例谈学生抽象素养的培养

王国军

[摘  要] 文章从概念课、命题课、习题课的教学角度谈学生抽象素养的培养.

[关键词] 抽象素养;培养;教学策略

普通高中数学课程标准修订组指出：数学核心素养是具有数学基本特征的、适应个人终身发展和社会发展需要的人的思维品质和关键能力. 高中阶段核心素养包括“数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析”. 不少专家学者对核心素养的内涵、特征和价值做了很多高层次的诠释. 而一线教师思考更多的是实践层面的操作问题.

以数学抽象为例. 2017版课程标准中如下表述：数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养. 主要表现为，获得数学概念和法则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系.通过高中数学的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.下面结合具体的案例，从常见的三种课型：概念课、命题课、解题课的教学角度，谈抽象素养的培养，不当之处，敬请斧正.

从具体的教学情境中抽象出数学概念和法则？摇

基于核心素养的教学活动应当把握数学的本质，创设合适的问题情境、提出恰当的数学问题，引发学生思考与探究，形成和发展学生的数学核心素养.

案例1 幂函数的教学设计

师：在ab=N（a>0，a≠1）中，已知底数a不变，（1）当指数b变化时，幂N随之变化，称N是b的指数函数，记作y=ax（a>0，a≠1）;（2）当N变化时，b随之变化，称b是N的对数函数，记作y=logax（a>0，a≠1）.

问题情境1：在ab=N（a>0，a≠1）中，已知指数b不变，随着底数a的变化，幂N也随之变化，那么，N是a的什么函数呢？

问题情境2：观察下列函数并回答问题：

y=x，y=x2，y=■，y=2x，y=■■，y=x■，y=x-2，y=x3.

（1）上述函数中，哪些是你熟悉的？分别是什么函数？

（2）如果将它们分类，你准备怎么分类？（要先确定分类的标准，如可以按照指数或底数的特点）

（3）最后三个函数能和前三个函数归属同一类吗？为什么？

（4）这类函数有什么共同的特点？（底数都是自变量x，指数不同）

（5）你能否用一个式子来表示这类函数？

（6）我们把这类函数称为幂函数，仿照指数函数和对数函数的定义，请你给出幂函数的定义.

（7）所给函数中，哪些是幂函数？为什么？

（8）请你们讨论幂函数的定义域.

（9）作出所给幂函数的图像，观察它们的特征和规律，说出幂函数的性质.

从学生认知的先后顺序，可以将数学抽象分为感知与识别、分类与概括、想象与建构、定义与表征、系统化与结构化等5个阶段.上述问题中，（1）是让学生感知和识别，（2）至（5）让学生分类与概括，（6）（7）是定义和表征，（8）（9）是想象、建构并使知识系统化.

从数学概念与概念之间、事实与事实之间抽象出数学关系和定理

众所周知，无论是数学概念的产生还是数学定理的发现，都源于数学的一个核心——问题. 毫无疑问，数学定理课的教学也应当围绕问题展开. 定理是怎么发现的？它蕴含了哪些规律性的东西？它能解决什么问题？如果教师不能通过对问题的不断分析引导学生发现定理证明的数学思想，显然违背了数学育人的宗旨.

案例2 余弦定理的推导过程

1. 提出研究任务

前面我们学过了正弦定理.那么，有没有余弦定理？如果有的话，又是怎样的形式呢？能解决什么问题呢？今天我们就研究这个问题.

2. 制定研究策略

在本环节教学中，先让学生谈自己的想法. 但要让学生自己独立制定出一个解决问题的完整策略是非常困难的，这时必须有教师的适时引导. 余弦定理的推导方式很多，教材中是用向量法推导的. 学生不易想到. 那么教师该如何引导呢？

启发1：从正弦定理的形式看，它反映的是三角形的边与所对角的正弦的关系. 那么余弦定理的形式又应当含有哪些元素呢？（边和角的余弦）

（引导学生从正弦定理的结构特征思考余弦定理的大致形式，养成从事实与事实间的关系思考问题的习惯.）

启发2：在你学过的知识中，哪些知识涉及线段长和角的余弦？（学生自然会想到平面向量的数量积）

启发3：前面我们是怎么用向量法推导正弦定理的？（引导学生回顾正弦定理的推导过程，从中寻找解决问题的突破口——找到一个关于向量的等式.如学生还是没有思路，可提出如下问题：在△ABC中，三边所对的向量■■，■满足怎样的关系式？）

有了研究思路后，学生需要独立获取研究结果. 对■+■+■=0式子怎么变形？有哪些注意事项？这些都交给学生独立完成.

3. 拓宽研究思路

启发4：余弦定理的结构形式和我们以前学过的哪个定理很相似？——学生会联想到勾股定理. 你能用勾股定理证明余弦定理吗？

启发5：教材中正弦定理推导的几种方法能否推出余弦定理？

启发6：你能用正弦定理推导余弦定理吗？

4. 比较研究方法

讓学生比较各种方法的优劣、每种方法的关键点、所涉及的数学知识以及数学思维的方式方法等.

从数学问题的解决过程中抽象出数学方法和思维方式

哈尔莫斯说过：“学习数学的最好方法是解题”. 学生的核心素养水平的高低还必须在解决问题的过程中得到检验. 解题课的基本目标有两个：（1）强化对概念、公式、法则、定理等基础知识的理解;（2）从一类问题中抽象出解决该类问题的一般性方法，从而提高学生分析问题、解决问题及综合运用所学知识的能力.

案例3 已知函数f（x）=x2-ax+1，若函数f（x）在（0，2）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

分析：这是一个典型的二次函数的零点分布问题，学生易忽略某些限制条件，从而不能有效转化.

思路1：通过对抛物线的开口方向、对称轴、判别式、区间端点对应的函数值的综合考虑，得到Δ=a2-4>0，0<■<2，f（0）>0，f（2）>0，解得a∈2，■.

思路2：分离参数得，a=x+■，观察直线y=a与对勾函数y=x+■在x∈（0，2）上的图像有两个交点的情况，得到a∈2，■.

点评：思路1是根据二次函数图像特点寻找约束条件，思路2是通过分离参数，将函数零点问题转化为两个图像交点个数的问题. 两种思路都体现了数与形的转化.

变式训练：

（1）若函数f（x）在（0，2）上有零点，求实数a的取值范围;

（2）若不等式f（x）≥0在（0，2）上恒成立，求实数a的取值范围;

（3）若不等式f（x）≥0在（0，2）上有解，求实数a的取值范围.

教师要引导学生总结：在处理函数零点问题、不等式恒成立、不等式有解时，优先考虑分离参数的方法.

数学教学就是教会学生数学地思考，培养学生良好的数学思维品质.学会通过现象看本质，通过一个问题的解决实现一类问题的解决恰是优秀思维品质之一. 解题教学不仅要关注一题多解，更应重视多题一解. 通过多题一解的训练，可以有效地发展学生的数学抽象素养.

结束语

和其他素养一样，学生数学核心素养的养成是一个长期的过程，而且更多时候是一种潜意识的行为. 数学素养的形成是在学习数学基础知识和基本技能的基础上，在数学活动中逐步形成的.面对即将到来的新一轮课程改革，我们应当积极探索在实践层面的培育方法和途径，开发出一些具有指导意义和可操作性的教学案例，切实提升学生的数学素养水平.