解答2020年高考向量问题的几种思维方式

◇ 山东 张颖枭

向量是高中数学的重要模块，在各省市的高考试题中主要考查向量的模、夹角、共线、垂直以及数量积等运算，常以客观题的形式出现，题小但思维量不小．向量问题的求解中除了要有扎实的基础以外，还要掌握各类思维方式．本文选取2020年高考中出现的部分向量问题，就问题求解中所用到的思维方式进行分析．

1 平方思维

向量运算中的关系a2＝|a|2，实现了向量向数量的转化，因此问题中涉及向量的模的有关条件时可运用平方思维进行转化．

例1（浙江卷）设e1，e2为单位向量，满足，设a，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值为________．

解析

设向量e1，e2的夹角为φ，由，平方得

又a·b＝（e1＋e2）（3e1＋e2）＝4＋4 cosφ，所以

点评

本题求解中多次运用了平方思维，如cosφ，|a|，|b|的求解等．在求cosθ最值时，还运用了换元法及分离常数法．

2 基底思维

平面内不共线的两向量a，b，可表示任意向量c＝λ a＋μb（λ，μ∈R），则称向量a，b为一组基底．解题中借助基底思维可实现未知向量向已知向量及特殊向量的转化．

例2（江苏卷）在△ABC中，AB＝4，AC＝3，，点D在边AC上，延长AD至点P，使得AP＝9，若（m为常数），则CD的长度是________．

解析

图1

因为B，D，C三点共线，所以，解得．因为|PA|＝9，所以|PD|＝6，|AD|＝3．在，由余弦定理，得|AD|2＝|AC|2＋|CD|2－2|AC|·|CD|cos∠ACD，即，所以或0，经检验|CD|＝0也满足条件，此时点D与C重合．

点评

向量的合成与分解均符合基底的原理．本题的解题思路源于向量三点共线的结论，求解中运用了解三角形的基本理论．

3 坐标思维

向量的坐标运算是向量代数性的重要体现，通过建立平面直角坐标系将几何问题代数化，从而利用函数、方程的性质求解．

例3（山东卷）已_知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（ ）．

A．（－2，6）

B．（－6，2）

C．（－2，4）

D．（－4，6）

图2

解析

如图2，以正六边形的中心O为坐标原点，BE所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则

设P（x，y），所以

点评

坐标法是实现向量问题代数化的重要途径，得出关于数量积的二元式，进而可运用线性规划求解最优解的知识得出结论．

4 构图思维

图形是向量几何性质的直观体现，向量的加、减、数量积运算均有其图形解释．某些向量问题的解答过程中，若能结合已知条件巧妙构造相应几何图形，则可有效简化求解过程．

例4（上海卷）已知a1，a2，b1，b2，…，bk（k∈N）是平面内两两互不平行的向量，满足|a1－a2|＝1，且|ai－bj|∈{1，2}（其中i＝1，2；j＝1，2，…，k），则k的最大值为_______．___

解析

图3

由已知条件|a1－a2|＝1，根据向量减法运算的三角形法则，可知点A1在以A2为圆心、1为半径的圆上，或点A2在以A1为圆心、1为半径的圆上，如图3所示．

同理|ai－bj|∈{1，2}可转化为以向量a1，a2的终点A1，A2为圆心，半径分别为1和2的圆，则圆的交点即为满足题意的向量bj的终点，因此，满足条件的点最多有6个，故k的最大值为6．

点评

模为定值的向量，则其终点在以起点为圆心、模为半径的圆上．因此涉及模为定值的问题可构造圆，利用圆的相关性质求解．