立圆轴对称性的思想意识．前面的研究已使学生掌握了垂径定理及逆定理的内在联系，但轴对称性的思想意识还未有效形成．问题8组合了两种常见的轴对称图形，要求学生借助图感(直观想象)意识到应用这两种图形轴对称性是解决问题的关键，思维素养要求较高，旨在促使学生思想意识的形成，提升学生的思维品质．

思维进阶教学中，学生积极参与分析讨论，优化解决方案，理性地思考、分析问题，思维活跃，并能对解决的方案作出评价，学生的思维品质得到了深化、提升、完善，思维进一步发展到评价，同时学生的数学素养也有了质的提升．

3 对数学思维进阶教学的几点思考

思维是人的一种高级的心理活动形式，美国教育心理学家布鲁姆把学生的思维层次分为六个级别：识记、领会、应用、分析、综合、评价．显然，思维从低级到高级的生长必然需要一个进阶的过程．《义务教育数学课程标准(2011年版)》关于课程的设计指出，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程．实际上，就是要求在教学过程中不仅要注重教学任务的顺利达成，还要注重教学目标的渐进突破，更要注重学生在整个学习活动中的思维进阶生长．针对思维进阶教学的特点，需要贯彻以下几个核心理念．

(1)立足“数学现实”

弗赖登塔尔认为每个人都有自己的一套“数学现实”，作为数学教师，其主要任务是要帮助学生构造“数学现实”并发展学生的“数学现实”．比如，环节3使学生能正确理解、区分垂径定理及逆定理，但基础薄弱的学生还理解不透，所以环节4及时给他们创造了一个弥补赶上的机会，而优秀的学生则由计算到推理，思维更清晰深入，每个学生的“数学现实”都能得到相应发展．数学教学设计应充分把握学生现有的“数学现实”，全面了解学生的学习需求，找准教学的出发点，针对学生将要达到的“数学现实”有效整合教学资源、周密设计，调动积极的思维，促使学生有效思考，培养学生的深度思维习惯，促进学生从已有的“数学现实”逐步向更高层次发展．

(2)促进思维进阶

立足“数学现实”是有效抓住教学的出发点、终点，但促进学生思维进阶是课堂设计的核心．思维进阶不是一蹴而就的，是一个进阶的过程，设计时要结合教学内容和学生的兴趣爱好，注重创设多元化体验过程，让学生在体验和感悟中收获知识与技能，建构方法与思想，生成思维与智力，促进学生思维进阶、核心素养发展．

创设情境，激发思维 根据学生的“数学现实”创设学习情境，让学生从教学情境中感受数学的魅力，促进学生学习数学的积极性和热情，从而使学生的思维得到有效激发，迅速投入到学习中，提高课堂教学效率．比如，环节1中问题1源于学生的练习，自然贴切，其变式(问题2)引发学生猜想、争议，由此抓住契机引出课题．这样通过思维碰撞，有效激发学生的学习兴趣，让学生直观感受到数学知识与问题的生成，开启学生主动参与情境问题思考的兴趣和兴奋点，为思维的锁定和思维积极性的提升奠定良好的基础．

注重过程，生长思维 思维是课堂的生命线．教师必须结合学生的“数学现实”和教学内容，构建一个深入体验、渐进感悟、进阶提升的思维生长过程，学过程围绕两条线索：任务线是教学任务的顺利达成，教学目标的渐进突破；思维线是借助学生掌握知识的螺旋上升的过程，使思维得以渐进进阶，核心素养得以稳步发展．若仅有任务线没有思维线，课堂就没有深度，缺乏思想，没有数学味；仅有思维线没有任务线，则课堂过于抽象，学生难以接受；两线结合，则课堂如鱼得水，知识螺旋上升为思维进阶提供载体，促进思维进阶，而思维进阶又为知识的深入理解提供思维，推动知识螺旋上升，两者相辅相成、互相作用、共同发展，从而实现知识生长、思维进阶．

比如此案例中6个环节，任务线是回顾垂径定理，引出并研究逆定理，及时巩固、感悟定理的内在联系，揭示、提炼圆轴对称性本质，然后综合应用、解决问题、建立模型，形成轴对称思想意识；思维线是通过学生深入体验、渐进感悟，思维从“识记→领会→应用→分析→综合→评价”，两线交织，逐步推动对圆的轴对称性的深入理解，形成圆的轴对称性的思想意识．

体验成功，成长心理 思维进阶教学还要符合学生的年龄心理特点，重视个体思维发展的不平衡性以及心理发展的不平衡性．比如环节1～4，问题设计由浅入深、由表及里，既是对薄弱学生的兼顾又是对优秀学生的提升，这样，薄弱的学生能及时跟上，优秀的学生能得到展示，大家都体验到成功的喜悦，积极参与到学习当中．所以教学应当关注学生的差异，要从激发学生探究的兴趣和热情开始，使学生自觉成为学习的主体；始终突出以“学”为中心，从探究的过程中让学生体验到思维进阶的课堂是有趣的课堂、快乐的课堂、知识学习与技能培养相融合的课堂、情感态度价值观教育相融合的课堂、与生活实践紧密联系的课堂，进而体验到成功的喜悦，使学生都能得到发展．

(3)形成思想意识

思维是发展数学核心素养的落脚点，教学的最终归宿是使学生的思维得到发展，形成更高阶的思想意识．在教学中立足数学现实，构建深入体验、渐进感悟、综合应用，使学生的思维得到一定的发展．此时思维虽然有提升，但还没有从本质上上升到思想意识这个高度，所以思维的发展还应有画龙点睛的升华才能实现跨越．比如环节6，考查学生在复杂情境中发挥直观想象的能力，实质就是考查圆的轴对称性，这样才能体现学生从根本上真正建立了圆轴对称性的思想意识，使学生的思维进阶到新的高度．所以注重教学任务的顺利达成，注重教学目标的渐进突破，更要注重学生在整个学习过程中的思维生长，实现思维的进阶、完善、优化发展，促进学生核心素养的生长发展．

总之，数学思维进阶教学必须全面掌握学生的“数学现实”，从学生的“数学现实”出发，科学把握教学进阶设计，以学生的思维发展为教学的归宿；为学生创设良好的思维环境，立足于形成、改善学生的思维品质，进阶发展学生的高阶思维品质，伴随学生核心素养的生长发展．