基于“深度教学” 提升推理能力——“直角三角形的性质定理”的教学与思考

高 旻 (江苏省苏州市平江中学校 215000)

推理能力是《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》)提出的核心概念之一.《标准》指出：推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中.推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.[1]从当前的教学现状来看，发展学生的推理能力往往通过刷题来实现，有短期效果却没有真正成为学生的思维方式与能力.数学“深度教学”是指数学教学必须超越具体知识和技能深入到思维的层面，由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略与学生思维品质的提升，还应帮助学生学会学习，真正成为学习的主人[2].下面结合课例“直角三角形斜边中线的性质”来谈谈数学教师如何在数学学习过程中基于“深度教学”,用“联系的观点”和“问题引领”的方式提升学生的推理能力.

1 教材分析

1.1 教学目标分析

“轴对称图形”章节教学要求在研究图形性质和运动过程中，进一步发展学生的空间观念，经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观.在多种形式的数学活动中发展学生的逻辑推理能力，让学生体会运用合情推理探索数学结论、运用演绎推理证明数学命题的过程.本节课在学习了线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质及判定定理的基础上，进一步研究直角三角形斜边中线的性质定理.基于以上分析，本节课教学目标定为：在“操作—探究—归纳—证明”的过程中，探索并掌握直角三角形的性质定理，发展合情推理和演绎推理的能力.

1.2 教学重点和难点分析

学生在前两节课已经学习了等腰三角形的性质和判定，初步具备了研究几何图形的基本方法(操作—探究—归纳—证明)，如何引导学生探索新图形的性质？从动手操作到逻辑证明再到灵活应用是本节课着重要解决的问题.

教学重点 探索直角三角形斜边中线定理.

教学难点 证明直角三角形斜边中线性质定理和运用定理解决问题.

2 教学设计

2.1 回顾思考

师：前面我们学习了等腰三角形的轴对称性，下面来回顾一下等腰三角形中所得的一些结论及研究几何图形的基本方法.

图1

问题1如图1，等腰三角形的性质定理是什么？判定定理是什么？

问题2请你说说上述定理的研究路径和研究方法是什么？(研究路径：操作—探究—归纳—证明.研究方法：从图形运动(折叠)入手，把合情推理和演绎推理相结合，得到结论并证明；同时构造逆命题，并判断它是真命题还是假命题，再利用演绎推理论证.)

设计意图通过复习等腰三角形的性质和判定定理，让学生回顾研究几何图形的基本方法“操作—探究—归纳—证明”，同时也为研究新图形的性质做好方法铺垫.用联系的观点分析问题是“深度教学”的重要环节，用联系的观点思考能让学生思维更具逻辑性，并帮助学生建立结构性认知.在教学中，教师利用两个问题让学生理解具体知识和数学方法策略之间的联系，让学生在学习具体知识的同时理解研究几何图形的数学方法和思维策略，并能应用这些方法策略去分析和解决问题.

2.2 探究新知

活动1 合情推理，发现结论

师:今天我们要运用研究几何图形的基本思想方法来研究直角三角形斜边中线有何特殊性质！

问题1请用刻度尺量一量直角三角形斜边上的中线和斜边之间有什么数量关系？(经过度量发现，斜边上的中线等于斜边的一半.)

问题2请同学们用折纸来验证“直角三角形斜边上中线等于斜边的一半”的猜想是否正确.

经过思考和交流，利用图2的折叠方法，可验证猜想.

图2

设计意图通过观察测量和折纸活动，用合情推理猜想和验证结论深化了学生的合情推理意识，同时为演绎推理做好铺垫.测量和折纸等实践活动为学生提供自主探索的空间，引导学生在“做”中感悟轴对称图形的数学本质，用图形运动的方式确认探索得到的结论，有利于不断发展学生对图形直观把握的能力，逐步形成一种审视、处理问题的一般方式——合情推理.合情推理是基于“事实”的推理，是为了推断的推理，它的本质是从经验过的东西推断未曾经验过的东西，从事物的过去和现在推断事物的未来.由此可见，“深度教学”就是要将由具体的数学方法和策略过渡到一般性的思维策略.

活动2 演绎推理，证明猜想

师：通过活动1的操作，我们发现“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个结论成立.要验证这是否是真命题，我们需要用已学过的知识进行证明.

问题1这个结论本质是要证明什么？(线段相等)

问题2想一想，我们有哪些证明线段相等的方法？(交流后方法有“等角对等边”“全等三角形对应边相等”等)

问题3如图3，若根据“等角对等边”，如何证明？(证明略)

问题4如图4，“构造全等三角形，证明对应边相等”，又如何证明？(证明略)

图3 图4

证明完毕后教师将直角三角形斜边中线性质定理的文字语言和符号语言详细板书.

设计意图在活动1的基础上，从不同角度论证探索得到的结论，将探索和证明有机地结合在一起，引导学生感受证明(演绎推理)是探索活动(合情推理)的自然延续和必要发展.“问题引领”和“交流互动”是数学深度教学的重要环节：设置问题1、2，让学生理解问题的本质和常用证明方法，将证明直角三角形斜边中线的性质转化为证明线段相等，这也符合演绎推理是从已有的定义、公理、定理等出发的特点.问题3、4，让学生通过不同的方法证明结论，在证明过程中师生之间、生生之间要充分交流和互动，教师不要直接给出添辅助线的方法，而要让学生自主寻找恰当的辅助线添法，进而提升学生的演绎推理能力.由此可见，演绎推理能力的提升不能单靠多刷题，而要重视在证明活动中适当用好问题来引领推理并积极进行交流和互动.

活动3 逆向思维，合作探究

师：等腰三角形的性质和判定互为逆命题，下面请同学们从“逆命题”的角度继续探究.

问题1“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是什么呢？

问题2这个逆命题是否成立？说明理由.

分析逆命题的题设和结论后，让学生合作探究，论证逆命题是否成立.

设计意图在探究线段、角和等腰三角形的对称性过程中学习了性质定理(命题)和判定定理(逆命题)，拓展了学生“逆向思维”的能力，同时在证明逆命题过程中强化了学生演绎推理的能力.从深度教学“联系的观点”看逆向思维，是将命题与逆命题联系起来，并帮助学生完善认知结构，这既是提出问题的一种思考方法，也是分析问题的一种思考角度.故在进行命题学习时，探究逆命题的过程能让深度教学内容更丰富，并能提升学生的推理能力.

2.3 应用新知

图5

例1如图5，在△ABC中，AD是高，E,F分别是AB,AC的中点．若AC=8，AB=10，求四边形AEDF的周长.

问题1该图形中有直角三角形斜边中线吗？

问题2运用今天所学的性质定理，在Rt△ABD中你能得到的结论是什么？在Rt△ADC中呢？

图6

例2如图6，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分别是AC,BD的中点．求证：MN⊥BD．

问题1图6中有直角三角形斜边中线吗？如果没有，怎么构造得到？

问题2运用今天所学的性质定理，在Rt△ABC中你能得到的结论是什么？在Rt△ADC中呢？

问题3你还发现图6中有什么特殊三角形？

问题4等腰三角形的中线还是什么线？

设计意图例1考查直角三角形斜边中线的性质，直接运用该性质定理解决.例2考查直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质，在解题时教师要引导学生连结斜边中点得到“直角三角形斜边中线”的基本图形，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解决问题.在解题教学时，教师要充分利用“问题引领”，将例题和知识有机结合在一起，让学生的思维在问题链中更具逻辑性，同时也提升学生推理的能力.

2.4 小结、再探究

让学生对本节课内容进行小结并提出下面问题.

图7

问题如图7，在Rt△ABC中，如果∠ACB是直角，∠A=30°，你能提出哪些问题？这些问题如何证明？

设计意图“帮助学生学会学习”是深度教学的一个重要环节.新课结束后，教师要帮助学生学会总结和反思，总结和反思是对所学数学知识和思想方法的再认识，能让学生建立结构性认知.新课结束后，教师要让学生学会继续探究，探究要经历提出问题、分析问题、解决问题等过程，在这些过程中要能灵活应用本章所学的探究和推理方法.本课例的探究问题是一个开放性问题，学生可以从多角度去提出问题，并且这个问题对下一章“勾股定理”的学习有一定的辅助作用. 通过探究活动能让学生感受到学习的乐趣，对培养学生的学习能力和推理能力大有帮助.

3 教学反思

3.1 在“联系的观点”中发展推理能力

“联系的观点”是深度教学的重要环节之一，它是发展学生推理能力的重要保证.用联系的观点进行分析推理，才能达到更大的认识深度；反之，也只有达到了更大的认识深度，才能更好发现不同对象之间的逻辑和联系[2].本节课有三个层面的联系：学习内容的联系、研究方法的联系和推理方法的联系.三个层面的联系从不同角度发展了学生的推理能力.第一层面是学习内容的联系.“轴对称图形”全章研究了线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形的轴对称性，这些图形都是“显性”的轴对称图形，而一般直角三角形不是轴对称性图形，那么把它做为本章最后一课的用意是什么呢？笔者认为，直角三角形中具有“隐性”的轴对称，通过折叠可产生轴对称的图形，进而得出直角三角形斜边中线的性质.“轴对称图形”学习内容的联系蕴含着一种推理方法——归纳推理，它的核心思想是问题分类，逐类研究.教师要让学生从知识联系中体会逻辑关系，进而发展学生的归纳推理能力.第二层面是研究方法的联系.“轴对称图形”全章要求在研究图形性质和运动的过程中，经历借助图形思考问题的过程(即“操作—探究—归纳—证明”)，初步建立几何直观.线段垂直平分线性质的研究方法可以迁移到角平分线性质的研究中去，同样等腰三角形性质的研究方法也可以迁移到直角三角形斜边中线性质的研究中去.教师要让学生从研究方法的联系中体会逻辑关系，进而发展学生的类比推理能力.第三层面是推理方法的联系.在“空间与图形”的教学中，既要重视演绎推理又要重视合情推理.《标准》指出：“逻辑推理包括合情推理和演绎推理.在解决问题的过程中，合情推理用于探索思路、发现结论，演绎推理用于证明结论，两种推理功能不同，相辅相成.”[1]学生通过操作和观察猜想(合情推理)出图形的性质，并对发现的命题和逆命题进行证明(演绎推理)，这样两种推理就能有机地联系在一起.教师要让学生从推理方法的联系中体会逻辑关系，进而发展学生的合情推理和演绎推理能力.

综上所述，内容的联系、研究方法的联系和推理方法的联系能很好地促进学生推理能力的发展.

3.2 在“问题引领”中提升推理能力

“问题引领”是深度教学的另一个重要环节，它是提升学生推理能力的重要途径.在复习回顾中，以“问题”回顾所学内容和研究方法.运用问题让学生重温轴对称图形性质的研究方法，进而让学生对探究新问题有“似曾相识”的感受，更重要的是让学生明确了推理问题的方法.在探究新知中，以“问题”引导学生对新命题探索和证明.在探索过程中，利用问题引导学生通过观察和折纸活动，让抽象的数学变得更直观，更容易猜想出结论.在证明过程中，利用问题引导学生发现问题的本质并运用所学知识进行多角度推理证明.在此基础上，又用问题让学生逆向思维去推理证明逆命题.在探究新知的过程中，“问题引领”为合情推理和演绎推理铺平道路，学生的推理能力发展得更自然.在新知应用中，以“问题”搭建脚手架协助学生初步学会运用新知.证明题往往会对条件或基本图形进行变换，在教学中通过搭建脚手架问题的方式帮助学生找到基本命题和图形，能让演绎推理更加顺利.在小结、再探究中，以“开放式问题”引导学生对本节课进行总结和再研究.在小结中，开放式问题能让学生从理解知识的不同程度和角度给出不同的结果.在探究中，开放式的提问能让学生产生新问题，新问题的探究过程能继续提升学生的推理能力.

综上所述，问题既能引领思维“浅入深出”，也能引领思维“深入浅出”，同时问题能帮助学生深入进行思考，达到由知识和技能深入到思维层面的目的，进而提升学生的推理能力.