含刚性及弹性约束的振动系统的动力学特性

王世俊，马 琳

(兰州交通大学 机电工程学院，兰州 730070)

机械系统中由于装配需要、加工精度的限制、运转过程中的正常损耗等诸多因素的影响,不可避免的存在间隙和约束.间隙和约束的存在使得机械系统在运转时会发生冲击振动,异常的冲击振动可能会造成噪声加剧、使用寿命降低等诸多不利情况的发生.因此研究含间隙、约束的冲击振动系统的动力学特性具有重要的现实意义,国内外学者对此展开了大量的研究.Shaw等[1]发现含间隙冲击振动系统中由于分段非光滑特性,可能会由于擦边分岔而导致分岔行为的奇异性.Nordmark等[2]研究了单自由度冲击振动系统在低频时存在的完整颤冲击振动.文献[3-7]对单自由度冲击振动系统做了细致而深入的研究,针对单侧和双侧刚性及弹性约束的不同情况研究了系统的低频特性、周期运动的转迁规律、局部吸引域结构变化机理.叶建聪等[8]研究了一类含摩擦两自由度冲击振动系统,分析了系统参数对于动力学特性的影响.张艳龙等[9]研究了随机干扰对系统动力学的影响,发现了在一定随机干扰强度下,系统周期运动参数域存在抗干扰能力强的点和抗干扰能力弱的点.乐源[10]研究一类碰撞振动系统在内伊马克沙克-音叉分岔点附近的局部动力学行为.朱喜锋等[11]研究了一类含刚性约束两自由度冲击振动系统在低频时的颤碰行为.文献[12-15]研究了含刚性约束两自由度冲击振动系统基本周期运动的转迁规律,以及低频时颤冲击振动的产生机理.

在以往的研究中主要针对单纯刚性约束或弹性约束的单自由度或两自由度冲击振动系统进行研究,而现实机械系统中常常是具有这两种类型复合约束的系统.本文针对具有刚性及弹性复合约束的两自由度受迫振动系统,研究其低频动力学特性,并分析弹性约束刚度比对μk0系统冲击动力学特性的影响.

1 两自由度受迫振动系统的力学模型

系统无量纲化后的运动微分方程为：

(1)

(2)

(3)

两质块相互碰撞前后的瞬时速度可根据动量守恒确定

(4)

所引入的无量纲化参数为

(5)

系统经过无量纲化后,可以方便的确定部分参数的取值范围：μm∈(0,1),μk∈(0,1),μk0∈(0,1),μc∈(0,1),f∈[0,1].

两质块间的相互作用力满足：

(6)

2 系统低频特性研究

为了确定冲击振动系统的激振力周期数以及在各碰撞面的冲击次数,建立如下Poincaré映射：

(7)

在所建立的映射的基础上,对于约束A12和约束A2处的单侧碰撞面可以用符号p/n来描述其冲击振动的模式,其中n表示周期数(n=1,2,3,…),p表示质块和约束的冲击振动次数；对于双侧约束A1,引入符号n-z-q来描述其运动,其中z和q分别表示对于双侧约束左侧碰撞面和右侧碰撞面的冲击振动次数(z,q=0,1,2,3,…).

研究时选取无量纲化参数μm=0.5,μk=0.5,μc=0.5,ζ=0.1,R=0.8,δ1=0.6,δ2=0.4,μk0=0.7,f=0作为基准参数,考虑激振力频率ω变化时系统的动力学特性.图2是当激振力频率ω∈(0,2]时,系统的总体分岔图,可以看到当ω∈(0,0.883]时,系统主要在约束A12和约束A1处发生冲击振动,由于激振力作用在质块M1上,通过约束A12处质块M1和质块M2相互冲击振动带动质块M2运动,此时质块M2未与约束A2发生冲击振动.当ω∈[0.883,1.396]时,系统在三处碰撞面都发生冲击振动,图3是ω=1.0时系统的相图,质块M1在约束A1处左侧和右侧各发生一次冲击振动,质块M2在约束A2处发生一次冲击振动,两质块在约束A12处相互之间发生一次冲击振动.当ω∈(1.396,2]时,系统只在约束A1和约束A12处发生冲击振动.可见在中等频率范围时系统在三处约束处都会发生冲击振动,而在低频以及高频时则主要是在约束A1和约束A12处发生冲击振动.

在图2(b)中可以看到,系统在约束A12处碰撞面低频范围会发生具有粘滞特性的完整颤冲击振动,从式(6)系统发生粘滞运动的条件可以知道同时具有刚性约束和弹性约束的系统中,质块M1和质块M2发生粘滞时其相互之间的作用力N更为复杂.图4是当ω=0.2时系统的时间历程图,由分段函数f1(x1)可以知道当质块M1的位移|x1|≥δ1时,质块M1在约束A1处将受到弹簧所提供的弹性力,在图4(a1)中可以看到当ωt到达A点后,质块M1的位移量超过了约束A1右侧的间隙值δ1=0.6,此时质块M1将受到约束A1处弹簧力f1(x1)的作用,而此时质块M1和M2之间的相对位移量x1-x2正在逐步减小,但两者还未进入粘滞；当ωt越过B点之后,此时质块M1仍然受到弹簧力f1(x1)的作用,而质块M1和M2之间的相对位移量缩减为零,进入了粘滞运动状态；当越过C点之后,弹簧力f1(x1)的作用消失,但质块M1和M2在刚性约束A12处仍然保持粘滞运动状态,直到到达D点结束了粘滞运动状态.由此我们可以看到,当系统逐步进入粘滞运动状态的过程中,有弹簧所提供的弹性力的介入,系统仍然会进入粘滞运动状态,而当弹性力消失,系统不会立即结束粘滞运动状态,而是会继续保持粘滞运动状态一段时间.

3 弹性约束刚度比对于系统冲击振动特性的影响

考虑改变弹性约束刚度比μk0的参数值时,对于系统冲击振动特性的影响.在基准参数μk0=0.7时,这里分别考虑取较小值μk0=0.3和较大值μk0=0.9时的情况,激振力频率变化范围ω∈(0,1]选取.由图7(a1-a4)可以看到,当μk0=0.3时,系统在约束A1处主要冲击振动模式为：1-1-0,1-1-1运动；在约束A12处,4/1运动在ω≈0.45附近经Bare Grazing分岔出现了5/1运动的半环状周期窗口,随着ω的递减而消失.当ω进一步的减小,5/1运动经连续的Real Grazing分岔,冲击振动次数p逐次增加,最小冲击速度逐渐减小,逐步进入非完整颤冲击振动,当最小冲击速度减小到0进入具有粘滞特性的完整颤冲击振动；在约束A2处低频区域为无冲击振动的0/1运动,在中等频率范围出现了1/1运动.

由图7(b1-b3)可以看到,当μk0=0.9时,此时弹性约束处具有较大的约束刚度比,从而质块M1的运动范围将被约束A1限制在较小的范围,而约束A2处表现为无冲击振动,故而此处未绘制约束A2处的分岔图.在约束A1处,冲击振动的模式类型显著增多,并且在对于双侧约束A1左侧和右侧的冲击次数上表现出了强烈的非对称性,除1-1-1,3-3-3运动外,还存在2-3-2,2-4-2,1-2-1运动,在整个频率范围引入了较多的概周期运动和混沌运动,在超低频区域表现为1-z-0的单侧冲击状态.在约束A12处,亚谐运动,概周期运动,混沌运动的频率范围增大,基本周期冲击振动p/1经Grazing分岔向(p+1)/1转迁的规律被打破,随着ω的减小系统仍然能够进入具有粘滞特性的完整颤冲击振动,但Sliding分岔线已经消失,系统经过混沌运动而直接跃迁到完整颤冲击振动.

4 结论

研究了一类刚性及弹性复合约束的受迫振动系统的动力学模型,分析了复杂受力情况下的粘滞条件,对系统的低频动力学特性、分岔规律进行了研究,并分析了系统参数弹性约束刚度比μk0对于系统冲击振动特性的影响,得出了以下主要结论.

1) 复合约束条件下,系统约束在结构上具有强非对称性,激振力频率决定了系统与几处约束发生冲击振动.中等频率范围系统对三处约束处都会发生冲击振动,低频以及高频时则主要是在约束A1和约束A12处发生冲击振动.

2) 在系统逐步进入粘滞运动状态的过程中,有弹簧所提供的弹性力的介入,系统仍然会进入粘滞运动状态,而当弹性力消失,系统不会立即结束粘滞运动状态,而是会继续保持粘滞运动状态一段时间.

3) 系统在刚性碰撞面A12处,随着激振力频率ω递减,基本周期冲击振动p/1向(p+1)/1转迁的过程中,p/1运动经Real Grazing分岔导致冲击振动次数增加1次,直接进入稳定的(p+1)/1运动；Bare Grazing分岔导致p/1运动进入包含亚谐运动、概周期运动、混沌运动的转迁域,穿越转迁域后进入(p+1)/1运动.复合约束条件下由Bare Grazing分岔可能会激发半环状周期窗口.

4) 弹性约束刚度μk0取较小值时,系统具有较好的缓冲减振特性,弹性约束A1处主要冲击振动模式较为简单,主要包括：1-1-0,1-1-1运动,刚性约束A12处基本周期冲击振中夹杂了包含亚谐运动、概周期运动、混沌运动的转迁域范围减小；μk0取较大值时,系统具有较好的限位特性,质块M1的位移范围被约束A1限制在有限范围,导致在约束A2无冲击振动,约束A1处出现了较多的强非对称性的冲击振动模式,主要包括：2-3-2,2-4-2,1-2-1运动,刚性约束面A12处基本周期冲击振动p/1向(p+1)/1转迁的规律性被打破,同时嵌入了较多的混动运动.