指数有界双参数n阶α次积分C群的次生成元及其性质

周 阳，赵华新，周裕然

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

算子半群的生成理论是算子半群的重要内容之一，许多学者对此作了大量的研究工作。文献[1]研究了局部有界双连续n次C积分半群的生成元及其性质；文献[2]给出了n阶α次积分C半群的概念、预解集以及次生成元等，并研究了相关问题；文献[3]讨论了指数有界双连续n次积分C半群及其性质；文献[4]讨论了双参数n阶α次积分C半群的概念、预解集、逼近以及生成元等；文献[5]讨论了有界线性算子广义谱的谱映照定理；文献[6]讨论了双参数有界算子群的生成定理及相关性质；文献[7]讨论了指数有界双连续n次积分C半群的扰动等相关定理；文献[8]研究了α次积分C半群的谱映照定理；文献[9，10]研究了指数有界的双连续n次积分C半群的生成定理及谱映照定理；文献[11]讨论了n次积分C半群的逼近定理和谱映照定理。本文在上述文献研究的基础上，给出了指数有界双参数n阶α次积分C群的定义，并研究了其次生成元的一些性质。

1 预备知识

在本文中，X为无限维的复Banach空间，B(X)是X上有界线性算子全体所成的Banach代数；

D(A)为线性算子A的定义域，设n∈N，α≥0。

T=0当且仅当存在n≥0，使JnT(s)=0，s≥0。

2 基本概念

定义1 设n∈N，α≥0，C∈B(X)是单射，算子族{T(t,s):∀t,s∈R}⊂B(X)被称为指数有界双参数n阶α次积分C群，则以下条件成立：

∀t,s∈R；

(2)存在闭线性算子A=(A1，A2)，满足

∀x∈X,t,s∈R,JnT(t,s)∈D(A),

∀x∈D(A),t,s∈R,

(3){T(t,s):∀t,s∈R}⊆B(X)强连续，即对每个x∈X映射(t,s)→T(t,s)x强连续；

(4)存在M≥0,ω∈R使

‖T(t,s)‖≤‖C-1‖Meω(t+s)，∀t,s≥0。

称A=(A1,A2)是{T(t,s):∀t,s∈R}⊆B(X)的次生成元，把G(M,ω,C,t,s)记为X内的所有指数有界双参数n阶α次积分C群。

3 主要结果

T1(t,s)是指数有界双参数n阶α次积分C半群，次生成元是(A1,A2)。

CT1(t,s)=CT(t,s)=T(t,s)C=T1(t,s)C；

(2)∀x∈X,t,s≥0,JnT(t,0)∈D(A1),

JnT(0,s)∈D(A2)有

A1JnT(t,0)x=A1JnT1(t,0)x，

A1JnT(0,s)x=A1JnT1(0,s)x；

(3)任意x∈D(A),t,s≥0，JnT(t,0)∈D(A1),JnT(0,s)∈D(A2)有

JnT(t,0)A1x=JnT1(t,0)A1x，

JnT(0,s)A1x=JnT1(0,s)A1x。

所以T1(t,s)是指数有界双参数n阶α次积分C半群，次生成元是(A1,A2)。

当t,s≤0时，把T(t,s)记作T2(t,s)，设T2(t,s)=T(-t,-s)，下面验证T2(t,s)是指数有界双参数n阶α次积分C半群，次生成元是(-A1,-A2)。

T2(t,s)C=T(-t,-s)C=

CT(-t,-s)=CT2(t,s)；

(2)∀x∈X,t,s≤0,JnT(t,0)∈D(A1),

JnT(0,s)∈D(A2)有

A1JnT2(t,0)x=(-A1)JnT2(u,0)x,

t=-u，

A2JnT2(0,s)x=(-A2)JnT2(0,v)x,

s=-v；

(3)任意x∈D(A),t,s≤0,JnT(t,0)∈D(A1),JnT(0,s)∈D(A2)有

JnT(-t,0)A1x=JnT2(t,0)A1x=

JnT2(u,0)(-A1)x,

t=-u，

JnT2(0,s)A2x=JnT2(0,v)(-A2)x,

s=-v。

所以T2(t,s)是指数有界双参数n阶α次积分C半群，次生成元是(-A1,-A2)。

证明同定理1证明。

∀x∈X,t,s,t1,s1≥0，JnT(t,0)∈D(A1),

JnT(0,s)∈D(A2)有

A1JnT(t1,0)T(t,0)x=A1JnT(t,0)T(t1,0)x=

A1JnT1(t,0)T1(t1,0)x=A1JnT1(t1,0)T1(t,0)x，

A2JnT(0,s1)T(0,s)x=A2JnT(0,s)T(0,s1)x=

A2JnT1(0,s)T1(0,s1)x=A2JnT1(0,s1)T1(0,s)x。

∀x∈D(A),t,s,t1,s1≥0,JnT(t,0)∈D(A1),JnT(0,s)∈D(A2)有

JnT(t1,0)T(t,0)A1x=JnT(t,0)T(t1,0)A1x=

JnT1(t,0)T1(t1,0)A1x=JnT1(t1,0)T1(t,0)A1x，

JnT(0,s1)T(0,s)A2x=JnT(0,s)T(0,s1)A2x=

A2JnT1(0,s)T1(0,s1)x=A2JnT1(0,s1)T1(0,s)x。

则A1JnT(t1,0)T(t,0)=

A1JnT(t,0)T(t1,0)x=A1JnT1(t,0)T1(t1,0)x=

A1JnT1(t1,0)T1(t,0)x=JnT(t1,0)T(t,0)A1x=

JnT(t,0)T(t1,0)A1x=JnT1(t,0)T1(t1,0)A1x=

JnT1(t1,0)T1(t,0)A1x，

A2JnT(0,s1)T(0,s)x=

A2JnT(0,s)T(0,s1)x=

A2JnT1(0,s)T1(0,s1)x=

A2JnT1(0,s1)T1(0,s)x=JnT(0,s1)T(0,s)A2x=

JnT(0,s)T(0,s1)A2x=A2JnT1(0,s)T1(0,s1)x=

A2JnT1(0,s1)T1(0,s)x。

由指数有界双参数n阶α次积分C半群的定义知，对任意x∈D(A)有

(1)T1(t,s)x=T(t,s)x∈D(A)；

(2)AT1(t,s)x=AT(t,s)x=T(t,s)Ax=

T1(t,s)Ax,∀t,s≥0。

当t,s≤0时，把T(t,s)记作T2(t,s)，设T2(t,s)=T(-t,-s),T2(t,s)是指数有界双参数n阶α次积分C半群，次生成元是(-A1,-A2)，则

∀x∈X,t,s,t1,s1≤0,JnT(t,0)∈D(A1),

JnT(0,s)∈D(A2)有

A1JnT(-t1,0)T(-t,0)x=

A1JnT(-t,0)T(-t1,0)x=

A1JnT2(t,0)T2(t1,0)x=A1JnT2(t1,0)T2(t,0)x=

(-A1)JnT2(u,0)T2(t,0)x,

t1=-u，

A2JnT(0,-s1)T(0,-s)x=A2JnT(0,-s)T(0,-s1)x=

A2JnT2(0,s)T2(0,s1)x=A2JnT2(0,s1)T2(0,s)x=

(-A2)JnT2(0,v)T2(0,s)x,

s1=-v。

∀x∈D(A),t,s,t1,s1≤0,JnT(t,0)∈D(A1),JnT(0,s)∈D(A2)有

JnT(-t1,0)T(-t,0)A1x=

JnT(-t,0)T(-t1,0)A1x=

JnT2(t,0)T2(t1,0)A1x=JnT2(t1,0)T2(t,0)A1x=

JnT2(u,0)T2(t,0)(-A1)x,

t1=-u，

JnT(0,-s1)T(0,-s)A2x=

JnT(0,-s)T(0,-s1)A2x=

JnT2(0,s)T2(0,s1)A2x=

JnT2(0,s1)T2(0,s)A2x=

JnT2(0,v)T2(0,s)(-A2)x,

s1=-v。

则A1JnT(-t1,0)T(-t,0)x=

A1JnT(-t,0)T(-t1,0)x=

A1JnT2(t,0)T2(t1,0)x=

A1JnT2(t1,0)T2(t,0)x=

(-A1)JnT2(u,0)T2(t,0)x=

JnT(-t1,0)T(-t,0)A1x=

JnT(-t,0)T(-t1,0)A1x=

JnT2(t,0)T2(t1,0)A1x=JnT2(t1,0)T2(t,0)A1x=

JnT2(u,0)T2(t,0)(-A1)x,

t1=-u，

A2JnT(0,-s1)T(0,-s)x=

A2JnT(0,-s)T(0,-s1)x=

A2JnT2(0,s)T2(0,s1)x=

A2JnT2(0,s1)T2(0,s)x=

(-A2)JnT2(0,v)T2(0,s)x=

JnT(0,-s1)T(0,-s)A2x=

JnT(0,-s)T(0,-s1)A2x=

JnT2(0,s)T2(0,s1)A2x=

JnT2(0,s1)T2(0,s)A2x=

JnT2(0,v)T2(0,s)(-A2)x,

s1=-v。

由指数有界双参数n阶α次积分C半群的定义知，对任意x∈D(A)，有

(1)T2(t,s)x=T(-t,-s)x∈D(-A)；

(2)(-A)T2(t,s)x=(-A)T(-t,s)x=

T(-t,-s)(-A)x=T2(t,s)(-A)x,∀t,s≤0。

证明同定理3证明。