2020年高考中的“三角”元素

2020-11-23四川尹大贵

高中数理化 2020年17期

关键词：边形圆弧周长

◇ 四川尹大贵

“三角”问题历来是高考考查的重点，高考中除了重点考查三角函数和解三角形等纯“三角”知识外，以“三角”为载体的数学问题或“三角”方法在解决数学问题中的应用，也常常被高考命题者青睐．本文以2020年高考试题为例，探究高考中的“三角”元素．

1 充要条件判断中的“三角”元素

例1（2020年北京卷）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（）．

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

当存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ时，若k为偶数，则sinα＝sin（kπ＋β）＝sinβ；若k为奇数，则sinα＝sin（kπ－β）＝sin[（k－1）π＋πβ]＝sin（π－β）＝sinβ．

当sinα＝sinβ时，α＝β＋2mπ或α＋β＝π＋2mπ，m∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ（k＝2m）或kπ＋（－1）kβ（k＝2m＋1），故存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ．

综上，“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充要条件．故选C．

点评

本题是以三角函数诱导公式为背景的充要条件判断问题，考查了充要条件的判断、三角诱导公式及分类讨论思想的运用．

2 图象判断中的“三角”元素

例2（2020年浙江卷）函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]的图象大致为（）．

解析

因为f（x）＝xcosx＋sinx，则f（－x）＝－xcosx－sinx＝－f（x），即f（x）为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，所以选项C，D错误；当x＝π时，f（π）＝π cosπ＋sinπ＝－π＜0，所以选项B错误．故选A．

点评

本题需先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x＝π处的函数值排除错误选项．函数图象的辨识可从以下几个方面入手筛选选项:1）利用函数的定义域，判断图象的左右位置；2）利用函数的值域，判断图象的上下位置；3）利用函数的单调性，判断图象的变化趋势；4）利用函数的奇偶性，判断图象的对称性；5）利用函数的特征点，排除不合要求的图象．

3 数学文化中的“三角”元素

例3（2020年北京卷）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2 π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（）．

解析

内接正6n边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，所以单位圆的内接正6n边形的周长为；外切正6n边形的每条边长为，其周长为，所以

点评

本题先计算单位圆的内接正6n边形和外切正6n边形的周长，再利用它们的算术平均数作为2 π的近似值得出结果，体现了三角函数应用的广泛性．

4 数学应用中的“三角”元素

例4（2020年新高考卷Ⅰ）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图1所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，，BH∥DG，EF＝12cm，DE＝2cm，A到直线DE和EF的距离均为7cm，圆孔半径为1cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．