“一题一课”精雕细琢，反思经验水到渠成

陶友根 段小龙 胡健

[摘  要] “一题一课”能通过一个题目的深入研究，完成一节课的教学任务，达成多维教学目标，让解题教学事半功倍. 针对解析几何的特点，在关注课堂生成的前提下，可采取相应的“一题一课”教学设计策略，促进学生形成题后反思活动的经验：寻“一题多解”，形成数学语言翻译经验;找表层规律，形成题目元素推广经验;查前人成果，形成题目背景探源经验;探拓展应用，形成知识载体推广经验;究“多题一解”，形成问题模型梳理经验.

[关键词] 一题一课;反思经验;教学设计

“一题一课”，就是教师通过对一道题或一个材料的深入研究，挖掘其中的学习线索与数学本质，基于学情，科学、合理、有序地组织学生进行相关的数学探索活动，从而完成一节课的教学任务，以此达成多维目标的过程. “一题一课”的问题应由浅入深，有层次性、开放性、广延性，让学生在开放的探究过程和结果中思维得到不同的发展[1].

随着课改的推进，高考命题已经由能力立意向核心素养导向转变，怎样提升解题教学的效率，促进学生形成解题后的反思活动经验，发展学生素养呢？“一题一课”的教学设计以一个题目为出发点，让学生变中求进、举一反三，定能事半功倍. 本文以2019年成都市高三二诊理科数学第16题为例，基于帮助学生形成反思活动经验，探索解析几何的“一题一课”教学设计策略.

原题呈现：已知F为抛物线C：x2=4y的焦点，过点F的直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，抛物线C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，则PF+■的最小值为____________. （以下简称“本题”）

寻“一题多解”，形成数学语言翻译经验

破题的前提是理解题目，波利亚认为理解题目分为“熟悉题目”和“深入理解题目”，就是将试题的表述符号化，即翻译题目，直译或意译. 直译就是直接将文字语言翻译为符号语言，意译是深度翻译，可能需要从多角度、多形式去翻译，比如数的方面和形的方面，数或形内部不同切入点等. 通过探寻“一题多解”，并比较其优劣，进而总结如何优化数学语言翻译方式，以便得到更理想的解法. 在这个过程中，通过多角度的翻译切入，提升学生解题活动的经验，尤其是数学语言翻译经验.

本题分析1：直线l过点F可设为y=kx+1;直线l与抛物线C相交于不同的两点A，B，可用直线l与抛物线方程联立，A，B点坐标设而不求;在A，B点处的切线斜率可用求导获得，从而写出切线方程，求出切线交点P的坐标;得到PF，AB的关系，转化为函数最值问题处理.具体解析如下：

由题可设l：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与抛物线的方程x2=4y，y=kx+1，可得x2-4kx-4=0.

由韦达定理有x1+x2=4k，x1x2=-4，所以AB=■x1-x2=■·■=4（k2+1）.

拋物线C：x2=4y，即y=■x2，所以y′=■x，所以切线l1，l2的方程分别为y=■x-■，y=■x-■.

联立以上两个方程，解得点P■，■，即P（2k，-1）.

所以PF=■=2■=■，PF+■=PF+■.

设f（x）=x+■，f ′（x）=1-■，当x=4时， f（x）有最小值6.

所以当PF=4时，PF+■的最小值为6.

本题分析2：直线l过点F，还可用直线的参数方程，设为x=tcosα，y=1+tsinα（α为倾斜角，t为参数），用参数的几何意义求AB.（解析过程略）

本题分析3：切线方程，也可以假设切线，与抛物线方程联立消去y，用Δ=0解出斜率，从而求解. （解析过程略）

本题分析4：得到PF+■=PF+■以后，也可以配凑为■+■+■≥3■=6. （PF=4时等号成立）（解析过程略）

通过对试题表述的多向翻译，使学生获得了同一问题的多个切入点，也能比较不同处理方式在计算繁杂程度的区别，优劣缘由的探索之间感受选择的依据，为后续优化算法积累经验.

觅表层规律，形成题目元素推广经验

试题总是由多种元素构成的，解析几何中主要有点、线、曲线等，将特殊元素改为另外的特殊元素，或将元素一般化，是常见的题目变式方式，这有利于寻找相同载体下的浅层规律，同时因为这种变式通常对解法的影响较小，也能进一步强化通性通法的巩固. 通过元素推广研究，先猜后证，或成功或失败，让学生感受推广的一般方法，形成基本活动经验.

本题中，如果将定点F（0，1）一般化，变为M（0，m）（m>0），则直线l与抛物线的方程联立x2=4y，y=kx+m，可得x2-4kx-4m=0，所以切线的交点P■，■，即P（2k，-m）. 我们发现，点P的纵坐标与点M的纵坐标互为相反数，同时也说明不管k如何变化，点P的轨迹是直线y=-m.

如果将定点M（0，m）再一般化，变为抛物线内的一点S（s，m），则直线l与抛物线的方程联立x2=4y，y=k（x-s）+m，可得x2-4kx+4ks-4m=0，所以切线的交点P■，■，即P（2k，ks-m）. 消去参数k，得点P的轨迹方程为y=■x-m.

如果我们把抛物线一般化为x2=2py（p>0），抛物线内的一定点S（s，m），则直线l与抛物线的方程联立x2=2py，y=k（x-s）+m，可得x2-2pkx+2p（ks-m）=0，所以切线的交点P■，■，即Ppk，■.消去参数k，得点P的轨迹方程为y=■x-■m.

由此，我们得到一个一般规律：过抛物线x2=2py（p>0）内的定点S（s，m）的直线与抛物线交于两点，抛物线在该两点处的切线相交，且交点在定直线y=■x-■m上.

本题的元素一般化还可以继续，在此不赘述. 这个将点和抛物线一般化的研究过程. 研究方法基本没有改变，却为学生自主学习和探索提供了很好的模板，也让学生看到规律的探寻并非遥不可及，而规律指引下的后续解题将更加轻松.

查前人成果，形成题目背景探源经验

解析几何作为数学重要的分支，自创立起就吸引了大量优秀的人前仆后继地参与研究，早已硕果累累. 在“课标”把“体现数学的文化价值”列入基本理念后，命题者更是经常依托数学史料，以著名问题、著名定理、著名公式或著名图形等为切入点，融知识、方法、思想、素养于一体，命制出一些富有人文色彩的试题.

欣赏试题，广泛挖掘试题的深厚背景，一方面可以学习和借鉴前人的研究成果，重走研究之路可以让学生收获研究的经验，直接吸收成果可以让学生解小题的速度更快，解大题的方向更明确;另一方面，学生能真实感受到前人研究的丰硕成果，有利于渗透数学文化，播撒数学研究的种子.

本题的背景是阿基米德三角形，阿基米德三角形的性质列举（性质众多，只摘录一二）：抛物线x2=2py（p>0）上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），以A，B两点为切点的切线PA，PB相交于点P，称弦AB为阿基米德△PAB的底边[2].

定理：若直线AB过抛物线内一定点C（xC，yC），则另一顶点P的轨迹为一条直线，方程为xCx-p（y+yC）=0. 特别地，当C在y轴上时，即直线AB过抛物线内一定点C（0，m）（m>0），那么：（1）另一顶点P的轨迹方程为y=-m;（2）kAP·kBP=-■（定值）.

再特殊化，直线AB过抛物线的焦点F0，■，那么：（1）另一顶点P的轨迹方程为y=-■，即准线;（2）kAP·kBP=-1，即PA⊥PB;（3）PF⊥AB;（4）△PAB的面积的最小值为p2;（5）AP与x轴交于点C，BP与x轴交于点D，xC=■，xD=■.

基于阿基米德三角形的性质PF⊥AB，于是本题可以有以下解法：

由阿基米德三角形的性质可得PA⊥PB，PF⊥AB.

设AF=m，BF=n，则AB=m+n，由射影定理得PF2=mn.

由结论■+■=■，即■+■=■=1，所以m+n=mn，所以PF+■=■+■≥3■=6.

追溯题目背景，挖掘背景的丰富内涵，让学生更好地回答问题“你知道一道与它有关的题目吗？你知道一条可能有用的定理吗？”[3]从而迅速地找到解题方案. 通过背景的研究，解决以此为背景的多个关联题目，从而实现以点带面解决“问题串”;通过共同参与的探源活动，为学生自主活动示范，促进学生形成探源活动经验.

探拓展应用，形成知识载体推广经验

椭圆、双曲线、抛物线被称为圆锥曲线，它们与圆有着千丝万缕的联系，更高层面它们同属于二次曲线，因此在一种曲线中承载的知识和方法，很可能在另外的曲线中也会有. 将题目载体（主要曲线）平行迁移，如抛物线变为椭圆、圆变为椭圆等，让知识和方法得到拓展应用，利于学生知识和方法的体系化、深度化，同时在这一过程中，形成知识载体的推广经验.

本题可将载体抛物线换为椭圆，变式为：已知F为椭圆C：■+y2=1的右焦点，过点F的直线l与椭圆C相交于不同的两点A，B，椭圆C在A，B两点处的切线分别是l1，l2，且l1，l2相交于点P，求点P的轨迹方程.

略解如下：

设A（x1，y1），B（x2，y2），则椭圆C在A，B处的切线方程为l1：■+yy1=1，l2：■+yy2=1，两式联立，得x=■，即xP=■.

当直线l与y轴不垂直时，设l的方程为x=ty+1，则x1=ty1+1，x2=ty2+1，所以x2y1-x1y2=（ty2+1）y1-（ty1+1）y2=y1-y2，故xP=2，yP=■1-■xP=-t，所以点P的轨迹方程为x=2.

当直线l⊥y轴时，椭圆C在A，B两点处的切线平行，不符合题意.

综上，点P的轨迹方程为x=2.

载体由抛物线换成椭圆，P的轨迹仍然为直线，学生自然产生了疑问，是不是圆锥曲线（甚至二次曲线）都有这样的特点？于是引发进一步探究.

究“多题一解”，形成问题模型梳理经验

问题千变万化，但万变不离其宗，将问题提炼出模型，解法固定化（相对），有利于学生充分利用转化与化归思想，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题，将多种载体、多种表述去伪存真，九九归一实现“多题一解”，提升学生解决数学问题的能力，感受反思提炼带来的巨大收获.

本题可提炼出“双切线切点弦”模型，从点P0（x0，y0）引二次曲线Γ：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的两条切线，所得切点弦（过两个切点的直线）有如下结论：

（1）直线方程为：Axx0+B■+Cy0y+D■+E■+F=0. 以椭圆为例，已知椭圆C：■+■=1（a>b>0），经过椭圆C内定点M（m，n）的直线l与椭圆C交于A，B两点，且椭圆C在A，B两点处的切线分别为l1，l2，若l1与l2交于点P，则点P的轨迹方程为■+■=1. 证明略. 应用于本题中，A=1，B=C=D=F=0，E=-4，设P0（x0，y0），得切点弦方程为x0x-2y-2y0=0，因切点弦过F（0，1），所以y0=-1.

（2）当点P在直线上运动时，切点弦过定点;当切点弦过定点时，点P的轨迹是一条直线（或一部分）. 此内容深入探究，便是射影几何中圆锥曲线的极点极线，本文不做研究.

问题模型的建立，让学生最终摆脱了元素、载体的束缚，得到了问题的一般解决办法，虽说探究过程中产生的结论不见得能直接使用，但这种开放性探究的经验收获是满满的，后续的解题活动必能举一反三.

综上所述，为了帮助学生形成题后反思活动的经验，我们应多开展“一题一课”教学活动，对于解析几何的“一题一课”教学设计，可以采用以下基本模式：寻“一题多解”——找表层规律——查前人成果——探拓展应用——究“多题一解”. 但要注意的是，不是每个题目都有这些步骤，实际操作中要关注课堂生成，不可生搬硬套. 本文着力阐述“一题一课”的设计策略，借鉴了一些网络资料，对于知识本身的介绍不夠细致和深入.

变更题目是波利亚《怎样解题》的主旋律，“解题表”的许多问句都是直接以题目变更为目的，拟订方案中的“你能否想到一道更普遍化的题目？一道更特殊化的题目？”解题回顾中的“你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？”[3]等等. 由此可见，解题教学中应用好“题目变更”，用好经典题目，通过“一题一课”的教学模式，对试题进行“源”与“流”的研究，进行变式拓展，最关键是抽象出一般模型，让模型为以后的研究服务，实现“多题一解”，让试题的价值最大化，定能事半功倍. 同时，精雕细琢教学活动设计，让学生在反思活动中充分经历过程，形成基本活动经验，从而发展数学素养.

参考文献：

[1]  吴立建. “一题一课”理念下的教学实施[J]. 江苏教育，2018（02）.

[2]  方亚斌. 一题一课：源于世界数学名题的高考题赏析[M]. 杭州：浙江大学出版社，2017.

[3]  G·波利亚. 怎样解题：数学思维的新方法[M]. 徐泓，冯承天译. 上海：上海科技教育出版社，2011.