基于核心素养的极限化解题认知活动设计

福建省漳浦第一中学 (363200) 蔡长宝闽南师范大学数学与统计学院 (363000) 林新建

“极限化”是重要的解题策略之一，它是用无限逼近的方式从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想.极限化方法在数学中有重要的应用，它能帮助我们快速地解决某些问题.对于越复杂的数学问题，其解题思路越有可能由“极限化”而轻松获得.

“极限法好用，无限性难明”，学生为什么想不到运用如此简便的方法予以求解呢？原因就在于他们无法感知出问题中蕴含的无限性特征，所以没有办法将问题解答得如此轻松.为此，教学中教师应认真设计“极限化”认知活动，让学生经历问题无限性特征的认知过程，这个认知过程至少应该包括：这是不是一个蕴含“无限性”特征的问题？这个“无限性”特征体现在哪里？这个“无限性”特征给你的启示是什么？如何基于“无限性”特征将问题极限化予以求解？通过上述问题，学生充分经历问题的感知、表征、结构分析、寻找策略、形成计划、实施计划等认知活动和反思总结等元认知活动，感知出问题内蕴的无限性特征，以此不仅轻松将问题解决，同时有效地培养和发展起数学的核心素养.

本文以全国卷高考试题为例，就极限化解题认知活动的设计在培养和发展数学核心素养上的意义与作用作一阐释，以飨读者.

1.设计“逼近性”认知活动，发展数学抽象、直观想象素养

若问题中变量的取值具有逼近性的特征，即可无限逼近于某些值，则可运用极限方法将其极限化予以求解，可使问题获得轻松解决.

为此，教学中教师应认真设计“无限性”认知活动，让学生经历变量无限性特征的认知过程，这个认知过程至少应该包括：

问题1：由题设你能发现α与β的变化规律吗？

问题2：这个变化规律是什么？给你什么启示？

问题3：你能否根据这种启示，将问题轻松予以求解呢？

A．(1,10) B．(5，6) C．(10,12) D．(20,24)

解析：本题有一定难度，考生需要把握函数的图形特征及变形技巧方能将问题有效解决.其实，若能运用极限化方法解决，问题可瞬间获解，根本不用动笔.令a→1，则f(a)→0，f(b)=f(c)→0，从而b→1，c→12，abc→12，验证选项即知正确答案为C.

为此，教学中教师应认真设计“极限化”解题认知活动，让学生经历无限性特征的认知过程，这个认知过程至少应该包括：

问题1：由题设你能发现变量a、b、c之间的关系吗？

问题2：变量a、b、c的变化有规律吗？这个规律是什么？

问题3：这个规律给你的启示是什么？

问题4：你能否根据这种启示，将问题轻松予以求解呢？

通过问题1，引领学生“从数量与数量关系中抽象出数学概念及概念之间的关系”，即a,b,c之间是有关系的，b、c随着a的变化而变化；通过问题2，引领学生“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”，即变量的变化具有无限性特征，变量a可无限趋近于0，也可无限趋近于1；通过问题3，引领学生“从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题”，即无限性问题可以极限化予以求解；通过问题4，引领学生“借助直观感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题”，即令a→1，则b→1，c→12，由此知abc→12，验证选项即知正确答案为C.

通过实施上述活动，学生充分经历问题的感知、表征、结构分析、寻找策略、形成计划、实施计划等认知活动和反思总结等元认知活动，明了b、c随着a的变化而变化，同时a可无限趋近于1，由此想到可将变量a极限化予以求解.

在以上活动中，学生“从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出变量与变量之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”，进而“借助直观感知事物的位置关系、形态变化与运动规律，利用图形理解和解决数学问题”，在这个过程中，无疑，数学抽象、直观想象等核心素养得到了较好地培养和发展.

2.设计“趋向性”认知活动，发展逻辑推理、直观想象素养

若问题中的参数具有变化的趋向性特征，即它的变化可趋于+∞，也可趋于-∞，则可运用极限方法将其极限化予以求解，可使问题获得轻松解决.

例3 (2013年高考新课标卷Ⅱ理科12题)已知点A(-1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( ).

为此，教学中教师应认真设计“极限化”解题认知活动，让学生经历变量无限性特征的认知过程，这个认知过程至少应该包括：

问题1：由题设你能发现变量a的变化有规律吗？

问题2：这个规律是什么？这个规律给你的启示是什么？

问题3：你能否根据这种启示，将问题轻松予以求解呢？

通过问题1，引领学生“从数量与数量关系中抽象出数学概念及概念之间的关系”，即a、b之间是有关系的，b随着a的变化而变化；通过问题2，引领学生“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”，即变量a的变化具有无限性特征，它可无限趋近于0，也可趋于+∞；通过问题3，引领学生“借助直观感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题”，即令a→0与a→+∞求解问题.

通过实施上述活动，学生充分经历问题的感知、表征、结构分析、寻找策略、形成计划、实施计划等认知活动和反思总结等元认知活动，明了变量a的变化具有无穷趋向性的特征，它可无限逼近于0，也可无穷趋于+∞，因此若运用极限方法予以求解，可轻松将问题予以解决.

在以上活动中，学生“从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题”，进而“借助直观感知事物的位置关系、形态变化与运动规律，利用图形理解和解决数学问题”，在这个过程中，无疑，逻辑推理、直观想象等核心素养得到了较好地培养和发展.

3.设计“趋近性”认知活动，发展直观想象、数学运算素养

若问题中动点具有运动的无限趋近性特征，即它的运动可无限趋近于某个点或某个位置，则可运用极限方法将其极限化予以求解，可使问题获得轻松解决.

例4 (2003年全国卷理12题)已知长方形的四个顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)和D(0,1)，一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4,0).若1

为此，教学中教师应认真设计“极限化”解题认知活动，让学生经历动点的无限趋近性特征的认知过程，这个认知过程至少应该包括：

问题1：由题设你能发现动点P4的运动有规律吗？

问题2：这个规律是什么？这个规律给你的启示是什么？

问题3：你能否根据这种启示，将问题轻松予以求解呢？

通过问题1，引领学生“从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构”，即点P4的变化具有无限逼近性特征；通过问题2，引领学生“借助直观感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题”，即点P4可无限趋近于P0，也可无限趋近于点B；通过问题3，引领学生“选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果”，即令P4→P0求解问题.

通过实施上述活动，学生充分经历问题的感知、表征、结构分析、寻找策略、形成计划、实施计划等认知活动和反思总结等元认知活动，明了动点的运动具有无限趋近性的特征，它可无限趋近于P0，因此若运用极限方法予以求解，可瞬间将问题予以解决.

在这个活动过程中，学生“借助直观感知事物的位置关系、形态变化与运动规律，利用图形理解和解决数学问题”，进而“选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果”，将运算简化到极致，无疑，直观想象、数学运算等核心素养得到了较好地培养和发展.

数学素养是一种内在的思维品质和能力，它很难直接地被观察，只有将这种内在的思维品质和能力转化为外在的行为时，教师才能观察到学生数学素养形成和发展的情况.教师在教学设计时，要将数学素养同具体的情境与问题相连，通过创设不同的模型认知活动，让学生在日积月累的数学学习中，不断地进行“数学认知”，积累数学活动的经验，才能切实有效地培养起数学的核心素养.