高等数学中数列极限的教学研究

于水源 鲍勇 徐美林

摘 要 高等数学是大学教育的公共基础课，同时是工科、理科、财经类研究生考试的基础科目，为学生今后的专业课学习打下夯实的基础，同時培养学生分析问题、解决问题的能力。极限思想在高等数学中占有很重要的地位，本文以引入，举例，总结定义，快速帮助学生理解和掌握数列极限课程教学中的重难点，提高学生的学习质量，并且教师可以从知识的来源与内涵中发掘课程的思政元素，促进学生的全面发展。

关键词 思政元素 数列极限 收敛

中图分类号：G642                                   文献标识码：A    DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2020.12.018

Abstract Advanced mathematics is a public basic course in university education， and also a basic subject for postgraduate examination of engineering， science and finance. It lays a solid foundation for students' future professional study and cultivates students' ability to analyze and solve problems. Limit thought plays an important role in higher mathematics. This paper introduces， exemplifies， summarizes the definition to help students quickly to understand and master the key and difficult points in the teaching of sequence limit course， improve students' learning quality， and teachers can explore the ideological and political elements of the course from the source and connotation of knowledge， so as to promote the overall development of students.

Keywords ideological and political elements; sequence limit; convergence

我们在观察各种自然现象或研究实际问题的时候，会遇到许多的量，这些量一般可分为两种：一种是在考察的过程中保持不变的量，这种量被称为常量。还有一种是在这一过程中会起变化的量，称为变量。初等数学研究的对象是常量，高等数学研究的对象是变量。在同一现象中所碰到的各种变量里，通常并不是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，这种依赖关系就是函数。极限方法是研究变量的基本方法，也是高等数学的核心。

1 教学设计

1.1教学背景

数列极限这个概念是学习导数所必备的知识。极限也是从初等数学的思维方式到高等数学的思维方式的转变，现已广泛应用于自然科学、社会科学、技术科学等众多领域。

1.2教学目标

知识目标：理解数列极限的概念，了解极限的广泛应用，掌握利用极限的思想解决实际问题的步骤，并能简单的证明数列极限。能力目标：培养学生在数学方面的抽象性、逻辑性以及严谨性的能力。素质目标：提高学生的学习热情，激发学生学习的兴趣，鼓励学生积极探索知识，多问几个为什么，不盲从、学以致用。

1.3教学的重难点

教学重点：对数列极限定义的理解，启发学生对于问题要抓住本质。教学难点：如何从变化趋势的角度，来理解数列极限的定义。

1.4思路设计（图1）

1.5板书设计

45分钟的课堂教学需要使用黑板（如图2所示），多媒体翻页后，黑板上的标题会让学生有清楚的思路。配合课件书写一些并不复杂的演算过程，从而达到更好的教学效果。

2 教学过程

2.1问题的引入

通过介绍我国古代思想家庄子，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感。整节课以教师为主导，根据本节课的内容和学生的实际水平，以学生为主体，启发学生的思维为主线。

春秋战国时期的庄子在《庄子天下篇》中对“截杖问题”有一段名言：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，有一根一尺长的木棒，第一天，截取木棒的，第二天，截取木棒的，……，第天，截取木棒的，……，这个过程可以无限制的进行下去，虽然是无尽止的，但是可以看到，随着的无限增大，这一系列变量，，… ，，…，是越来越接近0的，为了研究这种性质，首先引入概念数列，数列是一系列可以无限延长的数字排列，数列是特殊的函数，定义域是正整数集，值域是实数集。这里为一个数列。

2.2问题的分析

我们来看以下的四个数列：

简单分析一下这几个数列，第一个数列，随着项数的不断增加，数列从1的两侧越来越接近1，越来越接近2，第三个第四个数列没有这种特性。

一般地，我们说对于数列，当无限增大时，能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列{}，常数称为它的极限。不具有这种特性的数列就不是收敛数列，称为发散数列。

那么如何用数学的语言来描绘这种特性，来看这个数列，

（1）首先：随着项数的增加，越来越接近2。

（2）換句话说：当不断增大时，和2的差的绝对值越来越接近0。

（3）也就是说：当相当大时，和2的差的绝对值将相当小。

将这句话抽象的概括出来就是数列极限的定义。

2.3 数列极限的定义

设为数列，为给定的实数。若对任给的>0，总存在正整数，使得当，

则称数列收敛于，定数为数列的极限，记

读作当趋于无穷大时，的极限等于，或趋于。

2.4 数列极限定义中要注意的四个问题

（1）为任意小的正数，但一经给出，就暂时被确定下来，以便依靠求出。

（2）等等同样也是任意小的正数。（但是，不是任意小的正数，）。

（3）的表达式不唯一，比如充分大的正数，为充分小的正数。

（4）是相应存在而存在的，暂时固定，确定相应，与有关，但不是的函数。

2.5 用定义证明极限存在的步骤

2.6典型例题

因此以为极限，就是对任意给定的一个开区间（，+），第项以后的一切数（无穷多项）全部落在这个区间内，落在开区间（，+）外的只有有限项。

可以看出，数列是否有极限，只与它从某一项以后有关，而与它前面的有限项无关。因此，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对数列的收敛性和极限值都不会发生影响。

4 收敛数列的性质

注（1）若每一个部分的极限都存在，则其代数和、乘积、商的极限都存在，且可以把极限符号分给每一个部分。

（2）如果有一个部分极限不存在，则其代数和的极限不存在，乘积、商的极限不确定。

（3）如果有两个或两个以上的部分极限不存在，则其代数和、乘积、商的极限都不确定。

定理7（绝对收敛性）（反推不回去）。

5 无穷小量与无穷大量

定义2 若，则称为无穷小数列（或称之为无穷小量）。

定理 数列收敛于的充要条件是为无穷小数列。

注 无穷小量的本质是一个变量，而不是一个数值或很小的数。

定义3 若数列满足：对任意正数，总存在正整数，使得当时，有

由例1知，当时有。于是，当时，上式除了分子分母的第一项分别为与外，其余各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于;当时，由于，故此时所求的极限等于0。当，为无穷大量。综上所述，得到

6 数列极限的应用

意大利的数学家斐波那契，他在1202年提出了一组特殊的数列，

这个数列从第3项开始每一项都等于前两项之和。

在许多植物身上也有斐波那契数列的身影，比如松果。松果的表面是由顺时针方向螺旋鳞片和逆时针方向螺旋鳞片缠绕而组成，顺时针方向螺旋数和逆时针方向螺旋数始终是斐波那契数列中两个挨着的数字，比如5-8型或者13-21型，但是绝不会找到6-9型或者8-11型之类的松果。

如今，斐波那契数列仍然被用来表示种群的动态，探讨随着时间的推移，动物种属在生态系统下的变化。我们在研究变量的变化过程中，构造数学建模依然会用到数列，已广泛应用于植物学、经济学以及气象学等众多领域学科。

7 教学实施情况小结及效果分析

本次的教学设计符合本科一年级学生的认知规律和实际水平，教师以古人庄子开始教学内容，将课程思政元素融入数列极限的学习当中，有助于掌握本次的学习内容。理解数列极限的概念，领会极限的思想，更好的掌握数列极限，使学生将枯燥的数学知识与鲜活的生活结合起来，培养了学生的创新精神和独立思考的能力，更好的完成教学目标。

参考文献

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