借题发挥，提升能力

巩松

[摘  要] 在培养学生解题能力，提升思维能力的大背景下，避免陷入高考前的就题论题式的低效试卷讲评模式，笔者充分借题发挥，做了一些新的尝试：借题诊错，巩固提升;借题剖析，提炼规律;借题优解，拓宽思路.

[关键词] 高三数学;试卷讲评;借题发挥;能力

试卷讲评课是高中数学教学中的一种重要课型，是高三复习课的“主旋律”，其根本目的在于有效纠错、巩固知识、促进反思、提升能力，它的成效直接影响着学生的备考效率，是提高高三教学效果的重要环节之一. 因此，提升高三复习卷的讲评实效性是非常必要的. 高考中数学试题大多形式新颖、创新性较强、选拔要求高，倘若试卷讲评跳不出试题本身，仅仅论题式讲解，则无法调动学生的学习积极性，讲评效果不尽人意;倘若能借题发挥，借机对试题进行归纳、整理、补充和拓展，则可以延伸学生的知识体系，最大限度地发挥试卷讲评的功能，提升教学效率. 下面，笔者就高三数学复习中的“借题发挥式”试卷讲评谈谈自身的一些策略，与同仁探讨.

借题诊错，巩固提升

试卷讲评首先需研究学生的错误，并将错误视为认识过程和认识学生的一种重要手段. 考试的目的并非仅仅为了考查学生的分数，更为重要的是透过分数发现学生解题中林林总总的问题，有效诊断错误，揪出出错的原因，以达到增强免疫力和提升解题能力的双重效能.

例1：已知数列{an}中，a1=4，且前n项的和Sn=6-2an+1，求an.

解析：本题在解决的过程中，不少学生无法揭示问题的本质，从而得出以下错误解法：据an=Sn-Sn-1，可得■=■，则{an}为等比数列，所以an=4×■n-1. 这种错误源于什么呢？试卷讲评中的纠错讲究无非就是“瓜熟蒂落”，学生自然天成地找寻到出错的根源，并自我纠正. 教师需要做的仅仅是点拨和诱导学生的数学思考. 经过稍加提点，学生易想到■=■中n≥2仅可说明■=■=■=…=■，却无法说明■=■. 因此，得出如下正确解法：据a1=S14=6-2a2a2=1，所以■=■≠■，所以a■=4，n=1，■，n≥2.

点评：以本题为指引，帮助学生查找病因，让学生明晰“证明一个数列是否为等比数列，需充分关注下标”，从而将错误根源彻底挖掘出来，充分认识到“问题背后的故事”. 问题解决到这里并没有结束，执教者为了充分发挥这一典型错误的功效，借助类似变式习题加以巩固. 在巩固练习的过程中，真正意义上达到共同免疫之功效，提升学生的解题能力.

借题剖析，提炼规律

明晰方法和规律是提升解题能力的必要条件，所以提升学生的解题能力，首先要让学生深入题目深处总结归纳，提炼规律，规律是解题的细胞，而要掌握方法和规律我们必须从基础入手. 在试卷讲评中，如果能一道习题延展开来，引发学生的总结归纳，提炼规律，优化解题方法，达到事半功倍之功效.

例2：已知椭圆■+■=1的焦点为F1，F2，试求出以F1，F2为焦点，并与直线x+y-6=0有交点的长轴最短的椭圆方程.

解析：本题可以通过以下一般性方法解题：首先，求出椭圆的焦点F1（-2，0），F2（2，0），得出所求椭圆方程的焦距为4;再设所求椭圆的方程为■+■=1（a2>4），并与直线方程联立方程组，可得关于x的二次方程;要保证直线与椭圆有公共点，则需满足Δ≥0，即可求出a的范围，进而得出满足题意的a的值. 事实上，本题还可以充分利用数形结合的思想方法探究，簡化解题思路. 于是，在讲评本题时，笔者引领学生分析以下问题：

问题1：在直线l：x+y-2=0上找出一点P，使得点P到点A（-3，0），B（3，0）的距离之和最小;

问题2：在直线l：x+y-2=0上找出一点P，使得点P到点A（-1，0），B（1，0）的距离之和最小;

问题3：在直线l：x+y-2=0上找出一点P，使得点P到点A（-1，0），B（1，0）的距离之差的绝对值最大;

问题4：在直线l：x+y-2=0上找出一点P，使得点P到点A（-3，0），B（3，0）的距离之差的绝对值最大.

在完成以上练习后，进一步引导学生归纳总结，充分理解这一类题目的本质，找寻到解决“直线上一点到两定点的距离之和的最小值和距离之差的绝对值的最大值”的方法. 最后，再给出相应的变式训练，进行巩固训练，才能让学生真正打通思维，建立思想，形成能力.

教师在讲评课堂中主导作用的发挥，在很大程度上体现在“引领总结提升”的水平上. 例2中这样的探究历程，其立意就是让学生在总结中提炼规律，应该说通过充分的训练和多角度的探究，使学生看清这一类题的全貌，将这类知识的解题方法和思路变成“集成电路”印在学生的脑海中，从而达到随时提取之效果，有效提高了学生对此类问题的求解能力.

借题优解，拓宽思路

在试卷讲评中探究“一题多解”，不仅可以达到巩固旧知和触类旁通的效果，还能实现“虽解一题，实解多题”的效果，有效拓宽学生的解题思路，找寻到优化解题的思路和方法，培养学生的思维能力和创新能力.

例3：如图1，AB为沿着西湖南北方向的一条道路，点P为西湖上的一个观光处，点Q为停车场，且PQ=5.2 km. 一旅游团在观光处游览完后，搭乘游船回到停车场Q. 已知游船以13 km/h的速度沿着方位角θ的方向行驶，sinθ=■，而当游船离开观光处3分钟后，因事耽误未赶上游船的游客小红为了及时赶到停车场Q与旅游团其他游客会合一起回酒店，当即决定租用一条小船到达道路M处，再乘坐出租车赶到停车场Q（设小红到达道路后可以立即乘到出租车）. 设小红乘小船行驶的方位角为α，出租车的车速为66 km/h.

（1）设sinα=■，则小船的速度为多少时，小红才能与其他乘客乘坐的游船同时到达停车场Q？

（2）假设小船的速度为10 km/h，试为小红设计小船行驶方位角α，当角α的余弦值是多少时，小红能按计划在最短时间内达到停车场Q？

解析：由于第（1）问较为简单，具体解析过程略. 在讲评第（2）问时，学生展现了多种思路的精彩场面.

解法1：令t′=■=0，得cosα=■，所以当cosα∈0，■时，t（α）单调递增;当cosα∈■，1时，t（α）单调递减. 又y=cosα在0，■上单调递减，所以当cosα=■时，t取得最小值，小红可以按照计划以最短时间到达停车场Q.

解法2（换元法）：令x=cosα，则t=■+■，令t′=■=0，得x=■. 所以t在■，1上单调递增，在0，■上单调递减，所以t在x=■，即cosα=■时最小.

解法3（数形结合）：t=■-■×■. m=■表示点0，■与（sinα，cosα）连线的斜率，当过点0，■的直线与圆x2+y2=1相切时，直线的斜率取得最值. 设直线的方程为y=kx+■，则■=1，k2=■，所以■= -■=■，cosα=■，所以当cosα=■时，t取得最小值.

解法4（基本不等式）：令m=tan■∈（0，1），则t=■+■=■+■=■+■+■≥■+2×■×■. 当且仅当19m2=14，即m=■时取得“=”，即cosα=■=■时取得“=”，所以当cosa=■时，t取得最小值.

如上例，讲评中把探究和展示的权利百分之百地还给学生，把发现简捷解法的权利堂而皇之地让给学生，让学生在展示四种求值域方法的同时切身感受到别人的分析过程，让学生的思维在多角度的认识中不断地深入和发散，从而有效地拓宽解题思路，优化解题路径.

总之，对于一节试卷讲评课而言，借题发挥是上好讲评课的前提. 一节高质量的讲评课离不开教师的精心准备，选其经典，择其要点，有效讲评;在讲评的过程中，我们需找准学生的“最近发展区”借题诊错、借题剖析和解题多解，不要就题论题，更不要纠缠于一种解法，而是要引导学生通过思考、探究、剖析、反思等环节，延伸发散，优化解法，达到触类旁通的效果，有效提升学生的能力.