如何在高三数学二轮复习中培养学生的审题能力

张强

[摘  要] 学生面对新颖问题束手无策、忘记分类讨论、忽略隐含条件、答而不全等现象在历年高考中屡见不鲜，教师在高三数学二轮复习阶段一定要侧重审题教学，帮助学生学会“三审”“三挖”“三思”，并因此提升学生的解题准确率.

[关键词] 审题能力;深思辨误;迁移转化;挖掘内涵

身经百战的高三学生在最后的高考中总会发生一些令人意外的解题错误，面对新颖问题束手无策、忘记分类讨论、忽略隐含条件、答而不全等现象屡见不鲜. 造成这些错误现象的一个重要原因就是学生的审题能力不足.作为解题开端的审题环节也是解题的关键，一些高三数学教师在识题、认题、审题教学环节上的忽视导致了很多解题错误的发生. 教师在高三数学二轮复习阶段一定要侧重审题教学，帮助学生学会“三审”“三挖”“三思”，并因此提升学生的解题准确率.

“三审”包含了审命题含意、审关键词句、审纵横联系这三个方面的内容.“三挖”包含了挖参数所含的制约条件、挖问题中的隐含条件、挖解题突破口这三个方面的内容. “三思”则包含了思考查的知识范畴、思考查的思想方法、思解题规范性标准与要求这三方面的内容. 学生在审题中自觉做到“三审”“三挖”“三思”能帮助其有效减少常规性错误.

那么高三数学二轮复习中又应该怎样落实审题教学呢？笔者结合以下案例进行一一阐述.

深思辨误

很多数学高考题在表述上表现得尤其新颖灵活，烦琐的计算或推理在此类题目并无立足之地，学生只要真正理解题中涉及的概念就能很好解题，因此审题中进行仔细的辨误深思和理解是必须的.

案例1：设函数y=lg（ax2+2x+a），其中a∈R.

（1）若f（x）的定義域是R，则实数a的取值范围如何？

（2）若f（x）的值域是R，则实数a的取值范围如何？

（3）若f（x）在[-1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围如何？

笔者在教学时有意识地将上述三个问题组合成了题组，引导学生进行深思辨误并完善已有的认知结构以促进其思维深刻性的发展.

上述三个问题的题意清楚，学生在审题时应看清隐含条件并正确理解题意.

第一问：定义域是R表达了什么意思？这对于学生来说很简单，定义域是R也就意味着，当x取遍一切实数时其真数恒为整数. 学生很快想到，令ax2+2x+a>0恒成立，则a>0，Δ<0？圯a>1.

第二问：f（x）的值域是R表达了什么意思？在笔者的多次试验中，学生在此问上基本都会犯一样的错误.很多学生并不认为第一问和第二问是有差别的，这正是审题教学中值得学生辨思的地方，事实上，值域是R意味着该真数能取到所有正实数，那么真数又在什么时候能够取到所有正数呢？学生错解一般如下：a>0，Δ≥0？圯0

第三问：怎么做能令f（x）在[-1，+∞）上递增？学生很清楚，设t=ax2+2x+a，则y=lgt. 因为y=lgt为增函数，因此要使y=lg（ax2+2x+a）在[-1，+∞）上递增，只需t=ax2+2x+a在[-1，+∞）上递增，因此只要二次函数t=ax2+2x+a开口向上，对称轴小于或等于-1即可.

所以a>0，-■≤-1，即a>0，0

这一解法是不对的，请学生在反思中重新审题并探究错因，学生辨误深思并挖掘隐含条件后很快发现，字母系数a∈R，因此前两问应对a是否为零进行讨论. 而第三问的解决又必须对“单调区间必须为定义域的子集”这一隐含条件进行挖掘.

迁移转化

很多高考试题粗看时便能看到其中的知识点，但联系这一知识点解题却又很难，而且解题时并不需要什么特殊技巧，这类题是对学生知识迁移转化能力的考查，学生必须在审题中展开联想并进行转化、化归，由此顺利实现解题.

案例2：已知a>0，a≠1，函数f（x）=loga（x-ak）-loga2（x2-a2）至少有一个零点，则实数k的取值范围如何？

在此题的审题教学中可以设置如下问题：

（1）“函数f（x）至少有一个零点”应怎样转化？

（2）底数a和a2应怎样统一？

（3）可以在命题的表述中挖掘到哪些隐含条件？

引导学生展开联想并进行解题突破的探索，使学生在开辟解题途径的过程中发现以下转化方法.

解法1：f（x）有零点，即方程loga（x-ak）-loga2（x2-a2）=0有解，即x-ak>0，x2-a2>0，loga（x-ak）=loga2（x2-a2），？圳x-ak>0，x2-a2>0，（x-ak）2=x2-a2，？圳x>ak，2kx=a（1+k2），a>0且a≠1.

当k=0时，解集是■.

当k≠0时，x=■>ak？圯■>k？圳k<-1，或0

满足x>a，或x<-a.

因此k的取值范围为（-∞，-1）∪（0，1）.

解法2：函数f（x）有零点，即方程loga（x-ak）=loga■有解，即x-ak>0，x-ak=■，有解，问题转化成函数y=x-ak（x>ak）和y=■（x≠±a）的图像有交点，观察图1可知，有解的条件为ak<-a，或0

■挖掘内涵

从数学学科整体知识结构与思想体系所设计的一些高考试题往往深含数学内涵，审题时必须从多角度挖掘命题的内涵，由此寻得正确的解题方向.

案例3：已知数列{an}的首项a1=■，an+1=■，n∈N*.

（1）求{an}的通项公式;

（2）证明：a1+a2+…+an>■.

学生基本上都会从条件an+1=■入手进行转化并解决第一问，化成■=■+■后展开联想，把上式转化成下述形式：■-■=2·3n或■-1=■·■-1，求得an=■.

学生在第二问的思考中会先求和a1+a2+…+an，然后证明，有的学生会联想数学归纳法进行. 但这两种方法都显示出了较强的技巧性与难度，因此，教师可以引导学生对命题的内涵进行深入挖掘并揭示其本质，继而获得更为简捷的方法. 设问：左右两边分别是什么？（{an}的前n项和与■）. 引导学生将■看成某数列{bn}的前n项和Sn并把问题转化，根据Sn求出bn后比较an和bn的大小，使学生能够直观地看清问题的内涵并获得简捷的方法：

令数列{bn}的前n项和Sn=■，根据公式bn=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2，

可得bn=■=1-■.

又因为an=1-■，因此证明3n>2n2+2n-2即可.

事实上n=1，2时原不等式显然成立，n≥3时，3n=（1+2）n≥1+C■×2+C■×4+C■×8=1+2n2+■≥1+2n2+■>2n2+2n-2，得证.

学生阅读能力的培养是新课程尤为专注的一个教学目标，近年来的高考试题也呈现出了立意高、思路宽、情境公平以及语言化程度高的显著特点，这都需要考生必须具备较强的阅读理解能力、转化能力、表达能力，最终在高考中获得令人满意的数学成绩.由此可见，培养学生的审题能力在高三数学二轮复习教学中是极具战略意义的.