基于问题链的数学教学实录与感想——以一道高考真题为例

广东省清远市第二中学 (511500) 汤华英

一﹑问题提出

《普通高中数学课程标准(2017年)》(以下简称《新课标》)指出:数学核心素养是数学课程目标的集中体现.数学学科的教学活动应通过具体的方式及载体，在学生掌握知识技能的同时，促进学生数学学科核心素养的形成和发展[1].那么，身为一线教师，在课堂教学中，要做哪些改变或创新，才能让数学核心素养落地生根，在《新课标》教学实施建议部分提出：基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境﹑提出合适的数学问题,引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养.可见，数学教学始于问题，可以将数学问题作为提升学生数学核心素养的一个切入点.本文以问题链为载体，对一道高考真题进行逆向﹑推广﹑类比，以期达到培养学生的数学核心素养之效.

二﹑教学片段实录

1.创设引入性问题

师：生1的解题思路明确，在计算之前，请同学们思考一个问题，根据韦达定理，把kPM+kPN转化为含k，b的代数式，要使这个代数式为0，该怎么处理？

生2：k是变化的，b是常数，根据题意应将k分离出来，得a与b的关系式.

师：很好.

生3：显然，当b=-a时，kPM+kPN=0，直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，即∠OPM=∠OPN，此时P(0，-a)符合题意.

师：上述三位同学解题思路清晰、严谨，运用代数法解决解析几何的问题，体现了圆锥曲线问题的通性通法，值得大家借鉴.

设计意图：以高考真题引入教学，学生比较感兴趣，用常规的方法解题，较好地落实基础知识、基本方法、基本技能.在求解过程中引导学生深刻体会把直线方程代入圆锥曲线方程后，若一元二次方程不好解，则应用韦达定理进行整体代换，培养学生的逻辑推理、数学运算等素养.

2.形成逆向问题链

师：一个数学问题不外乎由条件和结论所构成，如果交换问题1中的条件和结论，你可以提出怎样的问题？

学生独立探索3分钟后，开始有人举手示意.

师：生4用逆向思维的方法，把问题1的条件与结论互换，即把求点的坐标问题改编成证明两角相等问题，这是一个精彩的问题,谁能说说解这个题的思路吗？

生4：问题1与问题1-1一个是由因导果，一个是执果索因，根据问题1的解法以及逻辑推理中的充分必要性，条件与结论是充要关系.

课堂上一片欢呼，都赞同生4的观点.

师：生4利用逆向思维生成了新的问题并加以解决，我们平时学习时要不断感悟、锻炼、积累用逆向思维提出问题.

设计意图：逆向思维是与常规顺向思维方向相反的思维过程，引导学生用逆向思维的方法提出问题，帮助学生深化认识和理解，培养学生养成勤于思考﹑勇于探索的良好思维品质，有效地提高学生数学核心素养.

3.形成推广问题链

师：问题1是一个特殊抛物线问题，推广到一般抛物线方程结论还成立吗？

生5提出了新的想法.

师：生5是推广化思维，说说怎么解决你的问题？

生5：解法与问题1类似.

师：大家同意生5的说法吗？

学生一致同意，并解得：在y轴上存在点P(0，-a)，使得∠OPM=∠OPN.

设计意图：从特殊的抛物线出发推广到一般的抛物线，体现了由特殊推广到一般的数学思想，引导学生由简单到复杂，由感性到理性思考问题，不仅提高了学生解决复杂问题的能力，还有数学核心素养的熏陶.

4.形成类比问题链

师：抛物线、椭圆、双曲线是相近的曲线，问题1能不能类比到椭圆、双曲线？

生6：我猜想可以类比到椭圆、双曲线上.

师：说说你的猜想.

师：生6把问题1类比到了椭圆上，哪位同学解决？

师：很好，由于时间的关系，同学们课后思考类比到双曲线上的情况.

设计意图：在抛物线基础上进一步类比为椭圆、双曲线，让学生体会类比提出问题的思想方法，问题1-1、问题2、问题2-1的解法类似问题1，都是用设而不求的数学思想，让学生体会类比解决问题的思想方法.数学上的很多知识都是在类比中发生发展的，教学中应引导学生养成积极探索的科学品质，培养学生的创新思维.

5.课堂小结

师：这节课对一道高考真题进行了研究与拓展，同学们从中学到了什么？

生8：用代数法研究直线与圆锥曲线位置关系问题.

生9：用到了设而不求、整体代换、数形结合、转化与化归、函数与方程思想.特别是以问题链的形式对问题进行了推广、类比、逆向.

师：总结的比较全面，我们还可以看到在问题变化过程中，用推广、类比、逆向这些基本的思维方式提出问题、分析问题、解决问题，润物无声下，思维进一步升华.

6.课后作业

问题3-1 请仿照问题1对问题3以问题链的形式进行逆向﹑推广﹑类比.

三﹑教学感想

1.关注引入性问题的创设

引入性问题是先行组织者，先行组织者是美国教育心理学家奥苏伯尔于1960年提出的一个教育心理学的重要概念，是一种引导性材料.先行组织者是基于问题链课堂的关键，它应具有可拓展性，能形成有生命力的探究活动，又由于高中数学教学时间紧、任务重，先行组织者应要有预设性的指向，如文中的高考真题，生4交换了问题的条件和结论，生5将特殊问题推广至一般问题，生6把抛物线问题类比到椭圆上.前苏联心理学家维果茨基曾提出：教学必须走在发展的前面，促进学生的发展，这样的教学才是好的教学[2].教师平时要收集一些经典素材，积累引导学生主动思考问题的经验，促进学生数学核心素养的发展.

2.关注数学思维的培育

数学是思维的体操，纯粹的数学解题是数学学习的较低层次,更重要的是通过解题培养一般意义的数学思维.张奠宙先生说：“数学最大的特殊就在于它是思想材料”.对思想材料主要进行思维加工的心理活动，可见，数学教学活动就是学生在教师的带领下进行思维活动[3].通过对文中的高考真题的探索，生4设计了逆向问题链，生5设计了推广问题链，生6设计了类比问题链,这些都体现了数学思维方法在数学解题以及提出问题中的价值.教师要充分挖掘来自教材﹑作业等探究性资源，让学生形成逆向﹑推广﹑类比性思维框架，从而有力地提升数学核心素养.

3.关注知识的通性通法

通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法.数学问题可能是千变万化的，但运用的数学方法往往相同.如文中的高考真题将直线方程代入抛物线方程，整理成一元二次方程，利用根与系数的关系，设而不求等通性通法同样适用研究椭圆、双曲线.因此在问题链的教学中，要注重引导学生体验解决一类问题的通性通法，进一步提升学生的数学核心素养，达到数学育人的目的.