探寻数学符号价值意蕴及培育策略

陈茂兰

摘  要：符号素养是学生数学核心素养的重要组成部分。培育学生符号素养是数学教学的应有之义。符号有助于学生数学表征，有助于学生思维发展，有助于学生创新实践。作为教师，要善于捕捉教材中的“符号基因”，引导学生经历数学知识的“符号化”历程，引导学生符号运用。

关键词：数学符号;价值意蕴;培育策略

数学是一门符号性科学，符号语言是数学基本语言。法国数学家让·迪多内在《论数学的进展》一文中认为，“引进好的符号”是促进数学发展的重要力量。英国数理逻辑学家罗素曾這样说，“数学的本质是概念和符号”。在小学数学教学中，必须让学生产生数学“符号意识”，培育学生数学“符号感”，这是数学教师义不容辞的责任和使命。

一、数学符号的价值意蕴

东北师范大学史宁中教授认为，所谓“符号”，就是从具体事物对象中抽象概括出来的一种简略记号或代号。一般而言，数学符号包括数字、字母、图形、关系式等。在感知、理解、运用数学符号的过程中，学生会形成“符号感”，也就是学生主动运用符号的意识、能力和习惯。符号感、符号意识表征着学生“准代数式”思维，为学生的“代数学习”奠定坚实的基础。

1. 符号有助于学生的数学表征

数学符号追求用简洁的数学语言表达、驾驭丰富的数学思想。学生在数学学习中运用数学符号，有助于帮助学生描述数学信息并进行有效的数学表征。有时，学生所用的符号不一定规范、准确，但却能代表学生的意思，是一种符号雏形。教学《乘法的初步认识》，对于相同加数相加，如“3+3+3+3”，有学生用3（4个），有学生用34，还有学生用34等来表示。这种表示方法虽然稚嫩，但却是学生符号意识的萌芽。作为教师，要精心呵护、发掘学生的符号语言，增强学生的符号意识和直观知觉。

2. 符号有助于学生的思维发展

学生的数学思维发展是从直观动作思维向具体形象思维，再向抽象逻辑思维发展的。在这个过程中，符号发挥了重要的作用。通常情况下，学生总是习惯于具体的数量关系表征，从具体符号表示到准代数式数学表征，再到符号、代数表征，确证着学生的数学思维发展。这是一个数学化、符号化、形式化的过程。比如教学《正反比例的意义》，学生从众多数量关系式中梳理出“一种量扩大，另一种量也随之扩大，一种量缩小，另一种量也随之缩小”的成正比例的量后，形成正比例解析式“k= （一定）”。不仅说明学生理解了自变量和因变量之间相互依存的关系，而且说明学生对这种相互依存关系的关系属性（即两种量相对应的两个数比值一定）有了深刻理解。

3. 符号有助于学生的创新实践

学生的数学学习不是被动接受的过程，而是积极主动地创新实践。在运用数学符号的过程中，学生能展开积极的数学思维，萌发创新灵感、点子，萌生创意、创想。教学《圆柱的体积》，在学生通过数学实验将圆柱转化成长方体后，教师引导学生用符号“V=πr2h”表征圆柱体积。通过符号表征，学生敏锐地发现，“πr2”不就是圆的面积吗？至此，学生认为，“V=πr2h”也就是“V=Sh”。因此，圆柱体积也就是用圆柱的底面积乘圆柱的高。正是借助简约化、抽象化的数学符号，学生产生了创新性联想，对圆柱体积公式有了新的发现。

二、符号素养的培育策略

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对培育学生符号素养做出明确规定：“能从情境中抽象出数量关系、变化规律，并用符号来表示;理解符号所代表的数量关系、变化规律;能选择适当方法、程序解决符号所表达的问题。”教学中，教师要积极发掘教材中蕴含的符号因子，揣摩学生的符号学习心理。

1. 捕捉教材中的“符号基因”，唤醒学生的“符号意识”

数学教材蕴含着丰富的符号因子。在苏教版小学数学教材中，对学生进行符号意识的培育主要集中在高年级，从《用字母表示数》开始，一直到《认识方程》，学生逐步学会用符号表示数、数量关系和变化规律等。但对学生符号意识的启蒙，必须从低年级就要开始渗透。作为教师，要有意识地捕捉、发掘教材中的“符号基因”，唤醒学生的符号意识，培植学生的符号“感知力”，敏锐学生的“符号感”。符号常常成为诱导学生数学思维的刺激物，能够激发、激活学生的数学思维。正如德国著名数学家莱布尼茨所说：“符号的巧妙和符号的艺术，是人们绝妙的助手，因为它们使思考工作得到节约。在这里它以惊人的形式节省了思维。”

比如苏教版一年级上册《认识=、>和<》这一课就蕴藏着丰富的符号。在引导学生比较两个数量时，教师不要急于让学生建立“同样多”的概念，而应引导学生用自己的方式进行表征，鼓励学生创造符号。如在比较“4只猴子和4只兔子同样多”时，有学生画圈表示，有学生画方框表示，有学生用三角形表示，还有学生别具一格，上下画竖线，用一一对应的方式表示等。符号的简洁性表征着学生的思维质量。显然，用上下画竖线表示的学生，具有一种对应思想。当笔者用“=”号表示两种物体一样多，而无论这两种物体是多少个时，学生不禁感叹：“数学符号的本领可真大啊！”在引导学生比较“5只松鼠比3只小熊多”时，有学生用“→”表示。当笔者出示了“>”“<”，并且让学生理解了“开口方向表示大，尖头方向表示小”时，学生深深感受到数学符号的合理性，体验到数学符号的科学性。

教师要善于捕捉教材中的“符号基因”。只有这样，才能让学生亲近符号，逐步地理解符号、运用符号，乃至创造符号。要让学生在头脑中建立符号与对象之间的关联，让学生理解数学符号的合理性，只有这样，才能让学生对数学符号形成积极的内化。只有学生理解了数学符号，真正意义上的符号意识才得以生成。

2. 经历知识“符号化”过程，培养学生的“符号思维”

每一个数学符号都有着十分丰富的内涵，都蕴含着丰富的意义。作为教师，要引导学生经历数学知识的“符号化”过程，激活学生数学符号的生长因子，培育学生的数学符号理解能力，引导学生积极主动地创生符号，并在这个过程中培育学生的“准代数式思维”。在这个过程中，教师要搭建台阶，找准培养学生符号意识的生长点、生发点和生成点，激活学生的符号思维，催生学生的符号想象。

教学《用字母表示数》，笔者充分运用教材中所提供的素材，摆一个三角形需要3根小棒，摆两个三角形需要2×3根小棒，摆三个三角形需要3×3根小棒，摆四个三角形需要4×3根小棒……用什么方法可以表示出摆任意个三角形需要的小棒的根数呢？三角形的个数和小棒的根数之间有怎样的關系呢？摆a个三角形需要多少根小棒呢？于是，有学生认为，摆a个三角形需要b根小棒（将字母表示数理解为字母代替数，而没有意识到三角形与小棒之间的关系）;有学生认为，摆a个三角形需要3×a根小棒。正是通过问题缓缓地启发，促进学生抽象思维能力和代数思想的提升。当学生真正理解了符号所表达的意义时，学生的思维结构才更加完整和缜密。

符号意识、符号思维是学生代数思维的基础，也是学生从算术思维到代数思维的过渡。作为教师，要依循学生的认知规律，借助学生的知识经验、生活经验等，引导学生经历数学知识的符号化过程，进而建构符号模型。在这个过程中，学生能感受到符号的意义，体认到符号的价值。

3. 引导学生符号运用，培育学生的“符号素养”

对于数学符号，学生不仅要理解，更要学会灵活运用。只有在运用中，学生才能真正形成“符号素养”。学生符号素养的形成不是依靠机械地传授，而是在“理解”“领悟”和“运用”中才能形成的。在这个过程中，教师还要引导学生进行积极反思，助推学生从对生活的感性认知上升到对符号的理性认知。

教学《解决问题的策略——一一列举》，教师不仅要渗透有序的数学思想，还要渗透既不重复又不遗漏的方法，更要培育学生的符号素养。只有在教师的引导下，学生才能发现有些列举是有规律可循的。如对于这样的习题：一个班级40个人，放假以后同学之间都会通电话、寄贺卡问候，一共要通话多少次？一共要寄贺卡多少张？教师可通过“以小见大找规律”的方法启发学生思考，用画图、模拟通电话、寄贺卡等方式让学生直观感知。学生展开关系性思维，首先通过找规律，让学生的生活经验与代数移植嫁接：2个人通电话1次，3个人通电话1+2次，4个人通电话1+2+3次……两个人互寄贺卡2×1张，3个人互寄贺卡3×2张，四个人互寄贺卡4×3张……再次，引导学生类推，建构n个人两两不重复相互通电话的次数的代数模型“1+2+3+…+n-1=n（n-1）÷2”，n个人两两互寄贺卡的张数的代数模型“n（n-1）”。在此基础上，引导学生区分“寄贺卡”和“通电话”：“通电话”你我之间只需通一次，而“寄贺卡”你我之间需要相互寄。这是学生自主建构数学符号模型的过程，它丰富了学生的符号模型体系，推进了学生数学符号化思维的发展。

培育学生的符号素养，关键在于引导学生进行符号运用。只有当学生能运用符号思维解决现实中的数学问题时，才能让学生从被动接受、适应数学符号转变为主动理解、运用和创造符号。要引导学生积极主动地认识现实世界和符号表征之间的联系，让学生在符号理解、运算和思考中解决实际问题。

数学符号具有抽象美、形式美、统一美、简洁美的特质。作为教师，要在学生的数学世界中播下符号种子，使之生根、发芽、开花;要引导学生经历数学符号的诞生过程，让学生理解数学符号的丰富意义，感受数学符号的价值，并让学生积极尝试运用符号解决问题;要在这个过程中培育学生符号意识，发展学生符号思维，形成学生符号素养。