APP下载

关于半对偶模的弱Ding-投射模

2020-11-05何东林

关键词:同态对偶定理

何东林, 樊 亮

(陇南师范高等专科学校数信学院, 甘肃 陇南 742500)

引 言

Gorenstein同调理论是相对同调代数的研究热点之一,许多学者先后对其进行了研究和推广。特别地,Holm和Jørgensen[1]在交换Noether环上引入了C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein内射模的概念,并研究了与其相关的投射模类。White[2]进一步讨论了一般交换环上的C-Gorenstein投射模和C-Gorenstein内射模,并称之为GC-Gorenstein投射模和GC-Gorenstein内射模。Gillespie[3]介绍了Ding-投射模和Ding-内射模。Ding-投射模与强Gorenstein平坦模[4]是一致的,而Ding-内射模与Gorenstein FP-内射模是一致的。为了研究Ding-投射模和Ding-内射模的可数部分及相关的投射和内射模类,Zhang等[5]引入了DC-投射模和DC-内射模。f-投射模[7]是投射模的一个重要推广,每个投射模都是f-投射模,每个f-投射模都是平坦模,但反之不真。C-Gorenstein投射模与C-投射模[8]密切相关,DC-投射模与C-平坦模[8]密切相关。Mao[9]引入的关于半对偶模C的C-f-投射模是介于C-投射模与C-平坦模之间的一类模。因而,可考虑与C-f-投射模密切相关的模类。本文主要研究关于半对偶模C的弱Ding-投射模(即弱DC-投射模),并讨论弱DC-投射模与DC-投射模及C-Gorenstein投射模之间的关系,以及弱DC-投射模的若干性质和等价刻画。

1 定义和引理

引理2[9]设M是R-模,则

(2)M是C-f-投射模当且仅当HomR(C,M)是f-投射模。

其中Pi(i∈Ζ)是投射R-模,使得M≅Coker(P1→P0)。用wDPC(R)表示所有弱DC-投射模组成的类。

引理3以下说法成立:

(1)DPC(R)⊆wDPC(R)⊆GPC(R)。

(2)当R是Noether环时,弱DC-投射模与DC-投射模一致,从而DPC(R)=wDPC(R)。

引理4[8]设0→X′→X→X″→0是R-模正合列。若X′和X″是C-投射模,则该正合列可裂且X也是C-投射模。

2 主要结果

定理1设M是R-模,则以下条件等价:

(1)M是弱DC-投射模。

(1)

…→P1→P0→M→0,

(2)

(3)

0→HomR(M,Q)→HomR(P0,Q)→HomR(P1,Q)→…

(4)

其中Pi(i<0)是投射R-模。不妨取M的投射分解

…→P1→P0→M→0,

(5)

其中Pi(i∈Ζ)是投射R-模,使得M≅Coker(P1→P0)。因此M是弱DC-投射模。

定理2设M是弱DC-投射模,如果存在正合列

定理3设P是有限生成投射模且M是弱DC-投射模,则HomR(P,M)是弱DC-投射模。

(6)

其中Pi(i∈Ζ)是投射R-模,使得M≅Coker∂1。因为P是有限生成投射模,所以用函子HomR(P,-)作用于序列(6)后仍正合,即序列

正合,且HomR(P,M)≅Coker(HomR(P,∂1))。因为P是有限生成投射模且R为交换环,根据文献[14]中命题20.10可得,对任意整数i<0,有同构

由文献[15]中P14stability中第6条可得,HomR(P,Pi)(i∈Ζ)是投射模。从而有正合列

(7)

综上所述,HomR(P,M)是弱DC-投射模。

证明证明过程与定理3对偶。

定理5设M是任意R-模,则存在正合列…→W1→W0→M→0,其中Wi(i≥0)是弱DC-投射模。

证明设M是任意R-模,由文献[6]中命题1.8可得,M具有DC-投射分解,即存在正合列

…→W1→W0→M→0

其中Wi(i≥0)是DC-投射模。又由引理3知,DPC(R)⊆wDPC(R),所以Wi(i≥0)是弱DC-投射模。

定理6弱DC-投射模类wDPC(R)关于任意扩张封闭。

图1 正合交换图

定理7弱DC-投射模类wDPC(R)关于任意满同态的核封闭。

证明由定理1和Ext函子的性质可证。

定理8弱DC-投射模类wDPC(R)关于任意满同态的核封闭。

定理9弱DC-投射模类wDPC(R)是投射可解的且关于任意直和因子封闭。

证明由引理3及文献[6]中命题1.8知,wDPC(R)包含所有投射模。根据定理6和定理8可得,wDPC(R)关于任意扩张和满同态的核封闭。从而弱DC-投射模类wDPC(R)是投射可解的。又因为wDPC(R)关于任意直和封闭,由文献[16]中命题1.4可得,wDPC(R)关于任意直和因子封闭。

3 结束语

利用环模理论和同调代数的方法,讨论了弱DC-投射模与DC-投射模及C-Gorenstein投射模之间的关系。研究了弱DC-投射模的若干性质和等价刻画。结果表明:所有弱DC-投射R-模组成的类是投射可解的且关于任意直和因子封闭。从而补充了Gorenstein同调代数中的相关理论,并进一步完善了对Gorenstein模类及其维数后续问题的研究,具有一定的理论价值。

猜你喜欢

同态对偶定理
J. Liouville定理
关于半模同态的分解*
拉回和推出的若干注记
τ-内射模的若干性质①
R2上对偶Minkowski问题的可解性
对偶延迟更新风险模型的占位时
A Study on English listening status of students in vocational school
配之以对偶 赋之以精魂
“三共定理”及其应用(上)
一种基于LWE的同态加密方案