解析建模思想下的初中数学应用题教学

顾秋波

【摘  要】应用题作为中招考试中的必考题型，占据较大的分值比例，对于学生来说是难度较大的一类题目，教师要高度重视应用题教学，指导他们在建模思想下分析和解答题目，形成新颖、正确的解题思路，从而提高解题效率，对其后续学习与成长来说有着积极意义。

【关键词】建模思想  初中数学  应用题教学

数学建模指的是依据特定研究目的，运用数学语言和方法抽象、简化表现出研究对象的主要特征，像不等式、函数、方程、关系式、代数式，及各种图形、图表等均属于数学模型。在初中数学教学中，应用题是用语言或文字叙述有关事实，反映某种数量关系，且求解未知数量的题目，教师可引领学生运用数学模型分析应用题，提升他们解决实际问题的能力。

一、贴近学生生活实际，树立数学建模思想

现代教育注重学生全方位的均衡发展，强调把所学知识与技能应用至现实生活中，应用题主要表现为数学在生活中的实践应用，使其认识到数学的价值，也能考察他们的知识水平和应用能力。在建模思想下的初中数学应用题教学中，教师需尽量选取贴近学生生活实际的素材，创设真实的解题情境，使其快速进入到学习状态，活化思维和深入思考，让他们结合熟悉的生活现象开始构建数学模型，从建模思想角度思考与解决应用题，树立建模思想。

例如，在教学“用一元一次方程解决问题”过程中，教师设置应用题：一杯糖水的重量是250克，其中含糖量是15%，要想让糖水的含糖量上升至20%，需要加多少克糖？解析：在处理这道应用题时，教师可以在课堂上把生活中常见的素材——白糖与水直接呈现出来，在学生面前演示：配置浓度为15%的白糖水，依据题意继续添加白糖，要求他们思考：要想将白糖水的浓度变成20%，到底需要添加多少克白糖？使其将白糖的质量设为未知数x，得出关于x的一元一次方程：后续添加白糖质量再加上水中本身含有15%的白糖质量，等于总白糖水中白糖的质量，即占20%，据此构建方程模型。具体解答如下：设需加入x克白糖，得出方程x+200×15%=20%×（200+x），x+30=40+0.2x，0.8x=10，解得x=12.5，所以需添加12.5克白糖。

在上述案例中，教师利用生活素材营造真实的应用题情境，使学生直观形象地看到题目中的数学对象，焕发他们主动建立数学模型的意识和动力，最终构建出相应的数学模型。

二、熟知多种数学模型，灵活应用解决问题

在具体的初中数学应用题教学中，不少教师迫于考试压力通常喜欢采用题海战术，对建模思想的研究缺乏深入，以至于学生只会纯粹地解题，难以掌握有效的解题技巧，影响他们的解题质量。上文已经提到数学模型是多种多样的，常见的有三种，即为几何图形模型、函数模型和方程（组）模型。在初中数学应用题教学中，运用建模思想的关键在于学生对常见熟悉模型的熟知程度，只有他们熟悉这些数学模型，在解决应用题时才能做到灵活运用。

在“用一次函数解决问题”教学实践中，教师设计应用题：某服装厂有A布料70米，B布料52米，现计划生产M、N两种服装共80套，生产一套M服装需A布料1.1米，B布料0.4米，利润是50元，生产一套N服装需A布料0.6米，B布料0.9米，利润是45元，生产M服装多少套时所获取利润最大？是多少？解析：学生应先找到已知与未知条件，将M服装的套数设为x，利润是y元，辅助他们构建一次函数模型，先得出解析式：y=50x+45（80-x）=5x+3600，因为M、N两种服装共用A种布料[1.1x+0.6（80-x）]米，B种布料[0.4x+0.9（80-x）]米，然后求出x的取值范围为40≤x≤44，且x是整数。由于y随x的增大而增大，当x=44时，y最大=44×5+3600=3820，则当生产44套M服装时利润最大，为3820元。

上述案例，函数模式是应用题中较为常见的一种模型，虽然题目种类变化多样，只要学生熟知多种数学模型就能掌握解题的本质，就能够把题目快速解答出来，且可以灵活运用。

三、掌握不同建模方法，提高课堂解题效率

在初中数学应用题教学过程中，不同类型的应用题所对应的数学模型也不同，产生的解题效果同样有所差异。初中生熟知多种常见的数学模型是基础，还需掌握不同的建模方法，借此简化问题、构建模式与深化知识，确保答案准确。对此，初中数学教师应帮助学生掌握建立数学模型的正确方法，先认真审题读懂题意，找出题目中的关键性词语，转变成数学符号与语言，再建立相应的数学模型，并帮助他们掌握多种建模手段，最终提高解题效率。

比如，在进行“圆锥的侧面积”教学时，在半径为40米的圆形广场中心上空设置一个照明光源，让它射向地面的光束为圆锥形，其中轴截面顶角为120°，且可以让光源辐射整个广场，那么光源的高度最低为多少米？面对这一应用题时学生首先要做的是认真审题，从中提取关键词“圆锥形”“顶角120°”“最低高度”，由此构建一个圆锥形的模型，给出的条件是轴截面120°，所求的是底面半径是40米的圆锥的高度，然后他们对这些信息进行整理与归纳，从而清晰又准确的抓住题意。解答：假设圆锥的顶点为A，底边为BC，由于圆锥的轴截面顶角为120°，在三角形ABC中，角A为是轴截面顶角的一半，即为60°，角C是90°，底BC是40米，求高AC的长度，则AC=40÷ ，约等于23.1米，那么該光源的最低高度应为23.1米。

针对上述案例，教师指导学生通过认真审题准确理解题意，理清应用题中复杂的数量关系，使其更快、更准确的建立数学模型，训练他们建立模型的方法与技巧，从而高效解题。

总之，在初中数学应用题教学活动中，教师需意识到建模思想的特殊作用，尽可能选择贴近学生生活实际的素材，焕发建立数学模型的意识，使其熟知和掌握多种建模方法，提高解决应用题的速度与准确性，让他们更好的解决实践性题目。

【参考文献】

[1]. 谢瑶谋.  数学建模思想在初中数学教学中的应用研究[J]. 课程教育研究. 2019（37）

[2]. 张华富.  数学建模专题复习教学初探[J]. 中国数学教育. 2019（Z3）