位似：初中数学教师值得研究图形变换*

潘金城 蔡雪梅 (江苏省扬中市外国语中学 212200)

近几年中等教育类(数学)期刊上刊发了不少以位似为主题的研究文章[1-2]，以位似为背景的试题也在不断创新，这充分说明位似作为特殊的相似越来越受到数学研究人员的重视．本文就位似的深度运用及其价值进行例析，以飨读者．

1 “位似”定义的核心条件与性质

文[1]指出，位似定义的核心条件是：(1)对应点的连线交于一点；(2)对应点到定点的距离之比等于常数，两个条件缺一不可．特别地，平移前后的两个图形、半径不等的两个圆也是成位似的．

文[3]指出，位似变换是特殊的相似变换，因此位似图形具有相似图形的一切性质．包括： (1)两个位似图形的对应角相等，对应边成比例；(2)两个位似图形的对应线段之比等于位似比；(3)两个位似图形的面积之比等于位似比的平方；(4)两个位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且相等．

文[4]指出，位似变换具有传递性：若图形A与图形B成位似，图形B又与图形C成位似，则图形A与图形C成位似．

文[5]还指出，两个不同的二次函数图象成位似．此结论虽然在此文中已经证明，但方法比较繁琐，本文运用文[1]中位似定义的核心条件给出如下简洁的证明：

由于所有的二次函数的图象通过平移、旋转都能转化为y=ax2的形式．根据位似的定义与性质可知，只要证明二次函数y=a1x2与y=a2x2的图象成位似，即证明了两个不同的二次函数图象成位似．

图1

2 关于“位似”性质的深度运用

在《义务教育教科书(数学)》中，“位似”的运用仅局限于“以已知点为位似中心，把一个图形按给定相似比进行放大或缩小”和“会判断简单的两个图形是否成位似”．但作为数学教师要择高处立、向宽处行，掌握“位似变换”的深度运用，促进优秀学生高阶思维的深层次发展．

例1如图2，在△ABC的AB,BC边上若存在点M,N，使得AM=MN=NC，请作出符合条件的点M,N．

分析 (1)特殊化．若AB=BC，作∠ACB的平分线CM交AB于点M，过点M分别作BC,AC的平行线交AC,BC于点P,N(图3)，易证MN=CN=AM．

图2 图3

图4

(2)一般化．若AB≠BC，此时可转化为BD=AB的特殊化情形.但点C′在AC上，易作菱形P′C′N′M′，其中点P′在AD上且P′M′∥BC(图4)．

(3)目标化．解决问题的关键就是将M′,N′放缩后的对应点M,N分别落在AB,BC上，位似是问题解决的重要工具．

图5

作法(1)在BC上取点D，使得BD=AB；

(2)作菱形P′C′N′M′，其中点P′在AD上且P′M′∥BC；

(3)连结AN′并延长交BC于点N，过点N作M′N′的平行线交AB于点M(图5)．

图6

例2(2018镇江市中考题)如图6，二次函数y=x2-3x的图象经过O(0,0),A(4,4),B(3,0)三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧把△OAB按相似比为2∶1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O,A′,B′三点．

(1)画出△OA′B′，并求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式．

(2)点P(m,n)在二次函数y=x2-3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交于点Q(异于点O)．

①求点Q的坐标(横、纵坐标均用含m的代数式表示)；

②连结AP，若2AP>OQ，求m的取值范围；

③当点Q在第一象限时，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2-3x的图象交于点M,N(M在N的左侧)，直线OQ′与二次函数y=x2-3x的图象交于点P′．若△Q′P′M∽△QB′N，求线段NQ的长度．

(2)解决问题(2)中的③的难点，要理解点P′为OQ′的中点，借助位似就不难知道△QB′N与△Q′P′M的相似比为2，从而将问题转化为：当NQ=2Q′M时，求NQ的长度．

(2)①由位似性质知，位似比为2，故点Q的坐标为(2m,2n)．因为n=m2-3m，所以Q的坐标为(2m,2m2-6m)．

图7

3 关于位似的几点认识

·关注位似的内容价值

(1)强化几何图形位似的认识

作为初中四大变换之一的位似，它是教师最“不待见”的，但它又与平移、旋转、轴对称一样提升着学生对图形的空间认识．位似变换在简单的图形内容易被掌握，但在稍微复杂的图形中，“数”的关系就显得比较隐蔽，如位似比往往被学生忽视，隐含关系更是让学生“一筹莫展”，因而教师有必要强化学生对位似变换的认识．一要通过观察认识位似中心，突出对应点连线的交点；二是通过画图强化位似比，突出放大、缩小与方向．

(2)深化函数图象位似的认识

初中教材只是针对几何封闭图形探讨位似，对开放性的图形的位似几乎未涉及．如所有的抛物线都位似，双曲线也是位似的，作为教师应该要深化认识．

(3)了解位似的广义概念

·关注位似的运用价值

位似是特殊的变换，在数学内外部和生活中有着重要应用．

(1)在数学内部的运用

文[6]给出了运用位似证明点共直线、点共圆和直线共点；文[7]指出位似在函数、作图和证明中的运用．以上充分揭示了位似的数学方法价值．

(2)跨学科的运用

事实上，位似在物理、美术、地理等学科中也有着较为广泛的应用．如物理中透镜成像就离不开位似，位似研究的方法对美术学科对比研究透视有着借鉴意义．

(3)在生活中的运用

位似在生活中的运用非常丰富，如测量建筑物高度、河岸宽度、物体长度等常用到位似原理；例1也有着现实意义，可解决生活问题：在两条不相平行的道路上如何确定两点位置，建设一条经过点P的最短直路．

·关注位似的思维价值

(1)位似变换体现数形结合思想

位似是由“双变量”控制的，|k|的大小决定图形放大与缩小的程度，位似中心影响着变换后的位置．它的研究过程对后续学习极坐标、函数有着积极的意义，可激发学生自觉运用位似变换解决问题的意识．

(2)位似变换体现关联思想

数学学科素养中的关键能力之一就是相互 关联，而位似变换恰是培养此能力的重要数学 资源．一是体现在变换前后两个图形之间的关联，它们包含着许多特殊的位置关系和数量关系， 如对应点的连线交于一点，角之间、线段之间的特殊数量关系等；二是体现在位似变换与其他变换之间的关联，如与旋转变换结合形成位似旋转变换，与轴对称变换结合形成位似翻折变换，它们 有着重要的思维价值，在文[8]中有具体的例子说明．