演绎推理的准确表述与另一类非演绎推理——兼论数学证明中的推理

汤光霖

(中国矿业大学(北京) 理学院， 北京 100083)

演绎推理的准确表述与另一类非演绎推理
——兼论数学证明中的推理

汤光霖

(中国矿业大学(北京) 理学院， 北京 100083)

在数学推理中，除演绎推理外，尚存在另一类推理；也就是逻辑学中增加了从数学推理中揭示出的另一类推理; 并且对演绎推理的传统表述进行了澄清，作出准确的表述。

演绎推理; 非演绎推理; 推理规则; 逻辑推论

引 论

讨论数学推理，需要先对逻辑作简单的回顾。命题是可判断真、假的句子。从若干命题(前提)直接得出一个命题(结论)的思维过程称为推理。演绎推理概念很早就有了，它的传统表述有以下几种：一、《中国大百科全书》哲学卷“推理”条中说“演绎推理的特点在于如果前提都是真，则结论必然是真”。二、在一些形式逻辑中的表述是：从一般性命题的前提推得特殊性的结论的推理称为演绎推理。三、演绎推理就是由前提推出结论：如果前提真，则结论真。例如，在本文列举的参考文献[1]中，有这样的表述：“由A1，……，An和A是任何命题，在演绎推理中，我们研究

1)由A1，……，An推出A

也就是

2)如果A1，……，An为真，则A真

是否成立的问题。”演绎推理与归纳类推理是传统逻辑中的两类基本推理。

一般均认为数学推理就是演绎推理。这是根据演绎推理传统表述得出的结论。由逻辑史看，形成这种观点是自然的，也是行之有效的。但在数理逻辑的发展过程中，随着1930年哥德尔完备性定理及1936年塔尔斯基的逻辑推论概念出现之后，上述演绎推理传统表述是否与数理逻辑中逻辑演算的形式定理一致便是一个问题。于是建立在演绎推理传统表述上的数学推理传统观点也就成为问题。

本文在数学推理中，揭示出存在既不是与形式定理一致的传统表述的演绎推理，不是归纳类推理的推理，但它的结论必真，故把它称为结论必真的非演绎推理。从而对数学推理属于演绎推理的传统观点进行反思，对数学推理得出了不同的结论; 并对演绎推理的传统表述作了澄清，使澄清后的新表述与数理逻辑演算中的形式定理一致。这就是本文的主要内容。

应该说明，归纳类推理是结论具有或然性的非演绎推理，而结论必真的非演绎推理是与之不同的另一类非演绎推理。以下将结论必真的非演绎推理简称“非演绎推理。”

一、演绎推理的准确表述

为了澄清演绎推理的传统表述，作为第一步，将演绎推理表述为：由前提中命题的逻辑性质推出结论；如果前提真，则结论必真。前提与结论都是特定命题。

设有方程

ax2+bx+c=o

(1)

令A表“(1)是二次方程”，B表“(1)有两个根”。如果“设A，则B”(前提);则必有“设非B，则非A”(结论)。这是一个演绎推理，它是根据假言命题“如果p，那么q”的逻辑性质推导的，称为假言易位推理。

若将演绎推理中A、B看成命题变元，便由演绎推理得到对应的推理规则。在哥德尔完备性定理证明中，有三个特定命题(见[1]331)构成的一个演绎推理(其结论便是该定理本身)对应推理规则: 设A则B且设非A则非C; 那么设C真，则B真。这个推理规则的生成方法与前一个推理规则相同。在形式逻辑中讲述了多种特殊的演绎推理，它们各自都有自己对应的推理规则。由此可知，第一步表述的演绎推理均对应一个推理规则。推理规则的特点是：不论命题变元A、B、C被以何种方式赋以真值t或假值f，如果前提真，则结论必真。

运用逻辑联结词符号，例如将前一个推理规则的前提与结论符号化为数理逻辑中的合式公式A→B, ┑B→┑A，则凡赋值使A→B真，则必使┑B→┑A真。在数理逻辑中，把这种情况称为后者是前者的逻辑推论，用符号“╞”表示：

A→B╞ ┑B→┑A

(2)

显然，推理规则与对应的逻辑推论是等价的; 也就是逻辑推论反映了推理规则 (见[1]316)；反之，亦然。这里所说的反映关系对谓词逻辑也是成立的。

根据命题逻辑的完备性定理 (见[1]324)，如果逻辑推论(2)成立，则必有形式定理

A→B┣ ┑B→┑A

(3)

成立。(3)中的逻辑符号“┣”表示：在数理逻辑自然推理系统的形式公理(有若干条)及形式推理规则(由A→B和A推出B)下,由符号“┣”左边的合式公式序列,用形式推理,推出符号“┣”右边的合式公式。

在命题逻辑中，上述第一步表述的演绎推理必有数理逻辑中的形式定理与之相对应，这就说明演绎推理的第一步表述与数理逻辑中的形式定理是一致的。

前面第一步表述的演绎推理需进一步明确,把演绎推理的传统表述改成如下的新表述。如果由前提为真推出结论必真的特定推理必定对应一个推理规则，于是此特定推理称为演绎推理。它的特征是：演绎推理必定对应一个推理规则并对应数理逻辑中的一个形式定理。因此新表述是演绎推理的准确表述。

一个谓词演绎推理必定对应一个谓词推理规则。根据前面所说的反映关系，此推理规则必对应一个逻辑推论；再根据哥德尔完备性定理(见[1]336)必有谓词逻辑的形式定理与之相对应。因此，演绎推理的新表述与数理逻辑中的形式定理是一致的。

例如：一切自然数都有继数，则不存在自然数没有继数。这个特定推理对应谓词逻辑的推理规则：如果一切x具有性质A，则不存在个体x不具有性质A。(验证从略)因此特定推理是谓词逻辑中的演绎推理。规则中的x称为个体，指称个体对象；A称为谓词变元表示任意一种性质。可以通过域S={自然数}对A给定赋值ф(ф表示性质“自然数有继数”)说明特定推理是推理规则的特殊情况。将推理规则的前、后件符号化为合式公式

∀xA(x)，┑∃x┑A(x)

其中符号“∀”表示“一切”、“全部”，“∃”表示“至少存在一个”。根据前述反映论，推理规则对应逻辑推论。

∀xA(x)╞ ┑∃x┑A(x)

再根据哥德尔完备性定理，则有谓词逻辑形式定理

∀xA(x)┣ ┑∃x┑A(x)

与之相对应。

完备性定理说明演绎推理在数理逻辑中必有形式定理与之相对应。但存在符合演绎推理传统表述(一)、(三)的推理无数理逻辑的形式定理与之相对应(这在数学证明与非数学论证中都存在)。因此，演绎推理传统表述与数理逻辑的完备性定理不一致，这说明演绎推理传统表述存在问题，需要修改、澄清，而且这个工作本应在1930年Gödel完备性定理及1936年塔尔斯基的逻辑推论定义发表之后就应该做。但数学与非数学却仍然沿用传统表述。没有修改、澄清的原因很多，例如认为可靠性定理及完备性定理只是对数理逻辑系统本身的评价问题；形式逻辑中列举的各种常用演绎推理都是一致的，即在数理逻辑中都有形式定理与之相对应，可能认为传统表述已符合完备性定理的要求；又如数学发展并未因沿用传统表述而发生困难；况且演绎推理的传统表述历史悠久，已为人们所习惯等。但没有修改、澄清的真正原因是忽视了那些不易引起注意的简单的与完备性定理不一致而又符合传统表述的推理，或者是只把这类推理仅仅看作一般的简单自明的论述不把它们看作推理。但按推理定义，它们确是推理。

完备性定理是在数理逻辑中用形式推理研究非形式的演绎推理得到的最重要的结论，演绎推理是应该遵守的。

3. 非数学推理举例

例1 柯希第一定理 设函数f(x)是在闭区间[a、b]内定义着并且连续的，又在这区间的两端点处取得异号的数值。则在a与b之间必能求出一点c，在这点处函数等于零：

f(c)=0,(alt;clt;b)。(摘编自[2])

兹将定理证明改写如下，说明演绎推理及非演绎推理。为了确定起见，设f(a)lt;0,f(b)gt;0。

命题序列Ⅰ对应命题成立原因1．用中点m=(a+b)/2将区间[a，b]分成相等的两半。1．从略2．f(m)与0有仅有下列三种情况之一：f(m)=0，f(m)lt;0，f(m)gt;0。2．根据实数性质，这是演绎推理结论，其对应的推理规则是：由A蕴含B及A推出B。3．设f(m)=0，则定理已证明。3．m是定理中要求的c，由命题2，仅用了不相容选言命题，便推出结论。推理不对应推理规则，这是非演绎推理。4．设f(m)≠0，f(m)与0有且仅有下列两种情况之一：f(m)lt;0，f(m)gt;05．下列两种情况有且仅有一种成立：f(a)lt;0，f(m)gt;0；f(m)lt;0，f(b)gt;0。4．根据命题2及假设，推得结论。此推理是互不相容选言推理，对应推理规则：设A或B，非A；则B。这是演绎推理。5．根据命题4及假设：f(a)lt;0，f(b)gt;0推得此结论。这是非演绎推理的结论。5．下列两种情况有且仅有一种成立：f(a)lt;0，f(m)gt;0；f(m)lt;0，f(b)gt;0。5．根据命题4及假设：f(a)lt;0，f(b)gt;0推得此结论。这是非演绎推理的结论。6．m-a=(b-a)/2，b-m=(b-a)/2。6．根据等量代替原则：设a=b，则f(a)=f(b)。这是演绎推理的结论。7．存在闭区间[a1，b1]，且f(a1)lt;0，f(b1)gt;0，其中a≦a1，b1≦b；且b1-a1=(b-a)/2。7．由命题5的互不相容选言命题，必然存在[a1，b1]，并且f(a1)lt;0，f(b1)gt;0。推理不对应推理规则，这是非演绎推理的结论。最后等式推导同6，从略。

在命题序列I中，有一点值得注意，即数学方法需要用推理来实现。此处的二等分区间法就是由演绎推理及非演绎推理实现的。命题序列1、2、4、5、7(等式b1- a1=(b-a)/2除外)是一个推理，它的前提是1,2,4,5；结论是命题7(等式b1- a1=(b-a)/2除外)，而且最后的结论是非演绎推理的结论。这样由若干个简单的演绎推理与非演绎推理构成的推理可称作整体思维的非演绎推理。它在非数学领域也是常用的。

命题序列Ⅱ对应命题成立原因1．存在闭区间[a1，b1]，其中f(a1)lt;0，f(b1)gt;0；a≦a1，b1≦b；b1-a1=(b-a)/2。1．由命题序列I得到。2．存在闭区间[a2，b2]，其中f(a2)lt;0，f(b2)gt;0；a1≦a2，b2≦b1；b2-a2=(b-a)/2。……n．存在闭区间[an，bn]，其中f(an)lt;0，f(bn)gt;0；an-1≦an，bn≦bn-1；bn-an=(b-a)/2n。……结论命题：存在内含闭区间[a1，b1]，[a2，b2]…[an，bn]…其中后一个闭区间包含在前一个之内，f(an)lt;0，f(bn)gt;0，并且有bn-an=(b-a)/2n→0。2．对[a1，b1]进行二等分区间法，当f(m1)≠0，m1=(a1+b1)/2……n．对[an-1，bn-1]进行二等分区间法，当f(mn-1)≠0，mn-1=(an-1+bn-1))/2……综合以上无穷个命题得到的结

结论命题由命题序列II中前提的无穷个命题的内容之间的密切联系经分析直接得到。由前提得到结论不对应推理规则，因而这个前提都真结论必真的推理不是演绎推理，而是非演绎推理。命题序列II的结论命题为区间套定理提供了条件，因此，可证得结论；在区间[a,b]内存在着一点c，满足lim an=lim bn=c。以下讨论从略。

例2 波莱尔预备定理 若闭区间[a,b]被一个开区间的无穷系Σ={σ}所遮盖，则恒能从Σ里面选出有穷系Σ’={σ1,σ2, ……σn}，它同样能遮盖闭区间[a,b]。(摘编自[2])

证明：我们先考察区间[a,b]内具有那种性质的点x*，使得区间[a,x*]能用有穷个开区间σ来遮盖。根据条件，点a位于某一个开区间σ内，则σ∩[a,b]中的点就都含在这σ内，因此，就都成为点x*≤b，于是就得到一个真命题A：点集{x*}是囿于上的，由此便联想到已知的上确界定理，从而找到了演绎推理的前提。根据前提：上确界定理(即“设A则B”)及A，就可推得结论B：“sup{x*}=c≤b”。显然，到此为止定理并未证明完毕，所以对结论B还要接着分析，还需证明“c也属于点x*之列”，并且还要证明b=c，定理完毕。后两步证明如下。

(1)证明“c也属于点x*之列”。

命题序列Ⅱ对应命题成立原因1．c位于某一σ。之内。1．c∈[a，b]，并根据定理的条件，这是演绎推理的结论。2．在c之左且在σ0之内有x∗存在。2．sup{x∗}=c，并根据上确界的性质，是演绎推理的结论。3．在Σ中存在有穷个开区间σ1，σ2……σn遮盖[a，x∗]。3．根据x∗的定义，是演绎推理的结论。4．此有穷个σ1，σ2……σn，σ0遮盖[a，c]。4．x∗及c均在σ0之内，[x∗，c]被σ0遮盖，结论是由前提中命题的内容相互联系经分析得到。

根据x*的定义，由命题4因此c属于x*之列。这是演绎推理的结果。命题4是根据x*的定义进行这个演绎推理的前提。

这个命题序列所表达的推理是根据命题1,2,3的内容之间的联系进行分析得到命题4，由前提得到结论不对应推理规则，因此，命题序列所表达的推理不是演绎推理，而是非演绎推理。此非演绎推理的结论即命题4是为下一步演绎推理提供前提。

既然由前提为真推得的结论必真，为什么推理不对应推理规则呢？原因如下：命题序列(一)中的命题1,2,3,4都是原子命题(即命题内不含逻辑联接词。原子命题也称作简单命题)，分别以命题符号A、B、C、D表之，于是由命题1,2,3推出命题4可看作由A，B，C推出D。现将A，B，C，D看作命题变元，当前提A，B，C都真，由于D不在前中出现，D不受A，B，C约束，D可真可假。按推理规则概念，前件A，B，C与后件D构不成推理规则。进一步言之，若以A，B，C与逻辑联接词组成任何命题A1，A2，…，An构成前件，当前件为真，由于前述同样理由，也不能推出D必真。因此，可以断定由命题1,2,3推出结论命题4不对应推理规则，所以由命题序列 (一)表达的推理不是演绎推理而是非演绎推理。

一般言之，将前提为真结论必真的特定推理符号化，如果或对域S={t，f}，或对个体域S的某一集合，存在一特定赋值，使符号化后的前件为真，后件为假；根据推理规则概念，前、后件构不成推理规则，则该特定推理不对应推理规则，从而确定该特定推理不是演绎推理，而是非演绎推理。

关于非演绎推理应注意两点：第一，推导过程(即命题序列及其成立的原因)不能有遗漏或省略，推导必须是完整、严格的。否则，能把原本是演绎推理变成“非演绎推理”；第二，不能根据已得到的推理，编造一个不是已知的定理或定义，作为所得到的推理的“大前提”。以免将原本是非演绎推理变成“演绎推理”。以上是就最常用的推理规则：如果“设A则B真及A真，则B真”而言的。

(2)证明b=c

命题序列对应命题成立原因已知sup{x∗}=c≤b。设b≠c，1．clt;b2．c位于某一σ0之内3．在c之右且在σ0∩[a，b]之内取一点x4．存在有穷个开区间σ1，σ2……，σn 遮盖[a，c]。5．此有穷个开区间σ1，σ2……，σn，σ0便遮盖[a，x]。1．因c≤b，又设b≠c。这是互不相容选言推理的结论，即演绎推理的结论。2．c∈[a，b]，根据定理的条件，是演绎推理的结论。3．σ0∩[a，b]不空。4．由(一)，已知c属于x∗之列，根据x∗定义，这是演绎推理的结论。5．c与x均在σ0之内。

这个命题序列所表达的推理是根据命题1,2,3,4的内容之间的联系进行分析得到结论命题5，由前提得到结论不对应推理规则，因此由命题序列所表达的推理不是演绎推理，而是非演绎推理。根据x*的定义，由命题5，所以x也属于x*之列，这是演绎推理的结论。命题5是这个演绎推理的前提。由于xgt;c，根据上确界的定义，c不能是点集{x*}的上确界，从而产生矛盾。因此，开始的假设b≠c不成立，因此，b=c。

例3 有顶点连接图如下

已知：命题1、2、3、4

1.顶点A与顶点2有一条实线连接。

2.虚线表示两顶点之间不能有实线连接。

3.上排顶点与下排顶点之间有且只有一条实线连接。

4.按顶点ABC顺序用实线连接。

5.根据已知条件命题1.2.3.4必然推出顶点B与顶点3有实线连接。

6.根据命题1.3.5必然推出顶点C与顶1有实线连接。

由命题1.2.3.4必然推出命题5(即由图1推出图2)，这一步推理由前提到结论不对应推理规则，因此，这是非演绎推理。由命题1.3.5必然推出命题6(即由图2推出图3)同样是非演绎推理。因此，由条件命题1.2.3.4用非演绎推理推出上排、下排顶点之间的最大匹配实线连接图，这是一个极简单的图论问题，属于“二分图的匹配”。(本问题摘编自图论教材。A，B，C表示三个球队，1,2,3表示竞赛名次。)

图1

图2

图3

以上3例是从数学推理中揭示出的非演绎推理(即结论必真的非演绎推理)；其实，它在非数学领域也是常见的，下面举出两例。

例1 小心误诊

下面的命题序列是根据媒体报导稿编写的。

命题序列

1.某地每年有1.2万人死于医生误诊及医疗事故。

2.该地每年有150人死于枪击事件。

3.该地人死于医生误诊及医疗事故的危险高于枪击事件的危险。

这是一个推理。如果统计无误，命题1、2、是真命题。由命题1、2的内容对比分析，很自然地得出命题3为真的这个结论。由前提一次推出结论并且具有“简单、直观、自明”的特点。前提中不包含、推导过程不根据任何定理、定义、公式、定律、原理、原则等，因此，这个推理不对应推理规则，因此，它是非演绎推理。可应用例2中说明推理不对应推理规则方法进行验证。

例2 科学技术问题

本例内容是摘自论文《科技是第一生产力和新产业革命》，作者为钱学敏等五人，原载于1991年12月28日《科技日报》。

现摘录一段论文原文如下，其中(1)，(2)，(3)，(4)是本文作者加进的。

…“(1)认识客观世界的革命，是科学革命。(2)科学革命是技术革命的先导。(3)科学革命，技术革命，最终要引起生产力革命，并进而导致产业革命。(4)所以在今天，科学技术是第一生产力。”

这一段论述是一个推理，准确地说，这是一个非演绎推理，兹说明如下。(1)，(2)是真命题，以(1)，(2)为前提必然得到结论(3)，这是一个非演绎推理。以(3)为前提必然得到结论(4)，这同样是一个非演绎推理；而且这是得到最后结论的非演绎推理，所以，以(1)，(2)，(3)为前提，以(4)为结论的推理是整体思维的非演绎推理。

4.非演绎推理的概念及推理形式

1.根据本文第3节的例证，总结出结论必真的非演绎推理概念如下:

(1)由若干个真命题为前提，由其内容之间的密切联系与相互关联进行分析，必推出一个真命题作为结论。

(2)推理不对应推理规则。

2.推理形式：非演绎推理概念中的(1)可具体化为下列两种推理形式。

(1)基本推理形式

基本推理形式是最简单的非演绎推理，它由一个或几个真命题作为前提，必然一次直接推出一个真命题作为结论。一般言之，此类推理具有简单、直接、自明的特点。

根据上节提供的例证，基本推理形式有下列几种：

1)设A则B形式，例如非数学领域的例2中由(3)推出(4)。

2)由两个或两个以上的若干个真命题必然一次推出一个真命题作为结论形式。例如第3节中的例2，由(一)的命题序列中命题1，2，3推出命题4。

3)由任意大的n个真命题必然一次推出真命题作为结论命题形式。例如第3节例1中的命题序列II。

(2)整体思维的非演绎推理形式

参见第3节例 1中的命题序列I下面的说明。

(3)非演绎推理的判断方法

按演绎推理的新定义，如果一个前提为真结论必真的特定推理不对应推理规则，则此特定推理是非演绎推理，至于为何不对应推理规则，可参阅第3节例2的(一)之下的论述。

5．结束语 现在把常用的推理表列如下：

一般的常用推理

注：根据演绎推理的新定义及完全归纳法的结论必真，完全归纳法应属于结论必真的非演绎推理。

显然，传统表述的演绎推理被分为新定义的演绎推理与结论必真的非演绎推理。为什么要分？根据就是数理逻辑中的完备性定理；不仅如此，这两类推理从前提推出结论的方法也不同。兹说明如下：结论必真的非演绎推理由前提推出结论是根据前提中真命题的内容之间密切联系经分析推出结论；而且前提常是由一个或几个真命题开始推出新的真命题作为前提，如此递增，推出结论，例如第3节中的例2。新定义的演绎推理是由前提推出结论；如果前提真，则结论必真。其中推导是根据前提中各种命题如“选言命题”,“假言命题”等的逻辑性，以及形式逻辑中的三个定律。因此，传统表述的演绎推理本身存在问题；它既包含非形式推理又包含形式推理。

引论中的演绎推理的传统表述(2)不能表达演绎推理的一般概念，它只是相当于“假言推理”的肯定前件式的推理形式。

总结以上论述，本文提出了三个基本观点：一是符合数理逻辑的完备性定理的演绎推理新定义；二是存在一类新的一般的常用推理，即“结论必真的非演绎推理”；三是在数学证明中不仅仅是演绎推理，另外还有结论必真的非演绎推理。

[1] 胡世华，陆钟万数理逻辑基础[M]. 北京 科学出版社，1982.

[2] Г.M菲赫金哥尔茨. 微积分教程：第一卷. [M]. 北京 人民出版社，1995.

[3] 中国大百科全书：哲学卷[Z]. 北京.上海 中国大百科全出版社，1987.

[4] 张景中.数学与哲学[M].北京：中国少年儿童出版社，2003.

[5] 黄华新，王继同.新逻辑学[M]. 浙江大学出版社，1989.

[6] 杨树森.普通逻辑学[M].安徽师范大学出版社，2001.

Exactexpressionofdeductiveinferenceandanothernon-deductiveinference

TANG Guang-lin

(China university of mining amp; technology, Beijing 100083,China)

In the mathematical inference, there still exists a new inference except the deductive inference, that is to say, the mathematical inference is not only the deductive inference, but also a new inference discovered in mathematics that is added into logic. Also, this study clarifies the tranditional expression of the deductive inference, and defines an exact expression.

Deductive inference; Non-deductive inference; Inference rule; Logical deduction

O143

A

1009-105X(2013)03-0020-06

2013-02-20

2013-05-13

汤光霖(1922-)，男，中国矿业大学(北京)数学系教授。