2019年北大自招第1题的多解及推广*

华南师范大学数学科学学院 (510631) 蒋红珠 内江师范学院数学与信息科学学院 (641100) 刘成龙 赵凤仪

该问题具有一定的难度、深度和广度，不偏不怪、解法多样、内涵丰富、数学味浓、不设陷进、可一般化，有助于学生加深知识理解、发展数学思维、完善认知结构、体验数学研究程式．因此，该试题是一个值得研究的问题．

一、问题解决

问题解决常常被看作是能动的、不断发展的过程，它是通过数学思维不断数学化的过程，是一个探索、发现、创新的过程[1]．本例从不同角度解决，有助于学生多角度理解问题，发展求异思维．

图1

图2

图3

图4

评注：从解答过程来看，问题对学生逻辑推理、数学运算、数学抽象、直观想象和数学建模素养的考查十分深刻．在推理和运算中，促进数学思维发展，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神．在数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养的考查中，引导学生不断提高运用几何图形解决问题的意识、提升数形结合的能力、感悟知识间的联系、理解数学的本质，从而培养创新思维．

二、问题推广

张景中院士指出：“推广是数学研究中极其重要的手段之一，数学自身的发展在很大程度上依赖于推广．数学家总是在已有知识的基础上，向未知的领域扩展，从实际的概念及问题推广出各式各样的新概念、新问题[2]．

分析1：从问题解决受到启发，“45°、90°”很特殊，如果将“45°”改成“60°”，结果会怎样呢？

图5

略解：如图5，S△BOA=

分析2：从问题解决受到启发，“45°、90°”很特殊，如果将“45°”改成任意锐角“α”，结果会怎样呢？

图6

略解：如图6，S△BOA=

分析3：从问题推广1中受到启发，“90°”很特殊，如果将“90°”改成“(0,π)”，结果会怎样呢？

图7

略解：如图7，S△BOA=

评注：推广1、2、3进一步扩大了问题研究的范围，呈现了比原问题更一般的问题，扩大了学生的视野，完善了学生的认知结构．

数学家波利亚指出：一个有责任心的教师与其穷于应付烦琐的数学内容和过量的题目，还不如适当地选择某些有意义但又不太复杂的题目去帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题的过程中，提高他们的才智与推理能力．文中所呈现的多解与推广正是通过对一个好的问题从不同层面反复、深入地剖析，实现学生领悟数学美、感受数学内涵、认识数学本质、优化认知结构的最佳方式．