对一道向量高考题的多解、溯源、探变

◇ 四川 汤丽萍

1 试题呈现

题目（2020年全国卷Ⅰ理科第14题）设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝_________．

该试题是一道以平面向量为载体，已知两向量和的模，求两向量差的模的试题．试题立意平中见奇、思路入口宽、解法灵活多样，既能很好地考查考生对基础知识、基本能力、通性通法的掌握情况，体现基础性的要求，又能考查综合运用多种数学思想的能力，如化归转化、数学分析、解决问题等，还能有效考查考生运算求解、推理论证和灵活选择解题策略的能力，体现综合性、创新性、应用性的要求，是一道面孔熟悉、质朴蕴奇的优质试题．

2 解法探究

分析1利用向量数量积运算和模的性质求解．

解法1因为a，b为单位向量，则|a|＝|b|＝1，所以，解得2a·b＝－1．则

点评

本解法属于通性通法，利用性质|a|2＝a2进行转化是求解的关键．

分析2利用平行四边形的性质:“平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和”，即

解法2由题意知|a|＝|b|＝1，又|a＋b|＝1，所以|a－b|2＝2（|a|2＋|b|2）－|a＋b|2＝4－1＝3，则

点评

本解法简捷、明快，特别适用于选择题和填空题，但理解、掌握所用的结论是关键．

分析3利用向量加法、减法运算的几何意义，从几何的视角求解．

解法3如图1，以a，b为邻边作平行四边形，由于|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，所以a，b及a＋b构成的三角形为等边三角形，所以．由余弦定理，得|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2|a|·

图1

点评

对多数向量问题来说，准确挖掘和运用向量几何意义能起到事半功倍的效果，体现了直观想象素养的运用．

分析4建立坐标系，利用向量的坐标运算求解．

解法4因为a，b为单位向量，不妨设a＝（1，0），a，b的夹角为θ，则b＝（cosθ，sinθ），所以

由|a＋b|＝1，得（1＋cosθ）2＋sin2θ＝1，解得．所以

点评

利用坐标法解决平面向量问题，实际上就是把抽象的向量问题转化为坐标运算来进行，体现了数学抽象和数学建模数学素养的运用．

3 源头追溯

源头1（人教A版《必修4》第108页A组第8题）已知|a|＝8，|b|＝10，|a＋b|＝16，则a与b的夹角θ＝________．

答案θ＝55°．

源头2（2012年新课标卷）已知向量a，b的夹角为45°，且，则|b|的值为_________．

解析

因为向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，所以

源头3（2014年全国卷Ⅱ）设向量a，b满足，则a·b＝（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．5

解析

由已知|a＋b|＝，|a－b|＝，得|a＋

b|2＝10，|a－b|2＝6，所以a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6．

两式相减，得a·b＝1，故选A．

通过上面的探究可以看出，在强调命题改革的今天，通过改编、创新等手段来赋予课本题或往年高考真题新的生命，已经成为高考命题的一种新趋势．因此，在学习的过程中务必要注意对教材习题和往年高考真题进行变式训练，要求注意探索变式、拓广成果，对解题思路进行内化、深化、探索、总结、升华．把握其实质，掌握其规律，规范其步骤．

4 同源变式

变式1已知向量b）·a＝2，则|a－b|＝__________．

解析

变式2已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，，则a与b夹角为（ ）．

A．30° B．45° C．60° D．120°

解析

由已知，（2a＋b）2＝3（2a－b）2，即

因为|a|＝1，|b|＝2，则a2＝1，b2＝4，所以8＋4ab＝3（8－4a·b），即a·b＝1．

设向量a与b的夹角为θ，则|a||b|cosθ＝1，即．又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°．故选C．

5 启示感悟

1）平面向量的数量积及其性质在平面向量中占重要的地位，在高考中也是常考的热点．平面向量的数量积主要用于解决有关向量模（长度）、垂直、向量的夹角等问题．求与向量模有关问题时，要注意等式a2＝|a|2的应用，这个等式是向量问题实数化的重要工具．另外，还常用到下列公式:

2）对典型的高考真题要进行多角度思考，实际上这是对这些题目的“二次开发”，即通过一道题明晰一类题．对典型试题，尤其是涉及核心知识内容的典型试题的剖析和思考更是必不可少的，通过对典型试题的灵活变式和多角度思考，展开问题的来龙去脉和知识间的纵横联系，让学生站在一定的高度去思考问题，突出数学本质，使学生的思维得到升华，使知识得以融会贯通．唯有如此，无论考题的构思多么新颖，学生也能以不变应万变．