球文化知多少

童广鹏 (河南省民权县高级中学 476800)

在数学发展的历史长河中，“球”文化始终伴随左右，经历了中西多少代数学家直观性和萌芽性的艰辛奋斗历程，体现出卓越的数学价值．我们就来领略一番古人的聪明才智和风采吧！

1 埃拉托色尼显奇妙

图1

例1古希腊数学家埃拉托色尼是世界上第一个测量地球大小的人．公元前240年左右，他住在亚历山大城(图1中的点A)．据测量，夏至正午太阳光偏离该地铅垂方向7.2°；他又了解到，该城正南800 km处的塞尼城(图1中的点B)夏至正午太阳正好悬在头顶．由此，他算出了地球经线的周长和半径．请你计算一下，地球经线的周长为km，半径为km．(精确到1 km)

命题背景埃拉托色尼(约公元前275年-前194年)博学多才,他不仅通晓天文而且熟知地理，曾担任过亚历山大博物馆的馆长．他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成．从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角．按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长．埃拉托色尼测出夹角约为7°，是地球圆周角(360°)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40 076公里)相差无几．他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近．这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧．本题反映了历史上首次尝试用严格的数学方法计算球半径的过程，属“球”文化的萌芽，思维关键在于从圆弧出发按照相似来计算．

2 阿基米德见真章

例2古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体：在圆柱容器里放一个球，使该球四周碰壁，且球顶天立地与上、下底面相切，若记这个球的表面积和体积分别为S1和V1，圆柱的表面积和体积分别为S2和V2，则( )．

图2

命题背景阿基米德于公元前287年出生在意大利半岛南端西西里岛的叙拉古．对于他自己对球体积的计算，阿基米德一直引以为豪：他考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式.阿基米德的方法可以看成是积分学的先声．本题使学生体会球文化是人类文化的一部分，树立发展的数学观，有助于学生感受追求真理、不断探索等人文精神和理性思维．

3 张衡思想引后人

命题背景《九章算术》成书后，张衡的脑子里出现了一个有价值的思想，他设想了一个边长等于球直径的立方体，把球装在里面，使它们相切．他想：若能求出立方体与内切球的体积之比，球体积问题便容易解决了．这种想法是数学中比较“标准”的想法——把难解决的问题转化为可以解决或相对容易解决的问题．遗憾的是，他的计算方法不够科学，最后推出立方体与球的体积之比为8∶5，这比原来的误差更大．结果虽然不够理想，但张衡的研究方法却给了后人有益的启示．

4 牟合方盖渊源长

5 祖氏二人放光芒

例5为推导球的体积公式，刘徽制造了一个牟合方盖，但没有得到牟合方盖的体积．200年后，祖暅给出牟合方盖的体积计算方法，其核心过程被后人称为祖暅原理：缘幂势既同，则积不容异．意思是，夹在两个平行平面间的两个几何体被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积也相等．现在截取牟合方盖的八分之一，它的外切正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，如图3所示，根据以上信息，则该牟合方盖的体积为( )．

图3

命题背景在中国古代，祖冲之的儿子祖暅利用祖氏定理“幂势既同，则积不容异”和“出入相补原理”的方法，在牟合方盖的基础上解决了刘徽绞尽脑汁未果的球体积问题，得出了球体积的正确公式．从中可以看出，在求解有关球的性质的时候，我国古代科学家并没有涉及微积分；求解球积问题的基本方法是构造方法，利用数学建模的方式求得与原来的问题等价，借助外来的力量解决几何问题，并且刘徽、祖暅二人在具体求解时正确计算出了球的体积．本题让学生真正理解祖暅原理，亦感悟到古代数学家在推导球体积公式时所迸发出的创造性的思维火花和丰富的文化内涵．