多参数n阶α次积分C半群的预解集

2020-10-12毕伟

延安大学学报（自然科学版） 2020年3期

关键词：正则算子线性

毕伟

(延安大学学术期刊中心，陕西延安716000)

在算子半群理论中，预解集是各类算子半群研究的重要内容。文献[1-4]研究了n阶α次积分C半群和双参数n阶α次积分C半群的定义并给出其相关性质。在此基础上，本文给出多参数n阶α次积分C半群的预解集的定义，并研究其一些性质。

1 预备知识

在本文中，N表示自然数集，X为无限维的复Banach空间，B(X)是X上有界线性算子全体所成的Banach代数，C∈B(X)是单射，D(A)为线性算子A的定义域，在全文中规定所有m,n∈N，α≥0。

JnT(t)表示T∈C([0,+∞),X)的n次积分，即

T=0当且仅当存在n>0使得

JnT(t)=0,t≥0。

定义1[5]设n∈N，α≥0，{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0⊂B(X)强连续，若存在线性算子A=(A1,A2,…,Am)使得(1)～(3)式成立：

(1)∀x∈X，t1,t2,…,tm≥0,

JnT(t1,t2,…,tm)x∈D(A)，

AJnT(t1,t2,…,tm)x；

(2)∀x∈D(A)，t1,t2,…,tm≥0，

JnT(t1,t2,…,tm)Ax；

(3)CT(t1,t2,…,tm)=

T(t1,0，…,0)T(0,t2，…,0)…T(0，0，…，tm)。

{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0是多参数n阶α次积分C半群，A=(A1,A2,…，Am)是多参数n阶α次积分C半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0的次生成元，也称A次生成多参数n阶α次积分C半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0。

2 主要结果

定义2 若Rc(λ,(A1,A2，…，Am))=λn-1(λn-(A1,A2,…,Am))-1C有定义在Banach空间X上的有界逆算子，则称λ为多参数n阶α次积分C半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0的次生成元A=(A1,A2,…,Am)的正则点，Rc(λ,(A1,A2,…,Am))为A=(A1,A2,…,Am)的C预解式，全体正则点称为A=(A1,A2,…,Am)的C预解集，记为

定理1 设n∈N,α≥0,{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0为X上的多参数n阶α次积分C半群，闭线性算子A=(A1,A2,…,Am)为其次生成元，且D(A)⊂X,如果有

{λn|Reλ>max{ω,0}}⊂

∀(a1,a2，…，am)∈Rm，ω∈R，那么下式成立：

Rc(λ,(A1，A2，…，Am))x=