信息技术助力直观想象在统计教学中落地生根

胡嘉苇

[摘  要] 摘要：提到统计一章中涉及的核心素养，数学建模、数据分析是比较明显的两条线，直观想象核心素养的培养却容易在实际教学中被人忽略. 一个重要的原因在于，教材中数据的整理收集到最后的统计图表直观呈现，需要信息技术的支持，而一线教师擅长的几何画板等工具在这方面的功能有限，所以实际的高中课堂就出现了直接“套用”“默认”教材的图表呈现. 但缺少了学生的“建构体验”，“直观想象”也就大打折扣. 图形计算器兼具数与形的优点，相当于移动的数学实验室. 文章以线性回归方程的教学设计为例，探讨其在培养学生直观想象核心素养的一些操作形式.

[关键词] 直观想象;图形计算器;线性回归

问题提出

1. 如何理解“直观想象”核心素养

2014年3月教育部颁布的《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，确立了核心素养在立德树人中的突出地位. 林崇德教授曾提出：“学生应具备能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.”核心素养兼具个体发展和社会发展，连接个体价值和社会价值，是人从事社会实践活动必备的知识、能力和品格的综合表现.直观想象作为六大核心素养之一，其重要性不言而喻，也就顺理成章成为一线教师认真钻研、努力践行的重头戏.

那什么是“直观想象”？

著名数学家希尔伯特曾说：“要帮助我们的学生学会用图形来描述和刻画问题，学会用图形去发现解决问题的思路.”这可以说是给出了直观想象的本质界定.

“直观想象”在高中教学中的具体培养要求是什么？

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中“直观想象”核心素养的界定：指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题. 主要表现为：建立形与数的联系;利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.

个人觉得，直观和想象都是人们认识和感知世界的一种基本方式.人们认知世间万物的一个基本特点就是将事物直观化. 直观的呈现方式是多种多样的，可以是短视频或图片，可以是一张思维导图. 直观虽是低层次的认知，但它可以为进一步的抽象与想象做铺垫.直观能促进更丰富有效的想象，所以直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.

2. 统计教学中“直观想象”核心素养的现状与困境

必修三中统计版块的教材虽然处处可见直观想象的素材，但真正在实际教学的过程中，我们却常常选择忽略这些金子般的直观素养培养的种子. 一个重要的原因在于，教材中数据的整理收集到最后的统计图表直观呈现，需要信息技术的支持. 一线教师擅长的几何画板等工具在这方面的功能有限，没有办法在教材呈现这一“从数据到图像”的重要过程，而是被迫选择直接“套用”“默认”教材的图表呈现. 于是，“大家观察图……”这样的话语就频频出现在课堂. 虽然学生基本不会怀疑教材中图表呈现的真实性，但缺少了学生的“建构体验”，“直观想象”就变成了“让我们看”，更别提教材为我们精心设计准备的那些有着强烈实际背景的课后习题了，基本上被我们在教学中“打入冷宫”.

3. 图形计算器的特点与优势

何为图形计算器？图形计算器通常指一种能够绘制函数图像、解联立方程组以及执行其他各种操作的手持计算器，大多数图形计算器还能编写数学类程序. 概括起来，其突出特点是：手持便携，图文并茂，能动会变，形象直观，及时反馈.正是由于它兼具数与形的优点，所以在统计这一版块知识的教学中，能够成为直观想象素养培养的重要载体.

4. 《变量间的相关关系》教学设计片段

环节一、动手操作，作散点图

在一次对人体脂肪和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据.（PPT展示人教A版教材必修3第85页人体的脂肪百分比和年龄图）

问题（1）：针对上述数据所提供的信息，你认为人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？

问题（2）：怎样直观形象地展示两个变量的关系？——引出散点图.

问题（3）：你能想象一下作出的散点图的大致情况吗？尝试用图形计算器验证你的猜想.

学生操作：先把数据中成对出现的两个数分别作为横坐标、纵坐标，把数据输入表格当中（第一列横坐标、第二列纵坐标）得到图1;绘出散点图，得到图2.

问题（4）：这些散点图有什么特点？——引出线性相关关系.

问题（5）：下面给出三组数据（PPT展示），请我们的三个学习小组，每个小组作出其中一个散点图，并观察数据特点. 结合作出的散点图，教师总结：线性相关关系，正负相关关系等概念.

设计意图：本环节回到了教材所举的例子进行探究，在引导学生得出图像（散点图）的必要性过后，笔者给时间让学生尝试在脑袋里畅想散点图的大致形状. 然后通过图形计算器作出散点图进行对照，一是与自己的想象对照，二是把自己作出的散点图与教材给出的散点图进行对照. 经历这个过程的目的是让学生感受：直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础.同时相比教材中“从天而降”的散点图，自己动手作出的散点图将会更加真实、更加亲切且让人印象深刻.

环节二、直观想象，引出回归直线

问题：结合散点图，你能说说人在62、63、64岁时的脂肪含量大约是多少吗？你做出判断的理由是什么？可以把你的想法在小组内交流探讨.

教师：参与到学生的小组讨论中，了解学生的想法. 在了解的基础之上，请一些具有典型想法的学生来与全班交流.

结合学生的回答，引导学生观察：所有的点都大致分布在一条直线的附近，只要求出这条直线的方程，那么就可以知道人在62、63、64岁时的脂肪含量.如图2，从整体上看，散点图中的点分布大致在一条直线附近，我们把这条直线叫做“回归直线”. （教师引导学生在图形计算器上作出回归直线）？摇

设计意图：本环节可以说是本节课的精华所在，精彩之处就在于开放性的提问. “结合图2”就是把学生的关注点引到对散点图的分析，“62、63、64岁时的脂肪含量大约是多少”本来就是一个没有标准答案的提问，这样可以让学生有自由发挥想象的空间. 设置小组讨论、全班交流的环节，就是想让学生在交流中不斷修正、取舍、优化. 结合教师引导，让学生自然而然地过渡到找一条直线来“近似代替”，从而经历：独立看图自由想象—小组讨论取舍方案—全班思考明晰方向.

5. 信息技术助力直观想象变成学生可操作的基本活动经验

新课程标准由原来的“双基”拓展为“四基”，“基本活动经验”成为核心素养培养必不可少的“关键词”. 而在统计这一章节中，受信息技术条件和教师理念的影响，很多时候的课堂都是照搬、照抄教材中给出的图表. 或许从知识理解以及最后的考试来看影响不大，但是学生的活动操作经验却被简单粗暴地换成了阅读和接受. 直观想象素养的渗透当然也就无计可施，失去了知识的生长点. 信息技术的介入，能够让学生充分经历知识的发生发展过程，或许过程会出错，或许会走弯路，但这也是数学学习必不可少的活动经验. 此外，这种直观想象的探究不仅可以在课堂上，也可以在课后、在家里;不仅可以研究教材的举例，也可以研究课后的习题、课后的实习作业等. 这样就拓展了学生基本活动经验获得的时间和空间，同时也为教师的教学设计提供了更多可能.