向量形式的三角形内角平分线的性质及应用

王俊艳

【摘要】本文引用了向量这一工具，给出了向量形式的三角形内角平分线的三个性质，并举例说明了这三个性质在解题方面的应用.

【关键词】三角形；单位向量；内角平分线

一、向量形式的三角形内角平分線的性质

性质1 在△ABC中，BP是∠ABC的角平分线的充要条件为：存在正实数k，使得BP=kBA|BA|+BC|BC|.

性质2 在△ABC中，AD平分∠BAC，则|AB||AC|=|DB||CD|（即三角形内角平分线定理）.

性质3 若AD是△ABC中∠A的角平分线，则有

AD=|AC|·AB+|AB|·AC|AB|+|AC|.

二、相关应用

图1

例1 如图1所示，经过∠XOY的角平分线上的点A，任作一直线与OX和OY分别交于P和Q，求证：1OP+1OQ为定值.

证明 过点A作OA的垂线（唯一性）交OX和OY于R和S，则△ORS是等腰三角形，则有

2OA=OR+OS=|OR||OP|OP+|OS||OQ|OQ.

由于P，A，Q三点共线，所以|OR||OP|+|OS||OQ|=2，

而|OR|=|OS|（定值），

所以可得1|OP|+1|OQ|=2|OR|，即1OP+1OQ为定值.

图2

例1 如图2所示，△ABC中，D和E分别在AB和AC上，且BD=CE，M和N分别是BC和DE的中点，那么NM与∠A的角平分线AT平行.

证明 设DB=mAB，EC=nAC，

由BD=CE得

ABAC=nm=BTTC，

AT=AB+BT=AB+nn+mBC=AB+nn+m（AC-AB）

=mn+mAB+nn+mAC，

即有AT=mAB+nACm+n=DB+ECm+n=2NMm+n，

所以NM与AT平行.

例3 如图3所示，在△ABC中，AD为中线，AE为角平分线，EF平行CA交AD于F，求证：CF⊥AE.

图3

证明 由AE为角平分线及性质3可知

AE=|AB|AC+|AC|AB|AB|+|AC|.

由AD为中线可得AD=12（AB+AC），

又因为AC平行于EF，所以AFAD=CECD=2CECB=2ACAB+AC.

从而 AF=2ACAB+ACAD=ACAB+AC（AB+AC），

则有 CF=CA+AF=|AB|CA+|AC|AB|AB|+|AC|，

AE·CF=|AC||AB|+|AC|AB+|AB||AB|+|AC|AC ·

|AC||AB|+|AC|AB-|AB||AB|+|AC|AC，

则AE·CF=0，所以CF⊥AE.

三、总 结

本文通过对向量形式的角平分线的性质的研究，给出了其在解题方面的应用，可以看出运用角平分线的向量形式可以很好地解决与角平分线有关的几何问题，这就为我们解题带来了方便.

【参考文献】

[1]丁益民.角平分线的一种向量形式及其应用[J].数学通讯，2011（13）：19.

[2]黄浩志.利用“单位向量”特性破解一类数学问题[J].河北理科教学研究，2011（06）：11.

[3]玉邴图.向量与三角形的角平分线[J].高中数学教与学，2007（10）：11.