解三角形中的最值与范围问题

◇ 江西 曾 伟

在高考数学中，解三角形中经常有两种题型，一种是三角形基本量的计算，如求角、边、面积等，属于基础常规题；另一种就是求最值或范围问题，相对前者而言，这类问题较难，学生不容易掌握．本文将从以下的例题和练习题中，寻求求解三角形中最值与范围问题的一般策略与方法．

1 解三角形中的最值问题

例1（2020年全国卷Ⅱ）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sinBsinC．

（1）求A；

（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值．

解析

（1）在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由正弦定理和已知条件得

由余弦定理，得

（2）方法1已知a＝3，由正弦定理及（1）得

方法2由a＝3，a2－b2－c2＝bc，得9＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤3，当且仅当b＝c时等号成立．又（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝9＋bc≤12，所以b＋c≤．因此△ABC周长的最大值为，当b＝c（即）时取得最大值．

点评

此题第（2）问考查△ABC周长的最大值，方法1根据正弦定理结合已知条件将三角形周长表示为关于角B的三角函数，运用辅助角公式，结合角B的范围求得周长的最大值，该方法较为常规，体现了高考试题的基础性与稳定性．方法2运用了基本不等式，因为a已知，所以求三角形周长的最大值即转化为求b＋c的最大值，最后转化为求bc的最大值，而bc的最大值可根据已知条件及基本不等式求得，该方法具有一定的技巧性，需要考生结合最终目标进行相应的转化．

例2在△ABC中，则AB＋2BC的最大值为________．

解析

方法1因为B＝60°，A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°，由正弦定理，得

所以AB＝2 sinC，BC＝2 sinA，所以

方法2设AB＝c，AC＝b，BC＝a，由余弦定理，得，所以a2＋c2－ac＝b2＝3，设c＋2a＝m，代入上式消去c，得7a2－5am＋m2－3＝0，由Δ＝84－3m2≥0，得，当时，符合题意，因此AB＋2BC的最大值为

点评

方法2是值得我们思考的，如果是求AB＋BC的最大值，那么可以完全照搬例1中的方法2，可是一旦变成求AB＋2BC，我们就需要另寻他法了．

例3（2016年江苏卷）在锐角△ABC中，若sinA＝2 sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是_________．

解析

方法1因为sinA＝2 sinBsinC，所以sin（B＋C）＝2 sinBsinC，两边同时除以cosBcosC，得tanB＋tanC＝2 tanBtanC，因为

设x＝tanBtanC－1＞0，

当且仅当x＝1（tanA＝4）时，等号成立，故tanA·tanB·tanC的最小值是8．

方法2由已知条件得tanB＋tanC＝2 tanBtanC，则

故tanAtanBtanC≥8，即其最小值为8．

点评

本题是2016年江苏卷填空题的压轴题，难度较大．方法1结合正切的诱导公式利用换元法将tanAtanBtanC化为的形式，其最值便一目了然．方法2用到了三角形中的恒等式tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC，再利用基本不等式得到最值，思路清晰，解法简捷．

2 解三角形中的取值范围问题

例4（2020年浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

（1）求角B；

（2）求cosA＋cosB＋cosC的取值范围．

解析

（2）由A＋B＋C＝π，得，由△ABC是锐角三角形，得由

得

故cosA＋cosB＋cosC的取值范围为

点评

此题解法与例1解法的方法1相似，需要注意的是△ABC是锐角三角形，则只有角的范围准确才能得到正确取值范围．

例5（2019年全国卷Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

解析

因为sinA≠0，所以．由A＋B＋C＝π，可得，故

（2）方法1由c＝1及，可知△ABC的面积．由正弦定理，得

由于△ABC为锐角三角形，故，由，知，所以，故，从而，因此△ABC面积的取值范围是

方法2（极限思想、极端原则）如图1所示，AB＝c＝1，，若△ABC为锐角三角形，则点C位于DE之内，故a＝BC∈（BD，BE），因为，所以

图1

由于△ABC的面积，因此其取值范围是

例6（2015年全国卷Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．

解析

方法1如图2所示，连接AC，设∠BAC＝α，则 ∠ACB＝105°－α．由正弦定理，可得由于α＜75°，且105°－α＜75°，得α∈（30°，75°），所以故

图2

方法2（极限思想、极端原则）如图3所示，延长BA，CD交于点E，过点C作DA的平行线交AB于点F．平移AD，当点A与点D重合于点E时，AB最长．在△BCE中，由正弦定理，得

图3

平移AD，当点D与点C重合，点A与点F重合时，AB最短．在△BCF中，由正弦定理，得，所以

点评

由例5和例6可知，在三角形中求取值范围时要尽可能地利用已知条件，当要求的式子能用角的三角函数表示时，仅需根据已知条件确定角的范围即可；当能用边长表示时，需要借助正弦定理将边化为角，才可以更好地求取值范围．同时，利用极限的思想、极端原则给该类问题提供了一种新的思路，方法较新颖，值得反思与推敲．

3 训练巩固

以下精选几道习题，供读者练习巩固，希望读者解决该类问题的思路与方法能得到更进一步的升华．

练习1△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，cosAcosBcosC＞0，则的取值范围是（ ）．

练习2△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为若a＋b＝4，则c的取值范围为（ ）．

A．（0，4） B．[2，4）

C．[1，4） D．（2，4]

练习3已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若c为最大边，则的取值范围是（ ）．

练习4若△ABC的面积为且∠C为钝角，则∠B＝________；的取值范围是________．

练习5△ABC的垂心H在其内部，∠BAC＝60°，AH＝1，则BH＋CH的取值范围是________．

练习6在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csinB＝3atanA．

（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．

练习7在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为

（1）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．

（2）求a＋c的取值范围．

解三角形中的最值与范围问题是高考数学的一类热点题型，几乎每年必考．通过以上的例题与练习题我们发现，解决该类问题的方法主要有统一化角，将问题转为三角函数值域问题，或是根据已知条件利用基本不等式求得最值．有时也需要用到极限的思想，通过考虑极端位置来确定取值范围．每种方法中都有需要注意的关键点，比如统一化角时一定要清楚角的范围，利用基本不等式时要注意等号成立的条件．通过此文，希望读者对解三角形中的范围与最值问题理解更深刻，思路更开阔，解题更灵敏．