指向培养学生数学运算素养的“有理数”单元教学设计与实施建议

◎ 孙 虎

一、引言

教学设计是教师进行课堂教学的必要准备，也是提高教学质量的重要方式之一。对于数学学科，通过单元教学设计可以让单元教学更加系统化、科学化；通过对课程目标的细化，对教学环节的设计，可以有效缩减课程实施过程中产生的落差；通过对学习者的分析，可以进一步在教学组织、认知方式以及活动方式等角度完善课堂教学，使基于学生学的数学教学与学习过程效率更高。

本文以沪教版《数学》六年级第二学期第五章“有理数”的单元教学设计为例，从数系发展的角度阐述学生对数的发展性认识、对数学符号蕴含意义的了解以及在解决问题过程中如何培养学生的运算素养。

二、指向培养运算素养的单元教学设计

单元教学设计的基本环节一般包括单元教学要素分析和教学目标的确定两个环节。

（一）单元教学要素分析

对单元教学要素进行分析是厘清所涉及单元知识以及与单元知识相关的课程标准、教学基本要求、教材体系、学情、重难点、所用教学方法等内容的必要环节。

1.数学知识分析

从数系发展的角度看，学生已经在小学阶段对负数有所了解，在六年级第一学期也已经对“分数”进行深入学习。本章在进一步厘清有理数分类的基础上，引入数轴、绝对值、乘方以及科学计数法等内容，在让学生认识运算符号的意义、掌握有理数的混合运算法则的基础上，体会在数系的发展历程中对较大数进行简洁性表示的必要性。通过对有理数分类的系统归纳，让学生体会自然数中的四则运算在有理数范围内就可以畅通无阻，除了为进一步学习数、式、方程等知识打下基础，也为学生在后续学习数系的扩充（包括七年级的实数、高中阶段的无理数）打下基础。

2. 课程标准分析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）提出，在数学课程中，应当注重发展学生的十个核心概念，［1］其中数感、符号意识、运算能力、推理能力等都在“有理数”单元有较多体现，而这些能力都是运算素养的具体表现。例如，建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系；建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。

3.教材体系分析

沪教版教材中“有理数”单元分为“有理数”和“有理数的运算”两大节，共10小节，章节后附加活动设计。其中有理数的意义、数轴以及绝对值3小节可以看作是根据数（系）的发展需要而延伸的新内容；有理数的加、减、乘、除以及混合运算5小节可以看作是数的运算需要而提供的学习内容；有理数的乘方、科学计数法2小节则兼具数（系）发展以及为了科学、便捷表示数而产生以及参与运算的特点；章节后的活动以及阅读材料则是对有理数的综合运用。本单元的具体内容概括见表1。

表1 “有理数”单元体系

4. 学情分析

六年级学生虽然已经学习了整数和分数的知识，但是他们的运算能力依然较弱，仍处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡时期，因而这种思维发展水平还不足以容易理解具有多重身份的事物，学生在运用数学知识解决实际问题和自己提出问题等方面的意识和能力均很薄弱。［2］这一阶段的学生在数的意义的理解方面表现最好，运算意义的理解表现次之，其次为恰当策略（如估算、分解和重组数字等）的运用，再次是对数与数之间多种关系的理解，而基准量的运用是学生最为薄弱的方面。［3］

5. 重难点分析

《上海市初中数学学科教学基本要求（试验本）》提出，通过本章的学习，要懂得有理数和绝对值的概念；懂得数与数轴上的点的一一对应关系；懂得用科学计数法表示一个数；掌握比较有理数大小的方法；掌握有理数的加减、乘除、乘方等运算。［4］从数学自身发展角度来看，数系从自然数扩充到有理数后，需要研究自然数中的运算法则在有理数中是否依然适用。符号“-”拥有了包括运算“减”、性质“负号”以及“相反”等多重意义，绝对值符号“∣∣”也被赋予了“距离”的意义，而学生对绝对值的非负性以及与数轴上的位置关系的认知缺陷也常导致在运算过程中出错。同时，对“负负得正”这一运算法则的理解也是这一章节的难点。

基于上述分析，本单元的难点按照呈现顺序可以归纳为：①对负数概念的理解，既要依靠情境的具体运算，又要脱离情境达到演绎层次；②对绝对值意义的理解，了解其表示“距离”等意义，并能够在数轴上正确标示出所在位置；③对有理数运算法则，特别是加法和乘法的理解。

6. 教学方法分析

本单元的教学方式应该注重实际问题情境的设计，引导学生充分理解负号“-”、绝对值“∣∣”等符号的意义与性质，充分把握四则运算的本质特征。同时鼓励学生自己解决问题、引导学生充分表达对符号以及运算的认识，借此为学生提供更多独立思考、自主探究的机会，这样在以后遇到新符号及新运算时就可以用已有方法解决问题，这将有利于增强学生的理解力和知识的迁移应用能力。

（二）教学目标的确定

基于以上分析，本单元的教学目标最终确定如下。

（1） 理解有理数、相反数和绝对值的概念。

（2）会用数轴上的点表示有理数，完善有理数大小的比较方法，体会数形结合的思想。

（3）经历确立有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则的过程，掌握有理数加、减、乘、除的运算发展和运算律以及有理数乘方的概念和运算法则，会用科学计数法表示较大的数。

（4）能够正确、合理地运用有理数的运算法则和运算律进行运算，会用计算器解决较为繁难的问题。

（5）在学习探索的过程中，增强相互合作的意识，提高运用数学语言进行表达与交流的能力，养成良好的学习习惯。

（三）教学活动设计举例

1.教学设计——促进绝对值几何意义理解的“点与点之间的距离表示”

绝对值是有理数学习阶段的一个重要的知识点。在教学过程中，教师可以引导学生借助数轴对绝对值的意义进行理解，同时渗透数形结合的思想。合理的教学设计可以让学生准确认识绝对值的内涵与本质。

我们知道，绝对值可以看成是数轴上的一个点到原点的距离，如图2所示，∣a∣可以表示动点A到原点的距离，当点A在原点左侧时，∣a∣= - a；当点A不在原点左侧时，∣a∣= a。按照这样的理解，动点A与定点B（表示1的点）的长度可以表示为∣a -1∣或者∣1- a∣，当AB的长度为3时，可以列出等式∣a -1∣=3或者∣1- a∣=3。同理，动点A与任意定点（表示m的点）的长度则可以表示为∣a - m∣或者∣m - a∣。

图 2 关于绝对值的示例

有了上述理解，∣a -1∣就可以看成数轴上表示数a的点到表示数1的点的距离，∣a -m∣就可以看成数轴上表示数a的点到表示数m的点的距离，学生在以后解决绝对值问题时便多了一种方法。

2.问题设计——促进“负负得正”意义理解的有理数乘法情境创设

如果把现在的时间当作分界点，那么“现在以前”与“现在之后”就是相反意义的量。现规定“现在以前”为负，则“现在之后”为正，那么就可以在数轴上用含有符号的数字表示出具有“时间意义”的量（见图3）。同样，如果把小明现在所在的位置当作分界点，小明左右两边的里程就是相反意义的量。规定“左侧”为负，则“右侧”为正，同样也可以在数轴上用含有符号的数字表示出具有“方向意义”的量（见图4）。

图3 表示具有“时间意义”的量

图4 表示具有“方向意义”的量

相应地，问题串设计如下。

（1）如果小明一直以每秒2米的速度向右步行，3秒后他在什么位置？

（2）如果小明一直以每秒2米的速度向左步行，3秒后他在什么位置？

（3）如果小明一直以每秒2米的速度向右步行，3秒前他在什么位置？

（4）如果小明一直以每秒2米的速度向左步行，3秒前他在什么位置？

（5）观察你所列出的上述四个算式，你能够归纳出哪些有理数乘法的结论？

上述（1）—（4）题的列式可以借助数轴表示（见图5）。通过对这4个问题的符号观察，学生自己归纳有理数乘法中各个乘数的符号与结果的关系，得出结论。

图5 借助数轴表示结果

“负负得正”是有理数乘法中最难以理解也是最重要的法则之一，所以在设计相关问题时要关注学生对有理数乘法的意义的建构。一方面，通过上述设计让学生感受到在现实生活情境中，具有相反意义的量也可以分别用含有相反的数学符号“+”和“-”的数值表示，通过这一途径，将数学符号赋予实际意义从而帮助学生理解。另一方面，通过将“时间”“方向”“位置”这三者之间的关系与有理数的乘法进行类比，让学生对有理数的乘法，特别是“负负得正”的实际意义进行内化，帮助学生理解发展其对有理数乘法的进一步认识。

3.活动设计——培养运算素养的有理数四则运算之“新24点游戏”

“24点游戏”规则为：用一副去除了大王、小王和所有J、Q、K的扑克牌，随机分发给班级所有学生，然后全班学生每四人一组任意组合，组内四人同时展示自己所携带的扑克牌，并规定：花色为红色的数值取其本身，花色为黑色的学生取其相反数，每组内由教师随机指定一人取其绝对值，然后根据牌面数字进行转换以后的新数字进行加、减、乘、除混合运算（每个数字只能用一次），使其运算结果为24（A算作1），先算出的小组为获胜小组。

通过对扑克牌中的数字进行转换，使自然数范围内的四则运算转换为有理数范围内的四则运算，并通过教师的指定，在运算过程中引入绝对值，让自然数范围的“24点游戏”成为有理数范围内的“新24点游戏”。通过小组合作的形式，在互相帮助的过程中，增强学生对有理数范围内的算理的认识，培养学生的运算素养。同时，以团队配合的形式，增强团队合作意识和集体荣誉感。

三、指向培养运算素养的单元教学实施建议

《课标》对运算的要求可以归纳为：在有理数或实数范围内，有运用数表示数据以及数量关系的能力，能判断并能进行数、式的各种运算，具有选择恰当的方法进行计算的经验，能依据所给的数据进行推理、得出结论，并对结论的准确性和可靠性进行检验，等等。这正是本单元需要重点培养的运算素养。

（一）教学过程实施建议

（1）引导学生获得有理数的概念。教师在教学过程中可以适当地向学生介绍有理数系的发展历史，让学生在有理数的学习过程中，体会数系发展的必要性以及运算法则在一定范围内的封闭性，让学生获得“数系是持续发展”的体验。为后续学习阶段引入无理数、虚数做好思想上的铺垫。

（2）注重对运算意义理解的培养。对运算意义理解的培养既需要直观经验的理解，也需要理性结合的思考。教师在教学过程中，需要注重学生对数学符号以及运算律意义的理解，可以通过让学生充分表达交流而感悟运算的意义，也可以通过实际问题的解决来培养学生对运算意义的理解。

（3）鼓励学生多角度思考问题。本章中涉及的有理数的不同分类方法、同一个算式中的符号可能表示的不同意义、绝对值的逆运算中可能产生的不同结果、结合现实情境运算中的不同思考角度等都可以成为教学过程中的良好素材。

（4）在教学中渗透“数形结合”与“化归”的思想。在“数轴的表示”这一小节中，教师引导学生正确在数轴上表示数，体会数轴上的点与有理数之间的对应关系，感悟“数形结合”的思想；在有理数的运算教学过程中，通过对加法和乘法的转化，感悟“化归”思想。

（5）引导学生掌握运算法则、加深对算理的理解。有研究表明，学生在小学阶段对加法算理的理解就不够深入，而这一认知缺陷也会影响到中学阶段对有理数算理的理解。这表现为绝大部分学生都知道怎样算，而对于计算背后的道理知道较少。［5］

（二）教学评价建议

评价是检验目标达成程度的重要手段，单元评价应该打破仅有纸笔测试的壁垒，采取以过程性评价结合纸笔测试评价的双重评价，尤其关注学生运算素养等相关高阶思维的发展，重点关注以下三个方面：①关注学生在探索、学习过程中的参与度、思维水平和归纳能力；②关注学生学习习惯的养成，关注在数学活动过程中与他人合作的能力，关注在交流过程中运用数学语言进行表达的能力；③关注其解决问题的过程，对运算符号、性质符号的理解程度，对运算法则和运算律的掌握以及数学思想方法的把握。