树立主线思维 例谈平面向量复习

广东省深圳市高级中学 (518040) 高 军

在平面向量高考复习过程中，树立主线思维，构建平面向量知识网络结构，形成数学解题基本思想方法和积累数学活动经验，进而在学习数学和应用数学这两个过程中发展数学学科核心素养.

1 问题呈现及变式探究

问题已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|+|a-b|的最小值是，最大值是.

分析：本试题是2020年我校高三一道数学理科调研试题，题干简洁，解法多样，内涵丰富.主要考查向量的线性运算与坐标运算，考查学生逻辑推理和数学运算核心素养.因为向量具有代数与几何的双重身份，所以问题的解决可以从这两条主线切入.

图1

评注：(1)向量融数与形于一体，在解决问题时，基底法与图形法从形(几何)的角度切入，坐标法与不等式法从数(代数)的角度展开.(2)从另外角度探究问题，由平行四边形性质易得|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)=10，设|a+b|=x，|a-b|=y，故原问题可转化为：

已知x2+y2=10(其中1≤x≤3，1≤y≤3)，求x+y的最值.这是我们非常熟悉的问题，有多种方法解决.

由此得到下列变式题，读者不妨试一试.

变式2 已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|-|a-b|的最小值是，最大值是.(答案：-2，2)

变式3 已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，则|a+b|·|a-b|的最小值是，最大值是.(答案：3，5)

2 复习思考

2.1 以代数与几何为主线，构建基础知识网络体系

在高三平面向量复习过程中，以代数与几何为主线构建平面向量知识网络体系，把握住“一组概念、两条主线、三个定理、四种运算、五类运用”，有利于学生更全面、系统掌握平面向量知识间的内在联系，也有利于培养学生主动学习、知识建构的能力.一组概念即向量、向量的模、零向量、单位向量、相等向量等向量基本概念；两条主线是指向量的几何和代数两种思维视角.三个定理指的是平面向量基本定理、共线向理定理、三点共线定理.四种运算指的是两向量的加法、减法、数乘、数量积.五类运用是指从代数与几何的视角来解决两向量的垂直、平行、向量的模、夹角、投影等五类问题.

2.2 以代数与几何为主线，形成平面向量基本解题方法

纵观近几年的高考试题，平面向量试题以客观题居多，考查内容聚焦平面向量基本概念与运算、平面向量的最值问题.另外，平面向量在三角函数、解析几何、函数不等式、立体几何等知识模块均有渗透，体现其工具性和思想性.

2.2.1 平面向量基本概念及其运算

图2

评注：平面向量的数量积是平面向量问题中的重点之一，基底法与坐标法是解决问题的通性通法.同时利用数量积可以解决与长度、角度、平行、垂直、投影等相关的问题.

2.2.2 平面向量中的最值问题

例2 已知向量a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a-c)·(b-c)=0，则|c|最大值是.

图3

图4

解析：如图4所示，由题意得O，A，B，C四点共圆，当OC为圆的直径时，则|c|取最大值为|OC|=2|OA|=2.

变式2已知平面向量a，b满足|a|=|b|=2，若存在单位向量c，使得(a-c)·(b-c)=0，则|a-b|的取值范围是.

图5

变式3 若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，(a-c)·(b-c)≤0，则|a+b-c|的最大值为.

图6

评注：平面向量中的最值与范围问题是热点与难点问题.此类问题综合性强，对思维能力要求较高.通常有两种思路：一是“数化”即利用平面向量坐标运算，建立变量的函数解析式，将问题转化为函数的最值与范围问题.二是“形化”即利用平面向量几何意义解决问题，上述变式题的解法体现了向量几何意义.

2.2.3 平面向量与其他知识的交汇

图7

评注：向量的模可以利用坐标来表示，也可借助“形”，这是两种不同的思维视角.作为中学数学的一个重要工具，向量成为联系各模块知识的桥梁，高三复习应在梳理基本知识的基础上，关注平面向量在其他知识模块的应用，渗透用向量来解决问题的思想方法.

2.3 以代数与几何为主线，发展数学核心素养

新课标指出，数学课程的目标首先要求学生在学习数学的过程中掌握“四基”，即数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.其次是在应用数学的过程中提高“四能”，即从数学角度发现和提出问题的能力，分析问题和解决问题的能力.进而在学习数学和应用数学这两个过程中发展六大数学学科核心素养.在平面向量复习备考中，从代数角度解决问题，重在发展学生数学运算、数学建模等学科核心素养.从几何角度解决问题，重在发展学生数学抽象、几何直观、逻辑推理等学科核心素养.数学核心素养如何在数学教学课堂落地生根，需要一线教师勤于思考、注重实践、持之以恒.