关于数列最值问题的解法探究与建议
2020-09-26谢福慧
谢福慧
[摘 要] 数列最值问题是高考的常见问题类型之一，考虑到数列的函数本质，可以参考函数问题的解法来求解. 文章将对数列最值问题的背景加以剖析，结合实例探究单调性法、数形结合法、不等式法和导数法的解题技巧，并提出相应的教学建议.
[关键词] 数列;最值;单调性;数形结合;导数;不等式
问题背景
数列是一种定义在正整数集上的特殊函数，以数列为基础的最值问题是高中数学常见的问题类型，该类问题考点涉及数列性质、前n项和求法、最值内容、不等式、函数等. 从数列的函数属性来看，求解函数最值的方法同样适用于数列最值问题，故可利用单调性分析、数形结合、基本不等式、导数法等方法来加以求解. 对于数列最值问题的求解，可以归纳为“读题、建模、选法、求解、还原”十字，即第一步是理解问题中的条件和结论;第二步是用数学符号表述问题;建立相应的模型;第三步则是基于问题模型选定合适的解法;第四步对问题进行简化破解;第五步则是基于问题解来还原问题答案.
方法探究
求解数列最值的方法有很多，针对问题的特点需要选用合适的方法，下面结合实例探索不同方法的使用策略.
1. 单调性法
单调性法是数列问题的常用方法，包括数列的单调性和函数的单调性，基于内容性质求解时需要从不同的方向分析思考，尤其是利用函数单调性分析时需要结合数列结构来构建函数，然后进行性质分析，确定其最值.
例1：已知数列{an}的通项公式an=■（n∈N+），試求数列中最大的项.
分析：题干给出了数列的通项公式，求最大的项可从数列的通项公式入手，分析其形式构建相应的函数. 通项公式的分子和分母中均含有变量n，可以对其适度变形，可得an=■，显然当分母n+■取得最小值时，an可取得最大值.由分母形式可构建函数y=x+■（x>0），后续利用函数的性质求最值即可.
解：变形可得a■=■，联想函数y=x+■（x>0），可知函数在（0，■）上单调递减，在（■，+∞）上单调递增，显然当且仅当x=■时函数可取得最小值，结合n∈N+可知要确保n+■取得最小值，需使得n=[■]，计算可知当n=12或13时，an最大，因此数列中最大的项为a12和a13.
评析：上述求解数列中最大的项时采用了函数单调性法，但在求解时有两点需要注意：一是构造函数时需要紧密结合通项公式的结构;二是充分考虑数列正整数集合的特性，利用函数单调性只可以确定最值数列项的贴近情形，还需进一步比对分析.
2. 数形结合法
数列是一种特殊的函数，函数具有“数”与“形”的双重特性，因此部分数列具有一定的几何意义，可以采用数形结合的方法来分析突破.求解时需要分两步进行：第一步推导数列的通项公式;第二步根据数列的通项对其图像进行研究.
例2：在正项等比数列{an}中，已知公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3与a5的等比中项为2.
（1）试求数列{an}的通项公式;
（2）设bn=log2an，Sn为数列{bn}的前n项之和，试求当■+■+…+■取得最大值时n的值.
分析：（1）根据题干的等量关系，以及公比的取值范围可以确定首项和公比的值;（2）数式中涉及数列的前n项之和，具有无穷性，需借助数列通项公式来分析数式的通性，需要关注数列中的“零”项，利用图像特性来分析最值情形.
解：（1）分析可知a1=16，q=■，则{an}的通项公式为an=25-n.
（2）bn=log2an=5-n，b1=bn+1-bn=-1，即{bn}是以b1=4为首项、以-1为公差的等差数列，则其前n项之和Sn=■，则■=■，可将其视为关于正整数n的函数，散点图如图1所示. 由图像可知当n≤8时，■>0;当n=9时，■=0，;当n>9时，■<0，所以当n=8或9时，■+■+…+■取得最大值.
评析：等差数列可以视为关于n的一次函数，因此根据通项公式绘制相应的函数图像，直观呈现数列项的数值变化，从而分类提取其中的正数和负数，确定与数列项相关的数式最值. 另外需要关注数列中的“零”项，该特殊项是问题多解的因素之一.
3. 不等式法
求解数列最值问题同样可以采用不等式法，利用不等式的性质分析，也可以利用不等式的放缩技巧. 不等式的性质较为众多，包括对称性、传递性和运算规律等，需灵活运用.
例3：已知函数f（x）的解析式为f（x）=x2+（a+8）x+a2+a-12，且有f（a2-4）=f（2a-8），设等差数列{an}的前n项之和为Sn（n∈N+），如果Sn=f（n），试求■的最小值.
分析：■中的参数涉及等差数列{an}的要素，因此需要结合数列来对其加以分析，从而构建关于n的数式，最值分析可以直接借助基本不等式的性质.
解：函数f（x）=x2+（a+8）x+a2+a-12的对称轴为x=-■，由f（a2-4）=f（2a-8）可得a2-4=2a-8，或a2-4+2a-8=2·-■，则a=1或者a=-4，需要对其分类讨论：
当a=1时，f（x）=x2+9x-10，Sn=f（n）=n2+9n-10，a1=S1=0，a2=S2-S1=12，a3=S3-S2=14，a2-a1≠a3-a2，所以数列{an}不是等差数列，与题意不符，a=1舍去.
当a=-4时，f（x）=x2+4x，Sn= f（n）=n2+4n. 当n=1时，a1=S1=5;当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+3，a1=5也满足，所以an=2n+3.
■=■=■×（n+1）+■+2≥■×2■+2=■+1，当且仅当n+1=■，即n=■-1时等号成立. 由于n始终为正整数，因此当n=3时原式可以取得最小值，且最小值为■.
评析：上述在求解数列前n项之和的最值时合理使用了均值不等式，均值不等式在代数类相关问题中有着广泛的应用，实际应用时可以灵活使用其简单结论：■≤■≤■≤■ （a，b∈R+）.
4. 导数法
考虑到数列的函数特性，因此也可以采用导数法来求解数列最值问题. 求解时需要采用类比、联想构建的方式来建立中间函数，利用导函数的性质分析数列，从而求得最值.
例4：已知{an}为等差数列，Sn表示数列的前n项之和，若S10=0，S15=25，试求nSn的最小值.
分析：根据已知条件可以求得等差数列前n项之和为Sn=■n2-■n，所以nSn=■（n3-10n2），可据此构造函数f（x），利用导数法来分析f（n）的性质，从而确定其最小值.
解：根据题意易得Sn=■n2-■n，则nSn=■（n3-10n2）= f（n）. 设f（x）=■（x3-10x2），x≥1. 其导函数f ′（x）=■（3x2-20x）=■x（3x-20）. 令f ′（x）=0，則x=■. 分析可知当1
评析：上述在求解数列最值问题时采用了导数法，分两步进行：第一步基于数列通式构建与其相关的函数;第二步利用导函数的性质来把握数列的变化趋势，确定最值情形. 函数构造的方法有很多，数列问题中主要采用特征法，即根据数列的特征结构来联想构造函数.
教学思考
上述基于数列的本质属性呈现了最值问题的四种常用解法，并结合实例探究了问题的突破思路，下面结合教学实践提出几点建议.
1. 强化基础知识，注重知识关联
数列是高中数学的重点内容，需要总结常见数列的定义、性质以及前n项和的常用方法等，这些知识是求解数列最值问题的基础. 教学中需要引导学生对知识点进行整合，采用对比归纳的方式来构建数列内容的知识网络. 同时数列与函数、不等式等内容联系紧密，因此教学中还应注重数列的知识关联，帮助学生理清知识脉络，构建完整的知识体系.知识关联的方式有很多，可以结合综合性较强的问题，以一题为引入，引导学生提取题干信息的知识考点;也可以直接联系数列章节的前后知识，整合知识框图.
2. 关注问题属性，总结解题方法
数列是一种特殊的函数，因此具有函数的性质，同时也可以利用函数的研究方法和解题技巧来突破考题，因此在实际学习时需要从数列的本质属性出发，理解数列的相关定义，联系函数内容来总结解题方法. 本文所呈现的是数列最值问题的常用四种方法，其中单调性可用于研究数列的整体变化趋势，数形结合是建立在数列的几何意义之上的，不等式是从“数”的角度进行探究，导数法则是基于数列与函数的关联特性. 教学中需要教师从数列内容的本质属性入手，开展数列最值问题的解法归纳，总结特征问题的对应解法，形成系统的解题思路.
3. 重视思想方法，提升解题思维
开展解题方法教学是提升学生能力的重要方式，教学中不仅需要重视解题方法的讲解，还需要挖掘解法背后的思想. 例如上述问题的突破中涉及了数形结合思想、化归转化思想、方程思想、构造思想等，正是基于核心思想才完成了解法思路的构建. 因此开展数列最值问题的解法探究，需要融合数学思想，引导学生理解数学思想的内涵. 由于数学思想理解起来存在一定的困难，故可以结合教材内容、例题讲解，使学生初步掌握利用数学思想分析问题的步骤，在此基础上进行考题拓展，逐步提升学生思维的灵活性.
