火炮输药机构小射角输药到位一致性稳健优化设计

刘太素，钱林方，陈光宋

(南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京 210094)

0 引言

弹药分装式装填系统在中大口径火炮中广泛应用，其作用是将弹丸和模块药依次送入身管中，完成弹药的装填。输药机构作为弹药分装式装填系统的重要组成部分，实现模块药的装填，对火炮发射过程具有重要的作用[1]。

在输药过程中，针对不同的工况，要求每次能够将特定数量的模块药有效地送入身管内，且在非满装药工况下，需要模块药尽量靠近炮闩，以保证准确可靠地点火。但是在小射角输药或者平射角输药过程中，当输药结束时，若输送到身管内的模块药尾端远离炮闩，而此时重力不足以让模块药继续滑动回到炮闩位置，会对点火造成一定的影响。因此，在小射角输药过程中，提高输药到位一致性，对确保模块药在有利的点火位置有重要意义。

以往研究中，对输弹一致性关注较多[2-3]，而对于输药过程的研究相对较少。侯立国等[4]对输药机的振动现象进行了分析，解决了翻转过程由于振动导致到位性差的问题；孙涛[5]对协调输药机的结构进行了动力学分析和强度分析，保证了协调输药机的强度。但对于小射角非满装药的输药到位一致性问题，至今还未有相关研究。为提高小射角非满装药输药的到位精度，需要考虑参数随机性对输药到位一致性的影响，通过控制随机参数对输药到位一致性的影响，降低输药到位一致性对随机输入参数的敏感性，即稳健优化设计[6]。稳健优化的关键问题之一是需要分析不确定性输入参数对输出响应的影响，即不确定性传播分析，然而在工程实际中，存在模型复杂、非线性程度高、计算量较大等难题。针对该问题，基于代理模型的稳健优化设计[7]能够在保证精度的同时大大提高计算效率，在航空航天[8-9]、车辆[10]、船舶[11]等领域得到了比较广泛的应用。

本文对小射角非满装药输药过程进行了稳健优化设计，建立了输药过程的动力学模型，考虑了不确定性输入参数对输药到位一致性的影响；采用稀疏混沌多项式展开方法建立了不确定性输入参数对输药到位的代理模型，以可控不确定性输入参数为设计参数，以输药到位均值以及到位的均方差最小为目标，以输药到位位置、输药到位速度为约束条件，建立了多目标输药到位稳健优化设计模型；采用NSGA-Ⅱ优化算法对输药到位稳健优化设计模型进行了求解，得到了对输药到位一致性影响较小的不确定性输入参数组合。计算结果验证了本文方法的有效性，该方法和结果可为输药过程的设计提供理论参考。

1 模型描述及动力学建模

1.1 基本假设

为建立相对准确的某输药机构动力学模型，首先需做出如下假设：

1)本文重点研究输药机构不确定性输入参数的影响及设计过程，因此将输药机构视为多刚体机构，且药筒和身管相对地面静止；

2)链条传动机构轴向的移动对模块药前进方向影响较小，因此将链条传动机构视为平面系统，只考虑平面内的移动和绕其旋转轴的转动。

1.2 结构描述

本文研究对象为某装填系统中的输药机构，如图1所示，由首尾不相连的开式链传动机构(包括滚轮、链节、销轴、链轮)、推药板、药筒、轨道、模块药和身管等组成，在输药电机的带动下，链轮转动带动链条前进，最终由推药板将模块药推送入身管内。链条传动系统是由多个链节通过销轴连接而成的多自由度系统，其中，销轴的两端为滚轮，其作用是与链轮接触，达到传动的目的，同时轨道约束滚轮运动的方向。

根据输药机构各零部件的相对位置和连接关系，分析得到输药机构的拓扑关系如图2所示，其中c表示链节和滚轮的总数。

1.3 输药机构运动分析

基于相对坐标原理[12]，首先建立惯性坐标系OXYZ和各零部件的局部坐标系，利用各零部件的局部坐标系来描述相邻体之间的运动关系。由图2可知，模型中存在大量的接触碰撞，包括滚轮与链轮齿槽之间的接触碰撞、滚轮与轨道之间的接触碰撞、链节之间的接触碰撞、推药板与模块药之间的接触碰撞、模块药与药筒之间的接触碰撞以及模块药与身管之间的接触碰撞等。为了建立比较准确的输药机构动力学模型，需要对以上接触碰撞过程进行分析。其中，滚轮与链轮齿槽的接触判断以及链节之间的接触可参考文献[13]。

在链轮的带动下，链条推动推药板前进，推药板推着模块药前进并进入身管，当到达强制推药距离后，推药板停止运动，模块药在惯性作用下继续滑行一小段距离后停止在身管药室内，强制推药距离由链条的长度决定，与射角无关，射角的变化会改变模块药与药筒以及身管的摩擦，即模块药停留在身管药室内的位置随射角的变化而变化。如图3所示为推药板、模块药和身管的位置关系，其中，基于推药板、模块药、身管建立的坐标系分别为OtXtYt、OmXmYm、OgXgYg. 当小射角输药以及非满装药情况下，模块药的到位一致性对点火及发射造成了一定的影响，因此，需要合理设计模块药的到位一致性。

图3 模块药的接触关系Fig.3 Contact relationship of modular charge

1.4 接触碰撞力模型

1.4.1 法向接触力模型

分析并总结输药过程的接触碰撞形式，主要分为圆弧曲面接触和平面接触两种接触形式，针对不同的接触形式，可采用不同的接触碰撞力学模型进行描述。其中，滚轮与链轮齿槽之间的接触碰撞、滚轮与轨道之间的接触碰撞、模块药与药筒之间的接触碰撞以及模块药与身管之间的接触碰撞属于圆弧曲面接触，在碰撞过程中，应该考虑相对碰撞速度、物体的几何参数、物体的材料属性等因素的影响。因此，本文采用经典Lankarani-Nikravesh接触力模型[13-14]，表示为

(1)

刚度系数K可以表示为

(2)

阻尼系数C表示为

(3)

输药机构中的平面接触包括链节之间的接触碰撞和推药板与模块药之间的接触碰撞，此时可采用平面接触力学模型Fnp来描述它们之间的力学行为[15]，表示为

Fnp=Kpδp,

(4)

式中：δp为平面接触穿透深度；Kp为平面接触的等效刚度，表达式为

(5)

l、h分别为平面接触区域矩形长和宽的一半，N为矩形接触区域长宽比的系数，取值如表1[15]所示，对于接触平面不是矩形的情况，对接触面进行等效处理。

表1 矩形接触区域长宽比[15]Tab.1 Ratio of length and width of contact area[15]

1.4.2 摩擦力模型

在发生接触碰撞过程中，由于相互接触的两个物体表面是粗糙的，在相对运动的切向会产生摩擦力，对系统性能产生了一定的影响。为了考虑摩擦力的影响，本文采用修正的Coulomb摩擦模型[13-14]来计算摩擦力，该模型能够较准确地计算两个物体在相对转动和移动过程中的摩擦现象。切向摩擦力可以表示为

(6)

式中：cf为滑动摩擦系数；cd为动态修正系数；vt为相对切向速度。

动态修正系数cd可以表示为

(7)

式中：v0和v1是为计算动态校正系数而指定的速度值。

1.5 输药机构动力学模型及试验验证

根据输药机构的运动学关系、受力与约束情况，基于虚功率原理[12]，可以建立输药机构的动力学方程

(8)

为验证仿真模型的正确性和有效性，对输药过程进行了试验测试，试验设施主要由输药机构台架、可编程逻辑控制器(PLC)控制系统、数据采集仪、激光位移传感器等组成，如图4所示。其中，PLC控制系统作为输药机构的驱动执行系统，并实时记录电机电流，数据采集仪读取并记录激光位移传感器反馈的模块药位移，同时接收PLC的同步触发信号。

经过试验台架测试得到输药机构的电流iq，根据电机电磁转矩方程，可得电机转矩Te为

Te=KTiq,

(9)

式中：KT为电机的转矩常数。电机转矩经蜗轮蜗杆传动机构传递转矩给链轮轴，蜗轮蜗杆的传动比为k，因此可得链轮的转矩Ts为

Ts=kTe.

(10)

给定输药电机恒定转速600 r/min，经由试验台架测试得到输药过程电机驱动的电流，然后由(10)式转化为输药链轮的转矩，如图5所示，为方便分析，对链轮转矩进行近似处理后如图5中红色虚线所示。将转化后的链轮转矩带入输药机构仿真动力学模型，计算得到模块药位移的仿真计算结果与试验结果对比如图6所示。由图6可以看出，仿真结果与试验基本一致，误差在工程可接受范围内，从而验证了本模型的正确性和有效性，在后续计算中，以本仿真模型代替真实物理模型进行分析。

图5 链轮转矩曲线Fig.5 Torque curve of sprocket

图6 模块药位移仿真和试验结果对比Fig.6 Comparison of simulated and experimental displacements of modular charge

2 输药过程稳健优化设计模型

2.1 输药过程随机参数

输药机构存在众多不确定性输入参数，这些不确定性输入参数对输药到位一致性造成了一定的影响，为了分析不确定性输入参数对输药到位一致性的影响，以期达到提高小射角输药到位一致性的目的，首先，应该明确输药机构中的不确定性输入参数，并对输药机构的不确定性输入参数进行分类。

根据设计要求和工程经验，本文输药过程考虑的随机参数包括：

1)结构尺寸参数：滚轮半径Rr、链轮齿槽半径Rs1、链轮过渡圆弧半径Rs2、模块药初始位置距输药筒端面的距离Lm、模块药半径Rm、药筒半径Rc、身管内径Rb，结构尺寸如图7所示。经分析[13]：滚轮与链轮齿槽之间的间隙对系统运动具有一定的影响，由于滚轮半径比较容易改变，因此可将滚轮半径作为设计参数，而链轮齿槽半径和链轮过渡圆弧半径不予设计；模块药初始位置对模块药最终到位具有一定的影响，且比较容易调整，因此可作为设计参数；模块药半径、药筒半径和身管半径主要影响径向运动，对模块药的轴向运动影响较小，因此不予设计。

图7 输药机构结构尺寸参数示意图Fig.7 Structural parameters of propellant transport mechanism

2)输入链轮转矩与时间的关系参数：根据工程需求，模块药需在规定的时间内输送到位，以确保满足整个装填系统的时序，设计如图8所示的曲线形式，其中，ts、te、tmin分别表示恒定转矩开始时刻点、恒定转矩结束时刻点、转矩最小时刻点，Ts,max表示转矩最大值。这4个参数都属于不确定性参数，每个参数的变化都会对模块药的到位一致性产生一定的影响，且在设计过程中比较容易改变，因此作为设计参数。

图8 链轮转矩设计曲线Fig.8 Designed torque curve of sprocket

3)物理属性参数：模块药与输药筒及身管的摩擦系数μ、模块药的质量mm，这些参数的变化对模块药的到位一致性也存在一定的影响，但比较难以设计，因此不予设计，只考虑参数随机波动的影响。

根据不确定性输入参数是否可控，将参数分为可控参数和不可控参数：可控参数是指在设计和加工过程中比较容易改变的参数；不可控参数是指在设计和加工过程中难以改变或不可改变的参数。其中，可控参数又分为随机变化的量Xv=[ts,te,tmin,Ts,max,Lm](用“11”表示)和非随机变化的量Xc=[Rr](用“10”表示)，不可控参数分为随机变化的量Pv=[mm,μ](用“01”表示)和非随机变化的量Pc=[Rs1,Rs2,Rm,Rc,Rb](用“00”表示)，具体参数分类如表2所示。

表2 输药机构随机参数分类Tab.2 Classification of random parameters of propellanttransport mechanism

2.2 基于稀疏混沌多项式展开的输药过程代理模型

由于输药过程模型非线性程度高，单次计算时间较长，在稳健优化设计过程中需要进行大量的计算，极大地耗费了计算成本，为了减小计算成本，同时保证计算精度，本文采用稀疏混沌多项式展开(SPCE)模型来建立输药过程的代理模型。

(11)表3 概率分布函数和正交多项式Tab.3 Probability distribution function and correspondingorthogonal polynomial

基于稀疏混沌多项式的思想，将输药过程的输出响应y=f(x)用有限阶的级数q展开成输入参数正交多项式和的形式：

(12)

(13)

根据正交多项式的正交特性可得

(14)

(15)

(16)

2.3 输药过程稳健优化设计模型

考虑不可控参数随机变化的量Pv的影响，给定不可控参数非随机变化的量Pc的值，以可控参数X(包括Xv和Xc)作为设计参数，设定目标到位位置为y0，则模块药实际到位位置ye与目标位置之间的差值为Ym=ye-y0，以Ym的均值μYm和ye的均方差σye最小为优化目标，以到位速度、到位位置以及不确定性输入参数的范围为约束，建立输药过程到位一致性的稳健优化设计模型：

(17)

由(17)式可知，输药到位一致性的稳健优化设计目标需要模块药的位移到达特定的位置，同时保证模块药到达位置的均方差最小，为典型的多目标优化问题，对于输药到位的多目标稳健优化问题，一般不存在唯一的最优解，而是存在一组输药到位及其均方差的有效解集，也称为Pareto最优解集。Pareto最优解集是指与集合之外的其他解相比至少有一个目标函数比集合之外的其他解好，而且其他目标函数的解又不比集合之外的解差。根据Pareto最优解集的组合，可以综合考虑多目标的需求，从而选择合适的方案。

常用的多目标优化算法有多目标遗传算法中的邻域培养遗传算法(NCGA)和非支配解排序遗传算法[18](NSGA-Ⅱ)，后者具有运行速度快、解集的收敛性好的优点而被广泛应用。本文采用应用比较广泛的NSGA-Ⅱ对多目标稳健优化问题进行求解。

NSGA-Ⅱ的基本思想是：1)随机产生初始种群，非支配排序后通过遗传算法的选择、交叉、变异3个基本操作得到第1代子代种群；2)从第2代开始，将父代种群与子代种群合并，进行快速非支配排序，同时对每个非支配层中的个体进行拥挤度计算，根据非支配关系以及个体的拥挤度选取合适的个体组成新的父代种群；3)通过遗传算法的基本操作产生新的子代种群。以此类推，直到满足程序结束的条件。其流程图如图9所示。

图9 NSGA-Ⅱ算法流程图Fig.9 Flowchart of NSGA-Ⅱ algorithm

3 算例分析

以工程中某输药过程为例，工况条件为小射角5°输药，1块模块药装药，以此建立输药过程的动力学模型，进行稳健优化设计。其中，Rs1=12.75 mm,Rs2=27.24 mm,Rm=78 mm,Rc=80 mm,Rb=80 mm，其他不确定性输入参数如表4所示。

表4 输药过程不确定性输入参数Tab.4 Uncertainty input parameters of propellanttransport process

根据表2中的参数，将名义值代入动力学模型，仿真得到模块药的位移和速度随时间的变化如图10和图11所示。由图11可以看出，模块药在推药板的作用下先加速、然后匀速运动，当链轮转矩开始减小时，模块药速度随之减小，最终在摩擦力的作用下模块药输送到身管并停止运动。但由于不确定性输入参数的存在，模块药到位位置也会随之变得不确定。因此，需合理设计输入参数，以此提高输药到位的精度和一致性。

图10 模块药位移随时间的变化Fig.10 Modular charge displacement vs. time

图11 模块药速度随时间的变化Fig.11 Modular charge velocity vs. time

综合考虑计算精度和效率，对表4的不确定性输入参数在设计区间(可控参数)和误差区间(不可控参数)利用优化拉丁超立方采样技术得到300组不确定性输入参数的组合，代入输药机构仿真动力学模型计算得到对应的位移输出结果。根据2.2节中的代理模型方法，建立输药过程的代理模型，并随机采样30组参数分别代入原动力学模型和SPCE代理模型，计算结果对比如图12所示。采用常用的复相关系数R2对代理模型的精度进行了验证，计算得到R2=0.916 7，可见，由SPCE得到的输药过程代理模型的R2>0.9，精度较高，符合工程要求[19]，可以作为代理模型进行稳健优化设计的求解。

图12 输药机构SPCE测试结果Fig.12 Test result of propellant transport mechanism SPCE model

综合考虑计算效率和精度，设置NSGA-Ⅱ优化算法参数：种群数20，迭代次数300. 设定稳健目标参数值y0=820 mm,a=3,ymin=800 mm, 根据图9的解算流程，最终得到Pareto最优解集，结果如图13所示。

图13 输药过程Pareto最优解集Fig.13 Pareto optimal solution set of propellant transport process

根据Pareto最优解集，可以得到不同的优化参数组合，方便设计人员选用，如表5所示为部分Pareto解集对应的优化后输入参数的组合。

对初始值(名义值)在表4的误差范围内进行采样100组，代入输药动力学模型计算得到100组输药到位值，并对初始值下的输药到位值进行统计分析得到初始值的概率密度函数(如图14右侧曲线)，然后将优化后的设计参数(以表5中第6组优化结果为例作为最优解)代替表4中的名义值进行重新采样100组，再代入输药动力学模型中计算得到100组输药到位值，对优化后输药到位值进行统计分析得到新的概率密度函数(如图14左侧曲线)。

表5 输药到位稳健优化设计结果Tab.5 Designed results of robust optimization ofpropellant transport

图14 优化前后模块药到位的概率密度函数Fig.14 PDFs of modular charge displacement before and after optimization

由图14可以看出：优化前后的模块药到位位置均基本符合正态分布，优化后的模块药到位位置能够保证到达目标值，且模块药到位的均方差由原来的3.157 3 mm降至2.321 5 mm，优化后的均方差较初始均方差减小了26.74%，说明输药到位的一致性有了明显的提高。将表5中的设计参数进行圆整并与初始设计参数进行对比，可知：Rr在名义值的基础上可稍微变小，tmin与名义值相比基本不变，ts、te和Ts,max在名义值的基础上变小，Lm在名义值的基础上变大，在设计过程中可以此作为参考。

4 结论

本文揭示了输药过程的运动机理，并建立了输药过程的动力学模型，对输药过程的不确定性参数进行了分类。利用输药过程动力学模型，针对稳健优化设计计算量大的问题，基于SPCE建立了输药过程的代理模型，并以可控输入参数为设计参数，以输药到位均值和均方差最小为目标，以到位位置和到位速度为约束，建立了输药到位一致性的稳健优化设计模型。采用NSGA-Ⅱ算法行了求解，可以得到如下主要结论：

1) 基于稳健优化设计的方法可以保证模块药的到位，且能够提高输药到位的一致性，与初始相比，经过稳健优化后，输药到位的均方差减小了26.74%.

2) 优化后的结果证明了本文所提方法对提高输药到位一致性的有效性，该方法和结果对输药机构的设计提供了理论参考。

3) 基于SPCE建立了输药过程的代理模型，在保证计算精度的同时大大提高了计算效率，节约了计算成本。