精心设计现实情境 引导学生主动探究
——“圆”第一课时设计与思考*
2020-09-24耿恒考江苏省苏州中学园区校215021
许 彬 耿恒考 (江苏省苏州中学园区校 215021)
数学源于对现实世界的抽象[1]，与人的生活和社会发展紧密相关.想要从实际情境中抽象出数学问题，需要学习者主动探究，但是部分教师并不清楚应该如何引导学生主动探究.《义务教育数学课程标准(2011年版)》强调：“在反应数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从生活情境中抽象出数学知识与方法的过程”.[2]因此教师在教学中应创设现实情境，用学生已有经验作为教学资源，既重视学习主体的情感体验，优化学习路径，又能激发求知欲实现主动探究．在江苏省中小学教学研究室举办的初中数学评优课活动中，笔者执教了苏科版九年级上册2.1“圆”第一课时，教学中精心设计现实情境，引导学生主动探究，准确达成学习目标，现场专家给予了“亲近学生的课堂，富有探趣的数学”的评价，因此斩获省一等奖．
1 内容分析
“圆”是学习对称图形、弦、弧、扇形等知识的基 础，也是研究一些重要数学思想方法的上位知识．本课时将引导学生通过画圆，形成圆的描述定义；了解点与圆的位置关系，抽象出圆的集合定义并能解决简单问题；会判断点与圆的位置关系，逐步学会用运动的观点及数形结合的思想分析问题．作为一章的起始课，兼具统领全章知识教学和激发学生主动学习和探究欲望的作用．
2 教学设计
课前播放歌曲《圆圆的世界》：“我生在圆圆、圆圆的世界……”
图1
环节1 知识引入
如图1，地上有一个小立柱，人沿着直线站成一横排“套圈”.游戏对所有人公平吗？为什么？
设计意图课前歌曲既凸显学习主题又能缓解学生的课堂压力；引入环节中用套圈游戏引发学生的探究兴趣，该情境贴近现实，也让学生感受到生活中处处有数学．
环节2 形成定义
(1)找出图2中的圆.
图2
(2)数学实验.两人一组，分别尝试用棉线和橡皮筋画圆，归纳实验结论．
设计意图图片将数学知识与现实联系起来，形成对圆的直观感知，为数学实验做准备．学生在思考如何画圆中，根据橡皮筋和棉线画圆过程的对比，得到画圆的“定点+定长”两要素.最后教师用几何画板动画演示，引导学生归纳出圆的描述定义．
(3)如图3，根据画图过程给圆下定义.
(4)总结：画圆需要具备哪些要素？
(5)如图4，讲述《墨经》的“一中同长”．
图3 图4
设计意图通过观察画圆活动，抽象圆的描述定义，培养学生的动手及归纳能力，体验“定点+定长”的作用；在交流中培养学生的合作意识；通过实验探究让学生感受定点和定长在画圆时缺一不可；再以《墨经》中的“一中同长”，让学生感受圆的数学文化源远流长．
环节3 探究点与圆的位置关系
图5
(1)如图5，校运会上一名运动员想挑战12 m的铅球记录，你知道落点与记录线之间有几种位置关系吗？
(2)讨论：平面内的圆把平面分成了几部分？
(3)归纳：比较点到圆心的距离(d)和圆的半径(r)，有什么发现？
设计意图由投掷铅球挑战记录，将问题置于现实情境中，根据落点与记录线的位置关系抽象出点与圆的位置关系，归纳出点到圆心的距离d与半径r的数量关系：点P在圆内⟺d
环节4 知识应用
(1)如何设计套圈游戏才能够公平？请与同伴交流并画图．
(2)例题：已知⊙O的直径为8 cm，判断点P与⊙O的位置关系.
①若PO=4.5 cm，则点P在；
②若PO=3 cm，则点P在；
③若PO=，则点P在圆上．
(3)归纳(配合Flash演示)：圆上各点都满足什么特点呢？圆内的点呢？圆外的点呢？
设计意图运用d与r的等价关系解决现实和数学两个方面的问题，处处体现数学与现实的密切关系，目的是为研究圆的集合定义做铺垫．在学生交流、补充之下，教师用Flash动画演示点由疏到密最终集合成圆，结合“纯粹性”“完备性”，由具体到抽象，让学生观察“点集”，说出“符合某种条件”的点集，形成圆的集合定义，即圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合.圆内、圆外的集合定义亦可生成．
图6
如图6，已知点P,Q，且PQ=4 cm．
(1)画出下列图形：到点P的距离等于2 cm的点的集合；到点Q的距离等于 3 cm的点的集合．
(2)在所画图中，到点P的距离等于2 cm且到点Q的距离等于3 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来．
(3)在所画图中，到点P的距离小于或等于 2 cm且到点Q的距离大于或等于3 cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来．
设计意图交流探究的目的是让学生利用“判断位置，比较大小”，即由数量关系刻画位置关系．此环节引导学生用集合的观点理解图形，还渗透了交集法，即先由部分条件构成一个集合，然后再由剩余的条件构成另一个集合，两个集合的交集就是问题的解.这也让学生体会到交集法对现实有很强的指导意义，数学最终还要回归生活、指导生活．
环节6 小结与作业
(1)总结本节课内容并猜想将会学习哪些和圆相关知识；
(2)作业：为班级设计一枚圆形(或含圆)的班徽，要求能体现班级精神，并阐述含义.
设计意图课堂小结既回首课堂又展望了圆知识的后续学习；作业是课堂知识的延伸，根据本节课的学习，在作业布置上没有选择习题训练，而是要求创意设计圆形班徽，充满趣味性，符合班级实际，富有开放性、探究性.
3 思考感悟
第一，用学生熟悉的现实创设教学情境，可让学生清楚感受数学知识从哪里来，给学生提供机会用数学的眼光观察现实世界[1]．课前歌曲情境舒缓了公开课压力，用歌词将学生带入熟悉的生活场景；游戏情境“这样套圈是否公平？”引导学生积极思考，有趣的游戏就犹如在平静水面投下的一粒石子，激起层层涟漪；由“如何设计套圈游戏才公平”这一问重返游戏，用所学知识弥补游戏缺点，使游戏公平，游戏贯穿在圆的定义、d与r关系生成的始末，学生探究知识的主动性始终高涨；用学生常见的橡皮筋、棉线开展画圆实验，归纳画圆两要素，因为学生对这两种物品的属性很了解，所以抽象出知识更容易；创设运动会掷铅球情境来理解点与圆的位置关系，化抽象为形象直观.这些现实情境在教学中强烈激发出学生的探究欲望，形成学习的内驱力，牵引着求知好奇心，顺利实现教学目标．
第二，数学源自现实生活，将数学知识放置于现实情境中，学生会用数学的思维思考现实世界[1]，能将新知与学生间的沟壑填平，使学习的道路平坦．心理学研究表明，“学习内容和学生熟悉的背景越贴近，学生自觉接纳知识的程度越高.”如展示含有圆的生活物品，能从直观上感知圆；圆的集合定义比较抽象，学生理解难度大，设计在学生熟悉的体育项目“掷铅球挑战记录”中，铅球落点与圆心间的距离为d，记录线就是以运动员站立点为圆心、12 m为半径r的圆，由“破”“平”“低于”记录成绩探究d与r的三种关系，由形到数，再数形等价互推，最后将具有共同特征(特殊性、完备性)的所有点集中在一起就组成了圆，圆外、圆内的集合定义也会触手可得；将圆上点的特性设计在套圈游戏情境中，让新知获取变得有趣且简单．数学文化是生活与数学的结晶，使知识教学积淀厚度，比如“一中同长”是我国数学家对圆的认识、探究史；探究圆的两个概念时运用抽象、归纳、类比等数学方法，感受等价、数形结合、特殊到一般等数学思想.这些亘古隽永的数学文化均包含在与学生最贴近的现实情境中．
总之，现实情境拉近了学生与数学知识之间的距离，给学生搭建起触摸新知的“脚手架”，使抽象的知识不晦涩，理解知识的难度大大降低，形成“现实味”向“数学趣”的完美过渡.这种有趣、有味、有厚度的数学教学使学生享受到学习数学的快乐，有效提升数学核心素养，最终会用数学的语言表达现实世界[1]．
